Лекция 2. Кинематика.

Лекция №2
Механика
Кинематика материальной точки
Алексей Викторович
Гуденко
15/02/2014
Кинематика






Ньютоновская (классическая)
нерелятивистская механика.
Механическое движение. Кинематика точки.
Основные понятия кинематики – путь,
перемещение, скорость, ускорение.
Основная задача кинематики.
Преобразование Галилея и закон сложения
скоростей.
Примеры решения задач кинематики.
Демонстрации


Свободное падение тел в вакууме
Жёлоб Галилея.
Кинематика
Основные понятия




Кинематика занимается описанием движения
без выяснения причин, его вызывающих.
Система отсчёта:
тело отсчёта + система координат + часы
Единица длины – метр (м);
единица времени – секунда (с)
Модели:
1.
2.
материальная точка – тело, размерами которого при
описании движения можно пренебречь.
абсолютно твёрдое тело – тело, деформациями
которого в условиях задачи можно пренебречь.

Классическая нерелятивистская механика
– это механика макроскопических тел,
движущихся с малыми скоростями.
Характерные скорости и массы




Скорость света:
c = 300000 км/с = 3 108 м/с = 3 1010 см/с
Скорость космического аппарата:
v ~ 10 км/с.
Скорость орбитального движения Земли:
v ≈ 30 км/с.
Погрешность: (v/c)2 ~ 10-9 ÷ 10-8
Протон в ускорителе: Δv = |v –c| ~ 1см/с;
Электрон в ускорителе: Δv = |v –c| ~ 0,1мм/с – к таким частицам
ньютоновская механика неприменима:
Ускоритель рассчитывается по законам релятивистской
механики.
Масса протона mp = 1,67 10-27 кг = 1,67 10-24 г
Масса электрона me = 9,11 10-31 кг = 0,911 10-27 г
Природа квантовых флуктуаций –
принцип неопределённости


Один из основополагающих законов физики принцип неопределенности Гейзенберга:
невозможно одновременно точно
установить скорость частицы и ее
положение.
Масштаб неопределённости: произведение
неопределенности скорости ΔVx (импульса)
частицы на неопределенность ее положения Δx
должно всегда превышать очень маленькую
величину, которая называется постоянной
Планка.
Соотношение неопределённости
Гейзенберга
Δx Δp ≥ h  Δx Δv ≥ h/m
(теория: Δx Δp ≥ ћ/2)
h = 6,62 10-34 Дж с = 6,62 10-27 эрг с
ћ = h/2π = 1,055 10-27 эрг с.
 m ~ 1г  Δx Δv ≈ 1,055 10-27 
Δx ~ 10-13 см; Δv ~ 10-13 см/c
 Для электрона: Δx Δv ~ 1(СГС)
– в атоме: Δx ~ 10-8 см; Δv ~ 108 см/c !!!
– в электронно-лучевой трубке:
Δr ~ 0,1 мм = 10-2 см;
Δv ~ 100 см/c
U ~ 10 кВ  v = 5 109 см/с; Δv/v = 10-7

Кинематики материальной
точки







Описать движение материальной точки
означает указать её положение в
пространстве в любой момент времени, т.е.
установить закон движения материальной
точки.
координатный способ:
x = x(t); y = y(t); z = z(t) – три степени свободы
материальной точки
векторный способ:
r = r(t) – радиус-вектор
Траектория движения тела – линия,
которую описывает тело в процессе
движения
Путь – длина траектории s.
Перемещение – вектор, соединяющий
начальное положение точки с конечным:
Δr = r – r0
Для малых перемещений Δr ≈ Δsτ
τ – единичный вектор вдоль Δr
Y
перемещение
траектория
y0
Δr
y
r0
r(t)
x0
x
X
Скорость и ускорение

Скорость:
v = dr/dt = τ ds/dt = vτ – скорость направлена по
касательной к траектории в сторону движения

Ускорение:
a = dv/dt = d(vτ)/dt
a = dv/dt τ + v2/R n
aτ = dv/dt – тангенциальная составляющая ускорения
характеризует быстроту изменения величины скорости
an = v2/R – нормальная составляющая ускорения
направлена по нормали в сторону вогнутости и
характеризует быстроту изменения направления
скорости. (R – радиус кривизны траектории).
Полное ускорение
a2 = an2 + aτ2



Скорость и ускорение
Y
v1
v1
dr = sτ
v
r
v2
Δvn
Δv
v2
Δvτ
r + dr
aτ
an
v
0
X
a
Уравнение движения с постоянным
ускорением



a = const 
dv/dt = a  v = v0 + at – закон изменения скорости
при равноускоренном движении 
dr/dt = v0 + at  r = r0 + v0t +at2/2
s = r - r0 = v0t +at2/2 – закон равноускоренного
движения
Свободное падение




Все тела, независимо от
их массы приобретают в
гравитационном поле
одинаковые ускорения
(Галилей).
В поле тяжести Земли
тела движутся с
постоянным ускорением
g = 9,8 м/с2
V = V0 + gt
r = r0 + v0t +gt2/2
Жёлоб Галилея и закон нечётных
чисел


S1: S2: S3…= 1:3:5…
S = S1 + S2 + S3 + …= at2/2
Бросок под углом к горизонту




v0t sinα = gt2/2  время полёта
t = 2v0sinα/g
Дальность полёта:
s = Δr = v0tcosα = v02sin2α/g
Максимальная высота подъёма:
h = gt2/8 = v02sin2α/2g
Радиус кривизны в верхней точке
траектории:
an = g = (v0cosα)2/r 
r = (v0cosα)2/g = 2hctg2α
Движение по окружности





ω = dφ/dt – угловая скорость.
Вектор ω – направлен вдоль оси вращения по
правилу буравчика.
ε = dω/dt - угловое ускорение
v = [ωr]
aτ = εr – тангенциальное ускорение;
an = ω2r = v2/r; an = -ω2r – центростремительное
ускорение
T = 2π/ω – период обращения; f = 1/T – частота
вращения.
Относительность движения
Закон сложения скоростей



K′ поступательно движется
относительно системы К
r = r0 + r′ 
Y′
Y
K - система
v = v0 + v′
классический (нерелятивистский)
закон сложения скоростей:
абсолютная скорость тела v равна
векторной сумме относительной
скорости v′ и переносной скорости v0
движущейся системы отсчёта
a = a0 + a′
a0 = 0  a = a′
при равномерном и прямолинейном
движении СО относительно друг друга (v0
= const) ускорение тела в этих двух
системах одинаково
K′ - система
A
r′
r
O′
X′
r0
O
X
Колесо





x = v0t + Rsinωt
y = R + Rcosωt
vx = x’ = v0 + ω Rcosωt = v0(1 + cosωt)
vy = y’ = - ωRsinωt = - v0sinωt
Отсутствие проскальзывания: vx(φ = π) = 0  v0 = ωR
v2 = vx2 + vy2 = 4v02cos2φ/2  v = 2v0cosφ/2 = ωDcosφ/2
= ωAB
радиус кривизны: a = a’  a = an = v02/R = (2v0)2/rкр 
rкр = 4R
Циклоида: x = R(φ + sinφ)
y = R(1 + cosφ)

Радиус кривизны в вершине циклоиды: r = 4R
Тень бежит по скале: закон
движения?



h(t) = R/cosφ – R ≈ R(1/(1 – ½φ2) – 1) ≈
φ2R/2 = ω2Rt2/2 = aэквt2/2
aэкв = ω2R = vэкв2/R = 3,4 см/с2
h = 1 км 
t = (2h/aэкв)1/2 ≈ 4 мин.
Примеры и задачи







Задача про колесо (№ 1.6)
Задача про Лунную тень (№ 1.5)
Венерианские сутки (№ 1.3)
Скала на экваторе (1.12): за какое время километровая
скала на экваторе закроется тенью?
Жёлоб Галилея(закон нечётных чисел): s1 : s2 : s3…=
1:3:5…
Свободное падение: s = v0t + gt2/2: уравнение траектории;
время полёта; дальность полёта; максимальная высота,
кривизна траектории
(R = (x’2 + y’2)3/2/(x’y’’ – x’’y’) = (1 + y’2)3/2/y’’)
Стрелок и яблоко. Куда должен целиться стрелок, если
яблоко отрывается в момент выстрела?
Эйнштейн о соотношении
неопределённости

«Но ведь не гадает же господь
Бог «орёл-решка», чтобы решить
куда должен двигаться
электрон!»
Альбе́рт Эйнште́йн (Albert Einstein)
(1879 -1955)
физик-теоретик, один из основателей
современной теоретической физики,
лауреат Нобелевской премии по
физике 1921 года.