Презентация - Кафедра теории упругости.

Часть III
Аэродинамическая
устойчивость:
исследование по Ляпунову
III.1. Колебания проводов
расщепленной фазы
ЛЭП с расщепленными фазами проводов
Схематическое изображение
расщепленной фазы ЛЭП
к – корпус распорки;
л – луч распорки;
ш – вязкоупругий шарнир;
п – провод фазы.
Линия центров масс
поперечных сечений фазы:
max w0 x   L

max   L
Взаимные перемещения отдельных
проводов:

max   max 
Миткевич А.Ф. Явление тихого разряда в высоковольтных воздушных линиях
электропередачи // Электричество. 1910. № 7. С. 185-200.
3
Большие колебания расщепленных фаз
4
Концепция эквивалентного провода [11]
w, z
• Сопротивление растяжению и кручению
• Гипотеза плоских сечений
• Каждое поперечное сечение имеет 4 степени свободы
u, x
v, y
Принцип Даламбера-Лагранжа:
L
Уравнения движения:
0 k 1
n
  AT   AI   AM   AQ   0
T0u  nEF (u  w0 w)  ES ( w0 )  n F (u  w0 w)   S ( w0 )  n   x  Fu  Qu  0;
k
k
k
k
 
T0 v  T   n  Fv  Qv  0;
 
2
2
2
T0 w  T    nEF ( w0 u  w0 w)  ES (w0  )  n F ( w0 u  w0 w) 

  S ( w0 2 )  T0 w0  n  Fg  n  Fw  Qw  0;

 
2
2
2
2














T


ES
(
w
u

w
w
)


S
(
w
u

w
w
)

EI
(
w

)


I
(
w
 ) 
I

0
0

0
0

0

0


 TII    (  gS  T w0)  T w  T v   S w   S v  J  x    Q  0.

Структурные
параметры:
n
n
n
    k ;   k ; S  F ; S  F ; T   T0 k ;

k 1
n

k 1


*
0
k 1
I   Fk  k2 ; T   T0 k  k ; T   T0 kk ; TI   T0 k  k2  k2  ; TII   T0 k  k2  k2 .
n
n
k 1
k 1
k 1
n
n
k 1
k 1
5
Качественное исследование
свободных колебаний фазы в целом
1. Тяжения проводов одинаковы: T01  T02  ...  T0 n

Конфигурация симметрична: S  S  T  T  0
C
v x,0  0  v x, t   0; u  w    0
C
  x,0  0   x, t   0; u  v  w  0
C
w x,0  0  u  x, t   0, w x, t   0; v    0

C

2. Тяжения проводов попарно одинаковы: T01  T02 ; T03  T04
Конфигурация симметрична отн. η: S  T  0
C
v x,0  0  v x, t   0;   x, t   0; u  w  0
C
  x,0  0    x, t   0; v  x, t   0; u  w  0.

C
6
Численное решение уравнений движения РФ [12]
Платонова И.А. Разработка методов исследования движения расщепленных фаз
компактной воздушной линии и оценка ее электрических характеристик:
Дис. к.т.н.: 05.14.02, 01.02.06 / Московский энергетический инст-т. – М., 2000. – 131 с.
1. Движение центра масс РФ
после порыва ветра:
V  25 м/с, t  t0
0  0
V  0 м/с, t  t0
2. Движение центра масс РФ при
увеличении скорости ветра от
V  5 м/с до V  25 м/с
3. Движение центра масс РФ при
постоянной скорости ветра
V  25 м/с
V
0  0
V
0  0
7
Задача о расстановке распорок в пролете РФ [13, 14, 15]
Наиболее «тяжелые» режимы
работы распорок
Расчётная схема системы
«Провод-распорка»
Уравнение колебаний:
T0u  EF  w02u    F  w02u    F  w02    Q  u , u    Fu  0
Qk  k u  xk , t   k u  xk , t 
Решение ищется в виде разложения:
n
 rx
u  x, t    ur  t  sin
L
r 1
m
Q  u, u    Qk   x  xk 
k 1
Ставится задача поиска максимума
демпфирующей способности системы:

  f  x1 ,..., xm ;  ,    max;


 x0 k   k  xk  x0 k   k
8
Сравнение расчетных данных с экспериментальными
Дейкина Е.С. Оптимальное проектирование расщепленной фазы проводов ЛЭП //
Материалы VI межд. конф. по матем. моделированию. СПб: МАН ВШ, 2003. С. 67-70.
Короткие пролеты
(до 200 м)
Критерий
оптимизации –
«модуль суммы»
Длинные пролеты
(более 200 м)
Критерий
оптимизации –
«критерий Гаусса»
Длина подпролета, м
Длина
пролета, м
140
170
Длина
пролета
210
350
530
l1
l2
l3
Эксп. [1]
40,63
58,74
40,63
Теория
38,27
63,46
38,27
Эксп. [1]
44,93
80,14
44,93
Теория
49,34
71,33
49,34
Длины подпролетов, м
Эксп.[1]
42,2; 63,2; 62,4; 42,2
Эксп.[2]
46,9; 54,8; 61,6; 46,9
Теория
48,6; 61,5; 51,5; 48,6
Эксп.[1]
45,5; 58,0; 83,6; 61,6; 55,9; 45,4
Эксп.[2]
46,9; 53,3; 61,6; 88,4; 53,3; 46,9
Теория
46,8; 68,4; 51,3; 67,8; 68,9; 46,8
Эксп.[1]
45,4; 51,2; 55,8; 68,8; 80,8; 75,7; 55,7; 51,2; 45,4
Эксп.[2]
46,9; 51,2; 59,7; 65,8; 82,9; 65,8; 59,7; 51,2; 46,9
Теория
44,9; 77,8; 52,2; 51,2; 77,6; 51,2; 52,2; 77,8; 44,9
Разница, %
7
10
Разница, %
11
16
19
Calculation of span length for 345 kV lines 4-bundle spacer-dampers // Tech. specif. Seoul. Korea: KUNHWA Co., 1993. – 41 p.
Recommended in-span positions for metalastic spacer-dampers // Leicester LE55LY. England: The DUNLOP Co., 1969. – 16 p.
9
III.2. Об аэродинамической
неустойчивости
Аэродинамическая неустойчивость
Федяевский К.К., Блюмина Л.Х. Гидроаэродинамика отрывного обтекания тел. – М.:
Машиностроение, 1977. – 198 с.
Эксперимент в аэродинамической трубе Т-1 ЦАГИ
a  0,5 м
b  0,375 м
V  20 м/с
Sh д 
a
V
 Sh к
–
наличие ветрового
резонанса исключено
1 ,  2 
– интервал потери аэродинамического демпфирования
11
Авторотация и галопирование
Glauert H. The rotation of an aerofoil about a fixed axis // GBACA. R&M . –
March 1919, №595. – 8 p.
Den-Hartog J.P. Transmission line’s vibrations due to sleet //
V
Transactions AIEE. – 1932, vol.51. – p. 1074-1076.
Необходимое условие авторотации и галопирования

C
(условие Глауэрта–Ден-Гартога)
G    C y  C x  0

C
V
C x , C y – безразмерные стационарные коэффициенты
лобового сопротивления и подъёмной силы
C
Приложения и адекватность условия G < 0
Руководство по расчёту зданий и сооружений на действие ветра. –
М.: Стройиздат, 1978. – 123 с.
Савицкий Г.А. Ветровая нагрузка на сооружения. –
М.: Издательство литературы по строительству, 1972. – 110 с.
Федяевский К.К., Блюмина Л.Х. Гидроаэродинамика отрывного
обтекания тел. – М.: Машиностроение, 1977. – 198 с.
12
Движение с 3-мя степенями свободы [17]
Уравнения движения:
C
V
mxc  f1  xc , yc , , P, Fi ... ,

myc  f 2   ,

 J   f3   .



C*
C*


Рассматривается система уравнений
первого приближения и соответствующее
характеристическое уравнение
 6  A1 5  A2 4  A3 3  A4 2  A5  A6  0
A6  0   *  0 
W    C x C x  C y   C y C x  C y   0 
 K 2  K  1  0
K  C
y
Cx 
13
Эксперимент с профилем в форме ромба
Масса –
8 тысяч тонн
Высота –
85 метров
Масса меча –
14 тонн
Длина меча –
33 метра
г. Волгоград,
1967 год
Скульптор
Е.В. Вучетич,
Архитектор
Я.Б. Белопольский
14
Крыловой профиль [17]
Чжен П. Отрывные течения. Т.2
– М.: Мир, 1973. – 280 с.
 , град Cxa
C ya
K
C ya
C xa
G   W  
0
0,0777
0,4440
5,7141
3,267
28,521
5
0,1332
0,7437
5,8333
3,323
31,812
10
0,2220
1,0545
4,7500
4,050
13,113
12
0,2553
1,1655
4,5652
2,807
15,048
13
0,2775
1,2210
4,4000
3,467
7,197
14
0,3108
1,2765
4,1071
8,849
–31,117
14,75
0,3718
1,2876
3,4632 –4,454
–21,445
15
0,3829
1,2654
3,3048 –2,169
–11,645
…
…
…
25
0,9546
0,9546
…
<0
<0
1,0000 –0,637
–2,178
Условие G    0 является «необходимым», т.к. выполняется
  14,75
вслед за срывом потока с профиля при
W    0 – «достаточное» условие, т.к. выполнение этого
неравенства предшествует срыву потока.
15
Потеря устойчивости горизонтального полета
(срыв в штопор) [18]
K 2  K 1  0 
K  0
необходимое условие
неустойчивости
Поляра летательного аппарата
1;  2  – область срыва в штопор
Пышнов В.С. Этапы развития самолета. – М.: Машиностроение, 1984. – 91 с.
16
Движение с 3-мя степенями свободы
Марчевский И.К. Об условиях устойчивости положения равновесия профиля
в потоке // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2007. №4. С.29-36.
Система уравнений
является автономной
 d 2x
dx dy d 

,
m 2  f X x   X  x , y ,  , , ,
dt dt dt 

 dt
 d 2 y
dx dy d 

m

f
x


x
,
y
,

,
, ,

,

Y
Y
2
dt dt dt 

 dt
 d 2
dx dy d 

 J 2  f M x   M  x, y ,  , , ,
.
 dt
dt dt dt 

Механическая модель,
3 степени свободы
17
17
Уравнения движения (на примере первого уравнения системы)
d 2x

2

m 2  x x  f x x  S V  x   y 2  C y     y  C x     V  x 
dt
2


C x , C y , Cm вычисляются в точке   , где   arctg
y
V  x
Линеаризованные уравнения движения
d 2
d 1
d 1


2








(
C


)

(
C

C
)

C


x
x
x
y
x
x 
2
d
d 2
d 2


 , ,  – безразмерные координаты
 x – безразмерная частота
 – безразмерное время
 x– безразмерная вязкость
Малый параметр
 S

  1 – для тяжелых плохообтекаемых профилей
0 b
(для типичного провода ЛЭП   10 3...10 4 )
 ,  0 – плотности среды и материала профиля
S, b – характерные размеры профиля
18
Условия устойчивости (1 степень свободы)
Для упругих
связей
Для вязко-упругих
связей
Положение равновесия всегда
асимптотически устойчиво
x
y
G0
G  0

F 0
F 0
G  С ya  C xa
G  G  2  x
2 fm
2

F

V
C

m
a
2
S
19
19
Условия устойчивости (2 степени свободы)
Упругие связи
x-
y-
x-y
Px  0
F 0
G0
Py  0
F 0
M 0
W 0
G0
Вязкоупругие связи
F 0
G  0
F 0
M  0
W  0
G  0
x   y
x   y
20
20
Условия устойчивости (3 степени свободы)
Упругие связи
M 0
x-y-
W 0
P0
F 0
P0
G0
F 0
Вязкоупругие связи
M  0
F 0
W  0
Достаточное условие неустойчивости
2 fm
F  0  V 
Cm S 2
– критическая скорость.
G  0
F 0
x   y
x   y
Гроссман Е.П. Флаттер. – Труды ЦАГИ, 1937. – Вып. 284. – 246 с.
Инвариантные достаточные условия неустойчивости
W  C x C x  C y   C y C y  C x   0
G  C y  C x  0
M  C y  3C x  0
зависят только от стационарных коэффициентов
лобового сопротивления и подъемной силы
21
180
Неустойчивость
ромбовидного
профиля
d
M ( a) 
 Cy ( a)  3 Cx( a)

da
5
M  
4.5
4
3.5
3
G 
2.5
G( a)
2
1.5
M ( a)
W  
1
W( a) 0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
0.5
1
1.5
W    0
2
2.5
3
a
   24; 51
G   0    25; 50
M    0    26; 48
Область неустойчивых положений равновесия
22
Аэродинамика расщепленной фазы
№2
№1
Y
 0
Наветренные профили:
d
h
CWy  0, CxW  1.2
Подветренные профили:
C  0, C  1.2
L
y
L
x

(эмпирические зависимости)
Основные положения гипотезы аддитивности [19]:
• Аэродинамические коэффициенты конструкции
как целого
С   Cxi , С   C y i
• Аэродинамическое
качество всей конструкции
K 
n
*
x
*
i 1
C *y
Cx*
h  6d
n
*
y
i 1
Применение гипотезы
аддитивности дает возможность
использовать полученные ранее
условия для исследования
устойчивости систем профилей
Diana G., Gasparetto M., Nicilini P. Analitical and experimental method for
computing cscillations // 1974 – Summer meeting & Energy resource conference.
Anaheim, Calif. July 14-19. – Paper C-74, 493-3.
23
Проверка гипотезы аддитивности [20]
Экспериментальное определение аэродинамических
характеристик производилось в
аэродинамической трубе Т-1
ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского
24
Проверка гипотезы аддитивности [17]

Сравнение теоретических
результатов с данными
эксперимента
K
K
 K  
– аэродинамическое
качество
25
Аэродинамическая неустойчивость тандема профилей
h
d

1  h d  11,42
 2  h d  16,16
G    C y  C x  0
W     K

* 2

1  K *   0
 , рад.
0,01
0,05
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,25
0,30
…
π/2
 , рад.
0,01
0,05
0,11
0,15
0,18
0,21
…
π/2
  11,42
*
x
C
1,7133
1,7301
2,0045
2,0939
2,1852
2,2710
2,3430
2,3910
2,4000
…
2,4000
C x*
1,8942
1,9265
2,1283
2,3140
2,3990
2,4000
…
2,4000
*
y
C
0,0070
0,1109
0,2048
0,1665
0,1201
0,0727
0,0311
0,0006
0,0000
…
0,0000
C *y
0,0073
0,0929
0,1063
0,0360
0,0032
0,0000
…
0,0000
W  
K*
0,0041
2,2676
0,0641
2,6650
0,1022
0,0349
0,0795 – 0,1739
0,0550 – 0,1850
0,0320 – 0,0410
0,0133
0,2062
0,0002
0,3480
0,0000
1,0000
…
…
0,0000
0,0000
G  
3,8909
4,6741
0,4695
– 0,0236
– 0,1608
0,0462
0,5407
0,8160
2,4000
…
2,4000
  16,16
K*
0,0039
0,0482
0,0499
0,0156
0,0013
0,0000
…
0,0000
W  
2,0634
1,9079
0,2882
0,2495
0,9305
1,0000
…
0,0000
G  
3,9359
3,7645
0,8193
0,6551
2,3168
2,4000
…
2,4000
26
Система из трех круговых профилей
h
d

  h d  11, 42
Аэродинамические характеристики
системы, состоящей из трёх круговых
профилей:   11,42
 , рад.
0,01
0,05
0,11
0,15
0,17
0,19
0,25
0,30
…
π/3
C x*
2,9133
2,9311
3,0523
3,2045
3,2939
3,3852
3,5910
3,6000
…
2,4000
C *y
0,0070
0,1109
0,2305
0,2048
0,1665
0,1201
0,0006
0,0000
…
0,0000
K*
0,0024
0,0378
0,0755
0,0639
0,0505
0,0355
0,0002
0,0000
…
0,0000
W  
>0
>0
>0
0,4432
0,2918
0,2609
0,7845
1,0000
…
0,0000
G  
>0
>0
>0
1,6695
1,1764
1,0392
2,7795
3,6000
…
3,6000
G    C y  C x  0
W     K

* 2

1  K *   0
27
Аэродинамические характеристики четырехпроводной
расщепленной фазы. Выбор монтажного положения
Характеристики расщепленной фазы:
шаг расщепления h  400 мм
диаметр проводов d  35 мм
 , рад.
0,01
0,05
0,09
0,13
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,25
…
0,605
0,645
0,685
0,725
0,765
π/4
Cx*
3,4266
3,4602
3,5926
3,8452
4,0090
4,1879
4,3704
4,5420
4,6860
4,7820
…
4,8000
4,6700
4,4833
4,3469
4,2964
4,2942
C *y
0,0140
0,2218
0,4206
0,4558
0,4096
0,3330
0,2402
0,1451
0,0622
0,0011
…
– 0,0032
– 0,0541
– 0,1182
– 0,1100
– 0,0250
0,0000
K*
0,0041
0,0641
0,1171
0,1185
0,1022
0,0795
0,0550
0,0320
0,0133
0,0002
…
– 0,0007
– 0,0116
– 0,0264
– 0,0253
– 0,0058
0,0000
W  
V
 0
G  
2,2666
7,7776
2,6651
9,4016
1,7274
6,7026
0,8291
2,5602
0,0347
0,9390
– 0,1739 – 0,0471
– 0,1850 – 0,3266
0,0925
– 0,0410
0,2064
1,0865
0,3480
1,7280
>0
>0
0,8252
3,9700
0,6093
2,8976
0,7784
3,5908
1,2879
4,3988
1,4300
6,1598
1,2900
Область устойчивости:  10
V


4
Область устойчивости:  32
28
Численно-аналитический метод исследования
устойчивости положений равновесия профиля в потоке [21]
Этап 1. Определение стационарных
аэродинамических характеристик профиля
методом вихревых элементов
Этап 2. Аппроксимация зависимостей
аэродинамических коэффициентов от угла
атаки гладкими функциями
Этап 3. Определение углов атаки, соответствующих
неустойчивым положениям равновесия
профиля в потоке
29
Математическое моделирование обтекания профиля
и вычисление аэродинамических нагрузок
Постановка задачи:
1. Уравнение неразрывности
для несжимаемой среды

  const
div V  0
V
M
2. Уравнения
движения

2

p V 
V  

   V  V   grad  

t

2




( r , t )  rot V



  rot V   V
3. Граничные условия на бесконечности
 


lim pr , t   p
lim V r , t   V
r 
r 
4. Граничные условия на профиле
 

V r , t   0 r  K
30
Обтекание кругового цилиндра
C xa  1,2
C ya  0
Sh  0,2
Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. Т.1. – М.: ГТТИ, 1933.
31
Обтекание полукруглого профиля
Сравнение с экспериментом
Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Об одном подходе к расчету аэродинамических характеристик
профиля в идеальной жидкости методом дискретных вихрей // Вестник Харьковского
национального университета. Серия М. — 2005. — № 661, вып.4. — С. 182-191.
Случановская З.П. Распределение давления на поверхности прямоугольного, трехгранного и полукруглого
цилиндров и их аэродинамические коэффициенты // Тр. Ин-та механики МГУ. — 1973. — № 24.1. С. 52-60.
32
Обтекание профиля крыла ЦАГИ РII-18, ЦАГИ В-12
Сравнение с экспериментом
Кашафутдинов С.Т., Лушин В.Н. Атлас аэродинамических характеристик
крыловых профилей. — Новосибирск: СО РАН, 1994. — 78 с.
Распределение давления по профилю
Марчевский И.К. Математическое моделирование обтекания профиля и
исследование его устойчивости в потоке по Ляпунову / Дисс. … к.ф.-м.н.
05.13.18, 01.02.05. М., [МГТУ им. Н.Э. Баумана], 2008. — 119 с.
Верхняя поверхность
Нижняя поверхность
33
Верификация численно-аналитического метода
3

V 
C xa , C ya
C xa  
2
1
C ya  
10
20
30
40

1
G,W
0    15
эксперимент
G 
W  

34
Обледенелый провод ЛЭП

V 
Бучинский В.Е. Атлас обледенения проводов –
– М.: Гидрометеоиздат, 1966. – 114 с.
G 
G, W
2
5
W  
5
10
15

2
Интервал
неустойчивости:
4
 6    9
 6    9
35
Численное моделирование движения профиля в потоке
Уравнения движения профиля
mx  F1 x, y,  , x, y ,  , t ,

my  F2 x, y,  , x, y ,  , t ,
m  F x, y,  , x, y ,  , t .
1

Начальные условия
t  0 : x  y    0;
x  y    0.
Моделирование обтекания и
вычисление нестационарных
аэродинамических нагрузок –
вихревой метод
g
V
f3
m, J
f1
f2
Механическая модель,
3 степени свободы
Результаты численного моделирования движения
профиля одиночного обледенелого провода ЛЭП
36
1. Ванько В.И. О критериях выпучивания в условиях ползучести // ПМТФ. 1965. № 1.
С. 127-130.
2. Ванько В.И., Шестериков С.А. Продольный изгиб и выпучивание // Инж. журнал.
МТТ. 1967. № 2. С. 157-163.
3. Ванько В.И. Продольный изгиб упруго-пластического стержня // Инж. журнал. МТТ.
1968. № 4. С. 171-174.
4. Ванько В.И. Упруго-пластический продольный изгиб: эволюция концепции Эйлера //
Вестник Херсонского нац. техн. ун-та. 2007. Т. 28, № 2. С. 74-81.
5. Ванько В.И., Шестериков С.А. Сплющивание кольца в условиях ползучести // Инж.
журнал. МТТ. 1966. № 5. С. 127-130.
6. Ванько В.И. Продольный изгиб и выпучивание / Дисс. к.ф.-м.н. 01.02.04. М., [МГУ
им. М.В. Ломоносова] 1966. 136 с.
7. Ванько В.И., Шестериков С.А. Нелинейно-вязкие цилиндрические оболочки под
внешним давлением // Известия АН СССР. МТТ. 1971. № 1. С. 110-114.
8. Ванько В.И. Нелинейно-упругая цилиндрическая оболочка конечной длины под
внешним давлением // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1977. № 256. С. 118-126.
9. Ванько В.И. Краевой эффект в задаче о сплющивании цилиндрической оболочки
внешним давлением // Дифференциальные и интегральные уравнения
математической физики. Киев: Инс-т математики НАНУ, 1997. С. 40-43.
37
10. Ванько В.И. Цилиндрические оболочки под внешним давлением: неклассическое
решение задачи о больших перемещениях // Вестник Нижегородского ун-та им.
Н.И.Лобачевского. 2011. № 4, Ч.4. С. 1413-1414.
11. Ванько В.И. Колебания расщепленной фазы проводов ЛЭП // Изв. вузов.
Энергетика. 1991. № 2. С. 11-16.
12. Ванько В.И., Платонова И.А. Сравнительный анализ свободных колебаний
расщепленных фаз применительно к компактным ЛЭП // Изв. вузов и
энергетических объединений СНГ. Энергетика. 1998. № 5. С.27-33.
13. Ванько В.И., Яковенко М.Г., Виноградов А.А. Линейная вязкоупругая модель
колебаний провода в подпролетах расщепленной фазы // Изв. вузов. Энергетика.
1989. № 10. С. 16-21.
14. Ванько В.И. О расстановке распорок в пролете расщепленной фазы ЛЭП //
Электричество. 1996. № 11. С. 25-28.
15. Ванько В.И., Галкин С.В., Зайцев А.А. Об оптимальной расстановке распорокгасителей в пролете расщепленной фазы ЛЭП // Известия РАН. Энергетика. 1996.
№ 5. С. 89-97.
16. Ванько В.И. Математическая модель пляски провода ЛЭП // Известия вузов.
Энергетика. 1991. № 11. С. 36-42.
38
17. Ванько В.И., Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Аэродинамическая неустойчивость
системы профилей // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы:
сб. трудов. М.: Логос, 2005. С. 423-436.
18. Ванько В.И., Соловьева Е.В. Об условиях аэродинамической неустойчивости
положений равновесия профиля // ПМТФ. 1996. Т.37, № 5. С. 29-34.
19. Астахов Ю.Н., Ванько В.И., Овчинников В.В. Разработка системы
проектирования расщепленной фазы для компактных ЛЭП // Изв. РАН. Энергетика и
транспорт. 1993. № 4. С.52-59.
20. Ванько В.И., Соловьева Е.В., Феоктистов В.В. Аэродинамические характеристики
расщепленных проводов для воздушных ЛЭП // Известия РАН. Энергетика. 1994.
№ 4. С. 104-111.
21. Ванько В.И., Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Численно-аналитический метод
исследования устойчивости положений равновесия профиля в потоке // Вестник
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2011. Спец. выпуск «Прикладная
математика». С. 3-10.
Спасибо за терпение!
39