E

1.8 Понятие о дивергенции векторной функции
Ранее было получено выражение для потока вектора
напряженности электрического поля E , через замкнутую
поверхность S
ФE 
E
dS

E

dS
n


S
S
Преобразуем поверхностный интеграл в объемный,
считая, что электрическое поле неоднородно.
Выберем поверхность
S
в виде небольшого
прямоугольного
параллелепипеда
с
ребрами,
параллельными декартовым осям, и центром в точке Р с
радиус-вектором
r . В этом случае поверхностный
интеграл сводится к 6 - ти интегралам по 6 - ти граням.
Найдем сначала потоки через переднюю 1 и заднюю 2
грани, перпендикулярные оси х. Пусть для определенности
вектор E направлен из листа в нашу сторону. Нормаль к
передней грани 1 n 1 = (1, 0, 0) совпадает с положительным
направлением оси х. Поэтому поток через эту грань
положительный и равен
Ф1 = E x (x + dx , y,z)  dy  dz
2
где x + dx - координата
2
z
передней грани, а y, z некоторые средние значения
координат у и z на грани.
O
E
.
5
r
P
2
dz
4 6
3
1
dx
dy
y
x
Нормаль к задней грани 2
n 2 = (-1, 0, 0)
противоположно оси х и вектору
нее отрицательный и равен
E
направлена
, поэтому поток через
dx
Ф2 = -E x ( x , y,z )  dy  dz
2
Сумма потоков через обе грани 1 и 2 равна
Ф1 + Ф2 = E x (x + dx , y,z)  dy  dz - E x (x - dx , y,z)  dy  dz =
2
2
= [ E x (x + dx , y,z) - E x (x - dx , y,z)]  dy  dz =
2
2
[ E x (x + dx , y,z) - E x (x - dx , y,z)]  dx  dy  dz
2
2
=

dx
E x
E x
=
 dx  dy  dz =
 dV
x
x
где dV = dx·dy·dz - объем параллелепипеда.
Аналогично, находятся суммы потоков через грани 3 и 4,
перпендикулярные оси
y
Ф3 + Ф4 =
и грани 5 и 6, перпендикулярные оси
E y
y
dV
z
E z
Ф5 + Ф6 =
dV
z
Суммарный поток через все 6 граней равен
dФE = Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4 + Ф5 + Ф6 =
E x E y E z
=(


)dV
x
y
z
(1.8.1)
Скалярная величина, равная сумме частных производных
E x E y E z
divE =


x
y
z
(1.8.2)
называется
дивергенцией
вектора
напряженности
электрического поля E (divergentia – лат.).
Из формул (1.8.1) и (1.8.2) следует, что
dФE
divE =
dV
С другой стороны, поток вектора
охватывающую объем dV, равен
E через
(1.8.3)
поверхность S,
dФ E =
 EdS
S
поэтому можем записать
EdS

divE =
(1.8.4)
S
dV
Значит,
дивергенция вектора E в точке пространства с
радиус-вектором r равна потоку этого вектора E через
поверхность,
ограничивающую
единичный
объем,
находящийся вблизи данной точки пространства.
Поскольку объем dV мал, то поток через
охватывающую его поверхность S можно записать как
1
dФЕ =  EdS =  dV
ε0
S
поэтому формулу (1.8.4) можно переписать в виде

divE =
0
(1.8.5)
Следовательно, дивергенция вектора напряженности
электрического
поля
пропорциональна
плотности
электрических зарядов в заданной точке пространства.
Введем векторный дифференциальный
оператор градиента (оператор набла)
оператор



i
 j k
x
y
z
-
(1.8.6)
Подействуем этим оператором на вектор напряженности
электрического поля E подобно скалярному произведению
двух векторов
E
Ex
Ez
y
(  E ) 


x
y
z
Сравнивая с (1.8.2), находим
divE  (  E )
(1.8.7)
Поэтому

(  E ) = divE 
0
(1.8.8)
Это
равенство
выражает
собой
теорему
Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.
Если объем V, охватываемый поверхностью S не мал,
то поток вектора E через поверхность находится из
формулы (1.8.2) путем интегрирования по объему V
ФЕ =  dФ Е   divEdV
V
Учитывая, что с другой стороны
получаем
div
E
d
V
=

V
ФE =
EdS

 E  dS
S
(1.8.9)
S
Это формула перехода от объемного интеграла к
поверхностному и наоборот. Она справедлива не только для
напряженности электрического поля
, но
E и для любого
векторного поля.
1.9 Потенциал электростатического поля
Рассмотрим электрическое поле точечного заряда q.
Поместим в это поле другой заряд q´, на него будет
действовать кулоновская сила
qq'
F(r) = k 2 er = F(r)  er
r
где e r - единичный вектор, направленный вдоль радиусвектора ,rсоединяющего заряд q с зарядом q´. Кулоновская
сила – центральная сила, поэтому она консервативна и
совершаемая ей работа при перемещении заряда q´ в поле
заряда q не зависит от пути.
Пусть 1 и 2 начальная и конечная точки, в которых
находился заряд q´ . Работа кулоновской силы на пути
между этими точками равна
2
2
2
A12 =  F(r)dr =  F(r)(er  dr) =  F(r)dr =
1
1
1
F
r2
1
1 1
= kqq'  2 dr = - kqq'( - )
r
r2 r1
r1
q'
.
(1.9.1)
. .
dr
где r1 и r2 – расстояния между
зарядами q и q´ в начале и
1
конце движения заряда q´ , а
(er dr) = dr - проекция вектора
перемещения dr на направление вектора силы.
r
.
q
2
Из формулы (1.9.1) следует, что работу можно
записать как разность значений потенциальной энергии
U(r) в начальной и конечной точках
A12 = U 1 - U 2
где
(1.9.2)
qq'
U(r) = k
 const
r
Величина const в потенциальной энергии U(r)
не влияет на
физические свойства. Выберем ее так, чтобы при удалении
заряда q´ от заряда q на бесконечность его потенциальная
энергия обращалась в нуль, тогда получим
const = 0 и значит
qq'
(1.9.3)
U(r) = k
r
Будем теперь рассматривать заряд q´ как пробный
заряд, с помощью которого изучается электрическое поле
заряда q.
U(r)
Составим отношение
. Оно не зависит от
q'
величины пробного заряда и поэтому
характеристикой электрического поля заряда q
U(r)
q
 (r) =
=k
q'
r
 (r)
является
(1.9.4)
- называется потенциалом электрического поля в
точке r.
Из (1.9.4) следует, что потенциал в заданной
точке поля численно равен потенциальной энергии,
которой обладает в этой точке единичный
положительный заряд.
Поэтому потенциал – является энергетической
характеристикой электрического поля.
Формулу (1.9.4) можно переписать в обратном
виде
U  q
(1.9.5)
Значит, некоторый заряд q, находящийся в точке поля
с потенциалом
, имеет
 потенциальную энергию
U.
Подставляя (1.9.5) в формулу для работы
сил
поля
(1.9.2),
совершаемой
при
перемещении заряда q, получаем
A12  U1  U 2  q(1   2 )
(1.9.6)
Следовательно,
работа
сил
электрического поля пропорциональна убыли
потенциала этого поля.
Если заряд q перемещается в точку 2, находящуюся
на бесконечности, то его потенциал обращается в ноль
U 2 (r  )  q 2 (r  )  0
а работа при таком перемещении равна
A1  q1
Следовательно, потенциал численно равен работе,
совершаемой силами электрического поля над единичным
положительным зарядом при его перемещении из заданной
точки 1 на бесконечность.
Такую же по величине работу необходимо совершить
против сил электрического поля, чтобы переместить
единичный положительный заряд из бесконечности в
заданную точку поля.
Если имеется система зарядов q1, q2 , … , qN , то из
принципа суперпозиции полей вытекает, что потенциал
суммарного электрического поля системы равен сумме
потенциалов электрических полей отдельных зарядов
N
N
qi
  k   i
i 1 ri
i 1
(1.9.7)
где - r1, r2 , … , rN - расстояния от зарядов до выбранной
точки поля.
За единицу электрического потенциала принимается
потенциал в такой точке поля для перемещения в которую
из бесконечности положительного заряда величиной 1 Кл
необходимо совершить работу, равную 1 Дж. Эта единица
называется вольтом
1Дж
1B=
1Кл
Для характеристики энергий микрочастиц часто
используется вспомогательная единица энергии –
электронвольт (эВ).
Электронвольт равен работе, совершаемой силами
электрического поля над положительным элементарным
зарядом при его перемещении между двумя точками,
разность потенциалов которых составляет 1 В
1 эВ = 1 В  е = 1 В  1.6  10
-19
Кл = 1.6  10
-19
Дж
1.10 Связь между потенциалом и напряженностью
электрического поля
Электрическое поле можно описать с помощью двух
величин – вектором напряженности E и потенциалом  .
Между ними существует связь, найдем ее.
Для этого используем выражение для силы F ,
действующей на заряд q в электрическом поле E .
С одной стороны эта сила равна
F = qE
С другой стороны, для консервативных сил
F = -U  -(q ) = -q
Приравнивая, получаем
E = -
(1.10.1)
или в декартовых проекциях

Ex = x

Ey = y

Ez = z
(1.10.2)
1.11 Циркуляция напряженности электрического поля
Рассмотрим
замкнутый
контур
L.
Работа
сил
электрического поля по перемещению заряда q вдоль
такого контура , как следует из (1.9.1) и (1.9.6), равна нулю,
поскольку начальная и конечная точки совпадают:
r1 = r2, 1   2
A=
 dA =  qEdl = q  Edl = 0
L
L
L
где dl - вектор элементарного перемещения вдоль контура.
Отсюда
Edl = E l dl = 0
(1.11.1)

L

L
где E l - проекция вектора напряженности электрического
поля E на направление вектора перемещения dl .
Интеграл
Edl
=

L
E
dl
l

(1.11.2)
L
называется циркуляцией вектора напряженности по
замкнутому контуру L.
Следовательно, циркуляция вектора напряженности
электростатического поля по любому замкнутому контуру
равна нулю.
Силовое поле, обладающее таким свойством является
потенциальным.
Циркуляция вектора напряженности электрического
поля равна нулю только для поля неподвижных зарядов.
Если заряды движутся, то циркуляция вектора
напряженности не равна нулю.
1.12 Эквипотенциальные поверхности
Построим поверхность, во всех точках которой
потенциал имеет одно и тоже значение.
Эта поверхность определяется уравнением
 (x, y,z) = const
(1.12.1)
и называется эквипотенциальной поверхностью.
При любом перемещении вдоль эквипотенциальной
поверхности потенциал не меняется, поэтому согласно
(1.9.6) работа электрических сил при перемещении заряда
вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Пусть dl - вектор элементарного перемещения,
направленный по касательной к эквипотенциальной
поверхности. Тогда работа электрических сил при
перемещении заряда q на вектор dl равна
dA = (F  dl) = q(E  dl) = qEdlcos(  )
где  - угол между векторами E и dl . Поскольку
работа при перемещении по эквипотенциальной
поверхности равна нулю, то    / 2
Значит, вектор напряженности электрического поля
перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности в
каждой ее точке.
Поэтому силовые линии напряженности электрического
поля ортогональны к эквипотенциальной поверхности.
Эквипотенциальные поверхности обычно проводят
так, чтобы разность потенциалов между соседними
поверхностями была постоянна. Тогда по густоте этих
поверхностей можно судить о величине напряженности
поля E . Действительно, там где эквипотенциальные
поверхности расположены гуще, там быстрее меняется
потенциал, то есть больше  , а значит больше и
E  
Зная положение силовых линий, можно построить
эквипотенциальные
поверхности
и,
наоборот,
по
расположению эквипотенциальных поверхностей можно
определить в каждой точке поля модуль и направление
вектора напряженности.
Рассмотрим два простых случая, взаимного расположения
силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.
1) Потенциал точечного заряда q равен
q
 (r) = k
r
Из
 (x, y,z) =  (r) = const
следует
r = const
Поэтому эквипотенциальные
поверхности поля точечного заряда
являются концентрическими
сферами, а силовые линии –
радиальными прямыми.
E
2)
Электрическое
поле
между
разноименно
заряженными бесконечными плоскостями однородно и
направлено перпендикулярно к ним. Эквипотенциальные
поверхности
представляют
собой
плоскости
перпендикулярные силовым линиям E и параллельные
заряженным плоскостям.
+ + + + +
E
-
-
-
-
-