Целочисленный КЭХ

Целочисленный
квантовый эффект Холла
B
Электрон
дрейфует поперек
электрического
поля, а вдоль поля
смещается
только при
наличии
рассеяния
B
E=0
В сильном
магнитном
поле электрон
локализован в
окрестности
своей
классической
орбиты
y
x
B
E
Тензоры проводимости и сопротивления
j E
Ej
jx   xx Ex   xy E y
j y   yx Ex   yy E y
E x   xx jx   xy j y
E y   yx jx   yy j y

 xx  2 xx 2
 xx   xy
 xx   yy ,
 yx    xy
 xx   yy ,
 yx   xy
 xy
 xy  2
 xx  2xy
Классическое движение в магнитном поле
Уравнение движения с трением и с усреднением по времени
~
~. e ~
mv
mv  [ vB ]  eE 
~v
x

c
e
~
 v y  E

m
~v
y
 ~v x

j  ne~v
j E

0
1  (  ) 2
 0 
 xy 
1  (  ) 2
~v 
x
z B
eB
mc
x
 xx 
 xy
E
e E
m
1  (  ) 2
При
 xx 
y
()
  
 xx  0
 xy 
0 nec


B
Продольная проводимость возникает в результате рассеяния ...
... в объеме
... или вдоль поверхности
v
y
x
B
E
Магнитное и размерное квантования
B
b
kz N = 5
s
2

 2N z 
    ||  ( N  12 ) 


2m  b 
2
Вырожденность всех
(N, Nz )-уровней одинакова и равна
1

,
2
2rB
rB2  c
Число занятых уровней
kz 2
Ns
F0
4
3
1
2
kz Ns= 5
N=0
1
2
3 4
k
nb 2c(nb)



eB
В полях
Bi 
2c 1
nb
e
i
N=0 1
3
1
eB
k
(i  1,2,3,...)
= i  целые числа и все занятые уровни заполнены полностью.
1
k
Влияние края на энергию 2D-электрона в магнитном поле
N=1
/h
N=1
N=0
N=0
N
3
4
3
F
2
2
1
1
0
0
0
r
Основные двумерные системы: пленки и ...
... гетероструктуры
... МОП-структуры
Si
GaAs
F
GaAs
AlxGa1-xAs
F
SiO2
AlxGa1-xAs
Metal
Основные измерительные конфигурации
Холловский мостик
3
xx =(V34/J12)(a/b)
4
a
1
B
b
A
Диск Корбино
2
a2
a1
1
xy =V35/J12
5
xx , xy
2
6
 xx = ( J 12 /2  V 12 )ln( a 2 / a 1)
xx
Нобелевская работа
2h/2e2
Si
xy
B = 17.9 T
T = 1.5 K
Si
6.50
2h/3 e
xy (k)
2
8
2h/4e2
2h/6e
4
0= 4
6.45 6453.3 
6.40
Rxx
2
Rxx ()
Rxx , xy (k)
12
2h/8e2
n =1
B = 13.0 T
T = 1.8 K
400
200
n =2
0
10
20
0
30
Vg (V)
23.0
23.5
Vg (V)
24.0
K. von Klitzing, C. Probst and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)
 e 

 xy  i 
 2 
2
GaAs  Al 0. 3Ga 0.7 As
10
n = 3.71011 cm2
T = 8 mK
xy (k)
12
Основные экспериментальные вопросы:
0 = 3
8
0 = 4
6
4
0 = 8
0 = 6
1. Точность и воспроизводимость xy на плато
2. Относительная протяженность плато
3. Температурная зависимость xx на плато
1
1
4
2
GaAs  Al xGa 1x As
3
11
3 +3
40
2
B (T)
4
6
!
GaAs  Al xGa 1x As
n = 2.41011 cm2
xy (k)
1
1
0 = 1
40mK
10
5
2
1
30
20
400 mK
105 mK
9 mK
1
0
2
2
3
4 +4
5
0.5
2 +2
xx (10  )
Rxx (k)
0
1.0
n = 3.210 cm
0.95K
0
0 = 2
10
B (T)
15
G.Ebert, K. von Klitzing, C.Probst, K.Ploog,
Sol. State Comm.44, 95 (1982)
2
3
4
B (T)
5
6
S.Koch, R.J.Haug,
K. von Klitzing , K.Ploog
Phys. Rev. B 43, 6828 (1991)
Идеальный 2D-слой
Vg1
s
s
s
E
3
F
F
2
1
Vg3
Vg2
N= 4
(i )Vg   
e
B

mc
F
 >3
= 3
< 3
( m )Vg  n es 
e 2 Bs
 (2r ) es 
2c
2 1
B
0
Локализованный уровень
в неидеальном 2D-слое
Идеальный
2D-слой в
состоянии
изолятора
(i )Vg
 Vg
( m)
2
2



sme
2
 2aB
s
Все характерные длины случайного
потенциала много больше
ларморовского радиуса
Поэтому электроны движутся по
спиралям, навивающимся на
эквипотенциали.
Случайный двумерный длиннопериодный потенциал превращает
плоскость  = const в “холмистый пейзаж”.
Уровень Ферми
Уровень Ландау превращается в полосу. Состояния на краях полосы
локализованы вдоль замкнутых эквипотенциалей, но в центре
полосы обязательно есть протяженные состояния, расположенные
вдоль эквипотенциалей, уходящих на бесконечность.
Длиннопериодный случайный потенциал
Oy
_
_
A2
Ox
A2
+
+
_
+
_
_
A1
+
_
_
A1

+
+
_
_
+

+
_
E=0

E
Перколяционная сетка
Неидеальный 2D-слой
Vg
Vg
Vg
s
s
N=2
Изменение
концентрации
носителей
  1.5
F
s
E
2
1.5 <  < 2
= 2
F
F
1
N=1

Vg
s
Изменение
магнитного
поля
Vg
s
N=2
B2B1
B1
N=1
s
2
E
B3B2
1.5 <  < 2
  1.5
F
Vg
F
F
1

= 2
3
a
1
b
J12
A
5
 xy  V35 J12
Форма двумерной области между холловскими контактами
несущественна
Потенциал (или ток), приложенный извне
Диск Корбино
Квазиидеальная полоска с двумя контактами
A
'
V
1
2
V
J
1
2
0
2
A
Эквипотенциали
(обычно вдоль них течет
холловский ток)
На плато
 e2 
J12
 ,
 i 
V12
 2 
B
 e2 
V12
J12   J i  i 
 2 
0
B
'
Токи текут :
либо по краевым каналам ,
либо вдоль эквипотенциалей под уровнем Ферми
FN

E
d
g
ec
h
a
n
n
e
l
V
1
2
A
x
На самом деле происходит распределение токов между
краем и объемом в зависимости от рассеяния
B
'
VA
1
2
J
1
2
2
A
0
B
'
B
Температурная зависимость продольной проводимости
в режиме квантового эффекта Холла (т.е. на плато)
 *
 xx  exp    ,
 T 
20
3
10
10
T (K)
5
4
3
Rxx ()
g () (109cm2meV1)
B =7.85 T
30
7.75
25
7.66
20
102
10
 *
 xx  exp   
 T 
7.60
7.48
7.39
=2
7.35
7.43
7.31
7.23 7.27
1
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
T 1(K1)
7.54
g0
15
10
=2
5
0.35
0
 6 5 4 3 2 1 0
 (meV)
GaAs – AlxGa1xAs
E. Stahl, D. Weiss, G. Weimann, K. von Klitzing, K. Ploog, J. Phys. C 18, L783 (1985)
Температурная зависимость продольной проводимости
в режиме квантового эффекта Холла (продолж.)
GaAs – AlxGa1xAs
4 3.5 3
1.5
1.2
10
xx ()
Режим
Мотта
1
0.5
0.6
0.7
T
1/3
0.8
(K 1/3)
0.9
D.C. Tsui, H.L. Störmer, A.C. Gossard
Phys. Rev. B 25 1405 (1982)
2.0
xxT (1 xxT2/3 (1
20
T (K)
2.5 2
T 1/3 (K1/3)
2.5
3.0
3.5
6
10
107
xxT 2/3 vs T 1/3
108
109 xxT vs T 1/2
Режим
Эфроса
Шкловского
1010
1011
2
3
6
5
4
T 1/2 (K1/2)
7
G.Ebert, K. von Klitzing, C.Probst, et al.,
Sol. State Comm.45, 625 (1983)
Цепочки фазовых переходов
=
5.5 4.5
3.5
12
2.5
8
6
xy (k)
10
4
200
xx ()
6 4
7 5
2
3
2
0
100
0
0
1
1
2
2
B (T)
4
6
M.A. Paalanen, D.C. Tsui, A.C. Gossard,
Phys. Rev. B 25, 5566 (1982)
Всплывание уровней
Д.Е. Хмельницкий, Phys. Lett. 106A, 182 (1984)
 xy   xx ()


2


e
1


 xy  i 
2  2 


rB2  c
ne2 
1
 xx 
m 1  ()2
eB
2
2
m
1

(


)
1
1

(


)
1 )
n  (i  1 2 )

(
i

2
2 2
2rB2 ()2
Количество заполненных
протяженных состояний
(минизон Ландау)
Эффективное количество состояний в
каждой из минизон, у которой есть
заполненное протяженное состояние
При  <~ 1 локализованные состояния верхних минизон
«просачиваются» под протяженные состояния нижних
минизон.
Всплывание уровней (продолжение)
В 2D-системах уровень Ферми пропорционален концентрации n.
 2k F2  2

n
Например, в идеальной 2D-системе без магнитного поля  F 
2m
m
Поэтому для i-того протяженного состояния E(i)
i=
2
F
E(i)
2
2
1

(


)
Ei 
n  (i  12 )
m
()2
i
i=1
i=0
0
1
2

3
4
5
Всплывание уровней (Эксперимент)
1.3
3.5
4
1.6
2
4
1.5
=

3
2
GaAs  Al 0. 3Ga 0.7 As
T = 25 mK
0
0
2.3 T
0
1.30
1.25
Vg (V)
4
B (T)
8
12
11
2
n (10 /cm )
Vg (V)
1.7
b)
.5 1.6
=0.5
2.8
2.5
a)
1.0
1
1
Vg (V)
0
n (1011/cm2)
4.4 T
3
2
xx (e /2h)
3
2
=
2.5
11
n (10 cm )
1.4
1.5
1.2
1.5
1.4
1.5
1.3
1.3
2
3
B (T)
4
1.20
I. Glozman, C.E. Johnson, and H.W.Jiang, Phys. Rev. Lett. 74, 594 (1995)
5
Всплывание уровней (Эксперимент)
5
i=4
i=3
i=2
3
Insulator
n (1011cm2)
4
2
1
0
i=1
Insulator
0
2
4
B (T)
6
8
M. Hilke, D. Shahar, S.H. Song, D.C. Tsui, and Y.H.Xie,
Phys. Rev. B 62, 6940 (2000)
Двухпараметрический скейлинг
i =0
2
2
i =0
/2
i=2

 1
xx
xx
i =1
1
A0
0
1
=



1
C1
0.5
C2
A1
1
1.5
xy
i= 2
i =1
0
a)
b)
C1
A2
2
A0
0
0.5
C2
A1
1
1.5
xy
A2
2
xx (e2/2h)
1
0
5
7
9
B (T)
11
2
1108
1
xx(e /2h)
0
Q/e
1108
13
0
0
 xy ( e / 2  h )
2
1