Задачи с параметрами на определение свойств решений

Задачи с параметрами на
определение свойств
решений квадратных
уравнений и неравенств
• Свойства решений квадратных
уравнений
Рассмотрим квадратное уравнение
ax  bx  c  0, (a  0)
2
Дискриминант
(1)
D  b  4ac,
корни x1;2   b  D
2a
2
(в случае
D0
)
Уравнение
x2 
b
c
x 0
a
a
получено из (1) делением на
b
,
a
c
q .
a
x2  px  q  0
(2)
Введем обозначение
Уравнение
a  0.
p
называется приведенным квадратным уравнением.
Теорема Виета
Пусть уравнение (2) имеет действительные
решения
Тогда
x1, x2 .
 x1  x2   p,

 x1  x2  q.
Пример 1.
Найти сумму и произведение корней уравнения
3x2  4 x  5  0.
Решение.
1) Проверка: имеет ли уравнение действительные корни?
D  4 2  4  3  (5)  0
Уравнение имеет
действительные корни.
2) Нахождение суммы и произведения корней
уравнения с использованием теоремы Виета.
4
5
x1  x 2   , x1  x 2   .
3
3
Пример 2.
Найти сумму и произведение корней уравнения
2x2  3x  3  0.
Решение.
Проверка: имеет ли уравнение действительные корни?
D  32  4  2  3  0
Уравнение не
Ответ.
имеет действительных корней.
Уравнение не имеет действительных корней.
Пример 3.
При каких значениях параметра а произведение
корней уравнения
Решение.
x2  ax  5a  0 равно 10 ?
1) Найдем все значения параметра а, при которых
уравнение имеет действительные решения.
D  а2  4 1  5а  а2  20а  а(а  20) ≥ 0
a (-;0]  [20; ).
2) По теореме Виета произведение корней уравнения
равно 10, если
Решение системы:
Ответ.
a  .
D  0,

5a  10.
a  (-;0]  [20; ),
 a  .

a  2
Применение теоремы Виета при
исследовании свойств решений
квадратных уравнений
 Уравнение (2) имеет корни одного знака, если
 Уравнение (2) имеет корни разных знаков, если
D  0,

q  0.
 D  0,

q  0.
 D  0,

 Уравнение (2) имеет положительные корни, если q  0,
 p  0.

 D  0,

 Уравнение (2) имеет отрицательные корни, если q  0,
 p  0.

Пример 4.
При каких значениях параметра а уравнение
x2  ax  5a  0 имеет корни разных знаков ?
Решение.
1) Найдем все значения параметра а, при которых
уравнение имеет действительные решения.
D  а2  4 1  5а  а2  20а  а(а  20) > 0
a (-;0)  (20; ).
2) Уравнение имеет корни разных знаков, если
D  0,

5a  0.
Решение системы:
Ответ.
a  (-;0)  (20; ),
 a  (;0).

a  0
a (;0).
• Свойства решений квадратных
неравенств
Рассмотрим квадратное неравенство
ax  bx  c  0 (*) ,(a  0)
2
Дискриминант
(3)
D  b  4ac,
b D
корни x1;2 
2a
2
(в случае
(*) Возможные знаки неравенства: >, <, ≥, ≤.
D0
)
Задача отыскания решений квадратного неравенства (3)
связана с исследованием соответствующего квадратного
уравнения (1), и, следовательно, с возможностью
использовать теорему Виета для приведенного уравнения (2).
При каких значениях параметра а неравенство
Пример 5.
- x2  ax  1 0 имеет только положительные решения ?
Решение.
y
+
-
0
x1
x2
x
-
 D  0,

1  0,
- a  0

Ответ.
- существование решений
неравенства в виде промежутка
- корни квадратного
уравнения (точки пересечения с
осью Оx) – положительные
a  (2; ).