ЭММиПМ вариант 9

Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
экономико-математические методы и прикладные модели
Вариант № 9
Студент:
факультет учетно-статистический,
специальность бухгалтерский учет,
анализ и аудит,
вечерняя группа, 3 курс
№ личного дела
Преподаватель: Арланцева Елена Руслановна
Калуга – 2009 г.
Содержание
Задача 1…………..
Задача 2…………..
Задача 3………….
Задача 4……………
2
Задача 1
При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов.
Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем
каждого ресурса задан в таблице.
Таблица 1
Норма затрат ресурсов на товары
Ресурсы
1-го вида
2
1
4
0
1
2
3
4
2-го вида
2
2
0
4
Общее количество
ресурсов
12
8
16
12
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2
ден. ед., второго вида – 3 ден. ед..
Задача состоит в формировании производственной программы выпуска
продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые
комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что
произойдёт, если решить задачу на минимум и почему?
Решение
Имея данные о прибыли от реализации каждого вида продукции, преобразуем
Таблицу 1 в Таблицу 2.
Таблицу 2
Норма затрат ресурсов на товары
Ресурсы
Общее
количество
1-го вида
2-го вида
ресурсов
1
2
2
12
2
1
2
8
3
4
0
16
4
0
4
12
3
Прибыль от
продажи
2
3
1. Составим экономико-математическую модель задачи.
Пусть х1 и х2 - количество товара 1-го и 2-го видов, необходимые для
получения максимальной прибыли. Тогда экономико-математическая модель
будет иметь вид:
F(X)= 2x1 +3x2 → max, при ограничениях в количестве ресурсов.
X = (x1;x2) – вектор, при котором F(X) → max и выполняются ограничения
2 х1  2 х2  12
х  2х  8
 1
2

4 х1  16
4 х2  12
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.
Для получения решения графическим методом строим прямые:
2 x1  2 x2  12
1x1  2 x2  8
x1
0
6
x1
0
8
x2
6
0
x2
4
0
4 x1  16
4 x2  12
x1  4
x2  3
4
Область допустимых решений: заштрихованная плоскость.
Строим прямую: 2 x1  3 x2  0
x1
0
-3
x2
0
2

И вектор c (2;3)
Максимум ищем в точке области допустимых решений наиболее удаленной от

прямой 2 x1  3 x2  0 по направлению вектора c . Он достигается либо в точке А,
либо в точке В. Найдем их координаты:
1x1  2 x2  8

 x1  0
А (0; 4)
1x1  2 x2  8
2 x  2 x  12
2
 1
4 x1  16
В (4; 2)
Теперь найдем значение целевой функции в каждой точке:
f  A  f 0;4  2  0  3  4  12
5
f B   f 4;2  2  4  3  2  14
Таким образом, максимум функции достигается в точке В.
Для того, чтобы получить максимум прибыли 14 ден.ед. необходимо
произвести 4 ед. продукции первого вида и 3 ед. продукции второго вида.
Если решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при
котором предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции
необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой

2 x1  3 x2  0 по направлению вектора c . Очевидно, что он достигается либо в
точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.
Значит, для того, чтобы получить минимально возможную прибыль (в
данном случае вообще не получить ее) необходимо не производить продукцию.
6
Задача 2
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья.
Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида
продукции приведены в таблице.
Нормы расхода сырья на одно изделие
Запасы
сырья
Тип сырья
А
Б
В
Г
I
II
III
2
1
3
1
5
0
0,5
3
6
4
0
1
Цена изделия
7,5
3
6
12
2400
1200
3000
Требуется:
1)
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от
реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2)
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с
помощью теорем двойственности.
3)
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4)
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
-
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной
задачи;
-
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при
увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья
II вида;
-
оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10ед., если
нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.
7
Решение.
1) Пусть необходимо изготовить x1 единиц изделия А, x2 единиц изделия Б,
x3 единиц изделия В и x4 единиц изделия Г. Прямая оптимизационная задача на
максимум прибыли имеет вид:
f  x   7,5 x1  3x2  6 x3  12 x4  max
2 x1  x2  0,5 x3  4 x4  2400
 x  5 x  3 x  1200
 1
2
3

3 x1  6 x3  x4  3000

 xi  0
Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки
«Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
E
F
G
Задача 2
Значения переменных
Коэф. целевой ф - ии
Х1
0
7,5
X2
0
3
X3
0
6
X4
0
12
ЦФ
=СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B5:E5)
Ограничения
I
II
III
2
1
3
1
5
0
0,5
3
6
4
0
1
Левая часть
=СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B8:E8)
=СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B9:E9)
=СУММПРОИЗВ($B$4:$E$4;B10:E10)
A
2
3
4 Значения переменных
5 Коэф. целевой ф - ии
6
7 Ограничения
8
I
9
II
10
III
B
C
Х1
D
X2
E
X3
F
Правая часть
2400
1200
3000
G
X4
0
7,5
0
3
0
6
2
1
3
1
5
0
0,5
3
6
0 ЦФ
12
0
Левая часть
4
0
1
0
0
0
Правая часть
2400
1200
3000
Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск
решения»:
8
В результате будет получена следующая таблица:
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
E
F
G
Задача 2
Х1
Значения переменных
Коэф. целевой ф - ии
Ограничения
I
II
III
X2
X3
X4
0
7,5
0
3
400
6
2
1
3
1
5
0
0,5
3
6
550 ЦФ
12
4
0
1
9000
Левая часть
Правая часть
2400
2400
1200
1200
2950
3000
Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 9000 ден.ед.
необходимо изготовить 0 единиц изделии А и Б, 400 единиц изделий В и 550
единиц изделий Г.
2) Строим двойственную задачу в виде:
9
v y   b  y  min
A  yc
T
y   y1; y2 ; y3 
, где
b  2400;1200;3000 
 2 1 0,5 4 


A  1 5 3 0
3 0 6 1


 2

 1
AT  
0,5

 4
c  7,5;3;6;12
1 3

5 0
3 6

0 1 
Запишем двойственную задачу:
v y   2400 y1  1200 y2  3000 y3  min
2 y1  y2  3 y3  7,5
y  5y  3
2
 1
0,5 y1  3 y2  6 y3  6
4 y1  y3  12

 yi  0
Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности.
Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:
2  0  1  0  0,5  400  4  550  2400

1  0  5  0  3  400  0  550  1200
3  0  0  0  6  400  1  550  2950  3000

Так как третье неравенство выполняется как строгое, то y3  0
Так как x3  0 и x4  0 , то получаем систему уравнений:
0,5 y13 y 2  6 y3  6

4 y1  y3  12
y  0
 3
10
Решение системы: y1  3 , y2  1,5 , y3  0
min v y   2400  3  1200  1,5  3000  0  9000  max f  x 
3) В двойственной задаче y3  0 , так как III вид ресурсов является
избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.
4) а) Наиболее дефицитным является I вид ресурсов, так как его
двойственная оценка ( y1  3 ) является наибольшей.
б) При увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед.
запасов сырья II вида увеличение выручки составит:
100  3  150  1,5  75 ден.ед.
И она составит: 9000  75  9075 ден.ед.
Определим изменение плана выпуска из системы уравнений:
0,5 x3  4 x4  2400  100

3 x3  1200  150
То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:
x1  0
x2  0
x3  350
x4  581,25
max f  x   9075
в) оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10ед., если
нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.
Затраты на изготовление единицы изделия Д составят:
  2 y1  4 y2  3 y3  2  3  4  1,5  3  0  12
Так как затраты на производство изделия превышают его стоимость
(   12  10 ), то включение в план изделия Д нецелесообразно.
11
Задача 3
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех
видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске
продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске
продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье
предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции
потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление),
остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является
конечным
продуктом).
Специалистами
управляющей
компании
получены
экономические оценки аij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы
А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi
вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1. Проверить
продуктивность
технологической
матрицы
A=(аij)
(матрицы
коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения
продукции предприятий холдинга.
A=
0,4
0,2
0,3
0,2
0,1
0,0
0,2
0,1
0,0
180
Y=
200
160
Решение.
Для решения задачи используем табличный процессор EXCEL.
1. Матрица коэффициентов прямых затрат A является квадратной матрицей
порядка n=3. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат B  ( E  A) 1 , где
1 0 0


E   0 1 0  — единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной
0 0 1


12
функции EXCEL «МОБР» получим:
2,045 0,523 0,614
B= 0,455 1,227 0,136
0,455 0,227 1,136
Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат B неотрицательны,
следовательно матрица коэффициентов прямых затрат A продуктивна.
2. Вычисляем вектор валовой продукции X по формуле X  B  Y . С
помощью встроенной функции EXCEL «МУМНОЖ» получим:
570,91
X= 349,09
309,09
Распределение продукции между предприятиями (внутреннее потребление)
определяется из соотношения xij  aij  X j . Получим:
228,36
69,82
92,73
xij= 114,18
34,91
0,00
114,18
34,91
0,00
Заполняем схему баланса производства и распределения продукции
предприятий холдинга:
Производящие
Потребляющие предприятия
предприятия
1
2
3
1
228,36
69,82
92,73
Конечная
Валовая
продукция
продукция
Yi
Xi
180,00
570,91
13
2
114,18
34,91
0,00
200,00
349,09
3
114,18
34,91
0,00
160,00
309,09
114,18
209,45
216,36
540,00
570,91
349,09
309,09
Условно чистая
продукция Zj
Валовая
продукция Xj
1229,09
14
Задача 4
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.
р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого
показателя приведен ниже в таблице:
Номер
Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
варианта
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
45
43
40
36
38
34
31
28
25
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель
Y (t )  a0  a1t , параметры которой оценить
МНК ( Y (t ) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Построить адаптивную модель Брауна1 Y (t )  a0  a1k
с параметром
сглаживания = 0,4 и = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
4)
Оценить
адекватность
построенных
моделей,
используя
свойства
независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному
закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные
границы 2,7—3,7).
5)
Оценить
точность
моделей
на
основе
использования
средней
относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие
две недели
(доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной
вероятности р = 70%).
7)
Фактические
значения
показателя,
результаты
моделирования
и
прогнозирования представить графически.
1
Пункт 3 выполняют только студенты специальности 060400
15
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные
промежуточные
результаты
вычислений
использовании
компьютера
представить
представить
в
таблицах
соответствующие
(при
листинги
с
комментариями).
Решение.
1)
Построим ряд первых разностей, используя формулу:
Vi  yi 1  yi
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y
45
43
40
36
38
34
31
28
25
−
-2
-3
-4
2
-4
-3
-3
-3
График первых разностей приблизительно стационарен и имеет вид:
V
Аномальных наблюдений во временном ряду нет.
2)
Построим линейную модель вида Y p t   a0  a1t
Параметры a0 и a1 можно найти методом наименьших квадратов из
системы нормальных уравнений:
16
n
n

a0 n  a1  t   Yt
t 1
t 1
 n
n
n
a0  t  a1  t 2   t  Y
 t 1
t 1
t 1
А также с использованием настройки MS Excel «Анализ данных». Для этого
занесем исходные данные в таблицу:
Затем используем пункт Регрессия настройки «Анализ данных»
17
В результате будет получена следующая таблица:
18
Средствами MS Excel получена следующая линейная модель:
Y p t   47,639  2,417  t
Построим график эмпирического и смоделированного рядов:
19
3)
Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel.
Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:
20
Оценку адекватности проведем по следующим показателям:
 Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число
поворотных точек по формуле:
2
16 n  29   2
16  9  29 
p   n  2  1,96
   9  2  1,96
2
90   3
90
3

Так как для данной модели p  3  2 , то условие выполнено.
 Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях.
Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d – статистику) по формуле:
n
 Et  Et 1 
d  t 2
2
n
 Et2

26,056
 2,216
11,756
d   4  d  4  2,216  1,784
t 1
Критические значения статистики: d1  1,1 и d 2  1,4 . Так как d 2  d   2 , то
условие выполнено.
21
 Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения.
Рассчитаем RS – критерий:
n
RS  Emax  Emin   S , где S 
  Et 
2
t 1
n 1

11,756
 1,212
9 1
RS  2,444   1,972   1,212  3,644
Так как RS  2,7;3,7, то условие выполнено.
Таким образом, построенная модель адекватна.
4)
Оценим точность построенной модели на основе относительной
ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:
Eотн 
1 n Et
21,9
 100 % 
 2,4

n t 1 Yt
9
Так как Eотн  5% , то построенная модель обладает хорошим уровнем
точности.
5) Построим адаптивную модель Брауна. Расчетное значение показателя в
момент времени t определяется по формуле:
Y p t   a 0 t  1  a1 t  1  k , где
k – количество шагов прогнозирования (обычно k=1)
Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка
прогноза:
E t   Y t   Y p t 
используется для корректировки модели. Корректировка параметров
осуществляется по формулам:

a 0 t   a 0 t  1  a1 t  1  E t  1   2
a1 t   a1 t  1  E t 1   

2
а) Примем   0,4 , тогда   1    1  0,4  0,6 . В качестве начальных
параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели:
a0  47,639
a1  2,417
Расчет проведем с помощью MS Excel:
22
В результате получим следующую таблицу:
t
yt
0
a 0 t 
a1 t 
47,639
-2,417
Y p t 
E t 
1
45
45,080
-2,453
45,222
-0,222
2
43
42,866
-2,393
42,627
0,373
3
40
40,170
-2,469
40,473
-0,473
4
36
36,613
-2,741
37,702
-1,702
5
38
36,514
-2,080
33,872
4,128
6
34
34,156
-2,150
34,434
-0,434
7
31
31,362
-2,311
32,006
-1,006
8
28
28,379
-2,479
29,052
-1,052
23
9
25
25,324
-2,623
10
25,900
-0,900
22,701
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:
В результате получим таблицу:
yt  yt
yt
yt  yt
45
45,222
0,222
0,493
2
43
42,627
0,373
0,867
3
40
40,473
0,473
1,182
4
36
37,702
1,702
4,727
5
38
33,872
4,128
10,864
6
34
34,434
0,434
1,275
7
31
32,006
1,006
3,246
t
y
1
yt
 100%
24
8
28
29,052
1,052
3,756
9
25
25,900
0,900
3,598
30,008
Eотн 
1 n Et
30,008
 100 % 
 3,334 %

n t 1 Yt
9
б) Примем   0,7 , тогда   1    1  0,7  0,3 . В качестве начальных
параметров
модели
возьмем,
исчисленные
в
Y p t 
E t 
линейной
модели: a0  47,639 a1  2,417
Получим следующую таблицу:
yt
t
0
a 0 t 
a1 t 
47,639
-2,417
1
45
45,020
-2,526
45,222
-0,222
2
43
42,954
-2,278
42,494
0,506
3
40
40,061
-2,609
40,677
-0,677
4
36
36,131
-3,321
37,451
-1,451
5
38
37,533
-0,778
32,810
5,190
6
34
34,248
-2,128
36,755
-2,755
7
31
31,101
-2,677
32,120
-1,120
8
28
28,038
-2,884
28,424
-0,424
9
25
25,014
-2,960
25,154
-0,154
10
22,054
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:
t
y
1
45
2
43
3
40
4
36
5
38
yt  yt
yt
yt  yt
45,222
0,222
42,494
0,506
1,176
40,677
0,677
1,691
37,451
1,451
4,032
32,810
5,190
13,658
yt
 100%
0,493
25
6
34
7
31
8
28
9
25
36,755
2,755
8,104
32,120
1,120
3,614
28,424
0,424
1,515
25,154
0,154
0,615
34,898
Eотн 
n
1 Et
34,898
 100 % 
 3,878 %

n t 1 Yt
9
Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром   0,4 .
6) Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для
нахождения необходимых показателей построим таблицу:
26
Оценку адекватности проведем по следующим показателям:
 Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число
поворотных точек по формуле:
2
16 n  29   2
16  9  29 
p   n  2  1,96
   9  2  1,96
2
3
90
3
90

 

Так как для данной модели p  4  2 , то условие выполнено.
 Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях.
Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d – статистику) по формуле:
n
 Et  Et 1 
d  t 2
2
n

t 1
Et2

57,778
 2,462
23,466
d   4  d  4  2,462  1,538
Критические значения статистики: d1  1,1 и d 2  1,4 . Так как d 2  d   2 , то
условие выполнено.
27
 Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения.
Рассчитаем RS – критерий:
n
RS  Emax  Emin   S , где S 
  Et 
2
t 1
n 1

23,466
 1,713
9 1
RS  4,128   1,702   1,713  3,403
Так как RS  2,7;3,7, то условие выполнено.
Таким образом, построенная модель адекватна.
7) Строим прогноз по построенным моделям:
Линейная модель.
Точечный прогноз на следу ющие две недели имеет вид:
Yn 1  47,639  2,417  9  1  23,47
Yn  2  47,639  2,417  9  2  21,05
Критерий
Стьюдента
(при
доверительной
вероятности
p  0,7
и
v  n  2  9  2  7 ) равен: t  1,119
Найдем предельную ошибку для первой недели:
  t  S 1


1 nk t
1 9 1 5
 n
 1,119  1,212  1  
 1,48
2
n
9
60
 t t
t 1
 
Для второй недели:
  t  S 1


1 nk t
1 925
 n
 1,119  1,212  1  
 1,49
2
n
9
60
 t t
t 1
 
Строим доверительный интервал на первую неделю:
Y10  23,47  1,48;23,47  1,48
Y10  21,99;24,95
Строим доверительный интервал на вторую неделю:
Y11  21,05  1,49;21,05  1,49
Y11  19,59;22,54
28
Адаптивная модель Брауна.
Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:
Yn 1  Y10  25,324  2,623  1  22,701
Yn  2  Y11  25,324  2,623  2  20,078
Критерий
Стьюдента
(при
доверительной
вероятности
p  0,7
и
v  n  2  9  2  7 ) равен: t  1,119
Найдем предельную ошибку для первой недели:
  t  S 1


1 nk t
1 9 1 5
 n
 1,119  1,713  1  
 2,092
2
n
9
60
 t t
t 1
 
Для второй недели:
  t  S 1


1 nk t
1 925
 n
 1,119  1,713  1  
 2,106
2
n
9
60
 t t
t 1
 
Строим доверительный интервал на первую неделю:
Y10  22,701  2,092;22,701  2,092 
Y10  20,6;24,8
Строим доверительный интервал на вторую неделю:
Y11  20,078  2,106;20,078  2,106 
Y11  18,0;22,2
8) Построим на графике исходный ряд данных, а также построенные
линейную модель и адаптивную модель Брауна, а также прогноз по обоим
моделям:
29
Y(t)
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
Y(t)
Адаптивная модель
Брауна
Линейная модель
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
30