Колебания Гармонические колебания Математический маятник Физический маятник

Колебания
Гармонические колебания
Математический маятник
Физический маятник
Колебания
 Колебания - это любой физический
процесс, характеризующийся
повторяемостью во времени.
 В процессе колебаний значения
физических величин, определяющих
состояние системы, повторяются.
Колебания
 Колебания называются периодическими,
если значения изменяющихся физических
величин повторяются через равные
промежутки времени.
 Время, за которое происходит одно полное
колебание, называется периодом
колебаний.
Колебания
 Число полных колебаний
n
,
совершаемых за единицу времени,
называется частотой колебаний этой
величины и обозначается через  .
Период и частота колебаний связаны
соотношением :
1

T
Колебания
 Любое колебание обусловлено тем или
иным воздействием на колеблющуюся
систему. В зависимости от характера
воздействия, вызывающего колебания,
различают следующие виды
периодических колебаний: свободные,
вынужденные, автоколебания,
параметрические.
Колебания
 Свободные колебания — это колебания,
происходящие в системе, предоставленной
самой себе, после выведения ее из состояния
равновесия. Свободные колебания могут быть
гармоническими и затухающими.
 Вынужденные колебания — это колебания,
обусловленные внешним периодическим
воздействием.
Колебания
 Автоколебания —вынужденные колебания,
при которых моменты внешнего воздействия
задает сама система.
 Параметрические колебания — это
колебания, в процессе которых происходит
периодическое изменение какого-либо
параметра системы
Малые (гармонические) колебания
 Рассмотрим колеблющуюся систему с одной
степенью свободы – материальная точка
совершает колебания вдоль оси
около
точки x  0 .
x
m
0
x
Гармонические колебания
 Разложим потенциальную энергию частицы,
колеблющейся около начала координат, в ряд
1
2


U ( x)  U (0)  U (0) x  U (0) x 
2!
Так как точка
равновесия, то
0
- точка устойчивого
U (0)  min, U (0)  0.
Гармонические колебания
 Для минимума функции
U (0)  0, U (0)  k  0 ,
1 2
U ( x)  U (0)  kx .
2
 Если потенциальную энергию отсчитывать от
положения равновесия, то
1 2
U (0)  0, U ( x)  kx .
2
Гармонические колебания
 Воспользуемся связью потенциальной
энергии с силой
U ( x)

 Fx .
x
 Подставим выражение для потенциальной
энергии, получим
Fx   kx.
Гармонические колебания
 Силы, пропорциональные смещению и
стремящиеся вернуть систему в положение
равновесия, называются квазиупругими
силами.
 Динамическое уравнение движения для
колеблющейся системы запишется в виде
..
m x  kx;
..
m x  kx  0.
Динамическое уравнение гармонических
колебаний
 Преобразуем уравнение
..
k
x  x  0.
m
k
2
 0 .
m
Введем обозначение
 Динамическое уравнение приобретает вид:
..
2
x  0 x  0.
Кинематическое уравнение
гармонических колебаний
 Решением динамического уравнения
является функция
x(t )  A cos(0t  0 ).
 А – амплитуда колебания,



0 - циклическая частота ,
0t  0 - фаза колебания,
 0 - начальная фаза колебания .
Гармонические колебания
 Таким образом, гармонические колебания –
это колебания, происходящие по закону
косинуса или синуса под действием
квазиупругих сил.
x(t )  A cos(0t  0 ).
Fx   kx.
Скорость при гармонических колебаниях
 По кинематическому закону
колебаний
гармонических
x  A cos( 0 t   0 )
найдем скорость
.
 x  x  0 A sin(0t  0 ) 

0 A cos(0t  0  ).
2
Колебания скорости опережают колебания смещения

по фазе на
.
2
Ускорение при гармонических
колебаниях
 Найдем ускорение
..
2
wx  x  0 A cos(0t  0 ) 
2
0 A cos(0t  0  ).
Колебания ускорения опережают колебания
смещения на
, то есть происходят в
противофазе.

Гармонические колебания
Графики координаты x(t),
скорости υ(t) и ускорения w(t)
тела, совершающего
гармонические колебания.
.
Начальные условия
 Амплитуда и начальная фаза свободных
гармонических колебаний зависят от
начальных условий – параметров состояния в
начальный момент времени: от x0 и 0 .
Положив t  0 , из формул
x(t )  A cos(0t  0 ),
 x  0 A sin( 0t  0 )
 получим :
Начальные условия
 0   0 A sin  0
x0  A cos  0
 x 02  A 2 cos 2  0
 2
0
2
2

A
sin
0
 2
 0
 x02  A 2 cos 2  0
 2
 0   02 A 2 sin 2  0
2
A  x0 
tg 0  
0
0
2
0
2.
x00
.
Закон сохранения энергии при
гармонических колебаниях
 Квазиупругие силы являются силами
консервативными, следовательно, при
гармонических колебаниях механическая
энергия сохраняется.
 В процессе колебаний осуществляется
непрерывный переход кинетической
энергии в потенциальную и потенциальной
в кинетическую.
Закон сохранения энергии при
гармонических колебаниях
 При гармонических колебаниях
кинетическая энергия меняется по закону
m x 2 1
2 2
2
K
 mA 0 sin (0t  0 ).
2
2
 Потенциальная – по закону
kx 2 1 2
U
 kA cos 2 (0t  0 ).
2
2
Закон сохранения энергии при
гармонических колебаниях
 В любой момент времени полная энергия
равна:
1
2
2
K  U  mA 0 sin 2 (0t  0 ) +
2
1 2
1
2
1
2
kA cos (0t  0 ) = kA = m02 A2 .
2
2
2
Математический маятник
 Математический маятник представляет
собой материальную точку, подвешенную
на невесомой и нерастяжимой нити.
 Реальным приближением к
математическому маятнику может служить
небольшой шарик, подвешенный на тонкой
длинной нити.
Математический маятник
 В соответствии с динамическим уравнением
вращательного движения
d z
I
 Mz,
dt
I z  M z.
Математический маятник
 Для рассматриваемой системы
0
I  ml ,
2
M z  mgl sin  .
Следовательно уравнение
движения имеет вид:
ml   mgl sin  .
2
l 

T

mg
Математический маятник
 Для малых углов
g
    0
l
g
Введя обозначение
получим
l

     0
2
0
2
0
,
Математический маятник
 Решением этого уравнения является
функция
 (t )  A cos 0 t   0 
- кинематическое уравнение гармонических
колебаний математического маятника.
Математический маятник
 Период этих колебаний
2
l
T
 2
0
g
 Частота
1
1
 
T 2
g
l
Физический маятник
 Физический маятник представляет собой
твёрдое тело, совершающее под

действием силы тяжести
N
колебания вокруг
0
неподвижной точки или оси.
(Исключением является центра 
масс и ось, проходящая
через центр масс).
l
lпр
0

mg
Физический маятник
 Уравнение колебаний физического
маятника аналогично уравнению
математического маятника и запишется в

виде
J  mgl  0 a    0,
2
0
где
  mgl / J
2
0
Физический маятник
 Период колебаний физического маятника
определяется формулой
J
T  2
mg
Физический маятник
 Математический маятник с приведённой
длиной
J
 пр 
m
будет иметь такой же период колебаний
как и данный физический. При этом точка
0  будет центром качания физического
маятника.