Квадратичные формы

Тема 6. «Квадратичные формы»
Основные понятия:
1. Основные определения
2. Виды квадратичных форм
3. Определение квадратичных форм
завершить
1. Основные определения
Квадратичной формой L( x1 , x2 , ..., xn ) от n переменных
называется сумма, каждый член которой является либо
квадратом одной из переменных, либо произведением двух
разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
n
n
L( x1 , x2 , ..., xn )   aij xi x j .
i 1 j 1
Пример 1.
далее назад
Пример 1.
1)
Квадратичная форма от двух переменных:
2
2
2
L( x1 , x2 )   aij xi x j    ai1 xi x1  ai 2 xi x2  
i 1 j 1
i 1
  a11 x1 x1  a12 x1 x2    a21 x2 x1  a22 x2 x2  
 a11 x12   a12  a21  x1 x2  a22 x2 2 .
Например:
или
L( x1 , x2 )  9 x12  12 x1 x2  4 x2 2
L( x1 , x2 )   x12  6 x1 x2  10 x2 2 .
далее
Пример 1.
2)
Квадратичная форма от трех переменных:
3
3
L( x1 , x2 , x3 )   aij xi x j  a x  a22 x2  a33 x3 
i 1 j 1
2
11 1
2
2
  a12  a21  x1 x2   a13  a31  x1 x3   a23  a32  x2 x3 .
Например:
или
L( x1 , x2 , x3 )  3x12  2 x1 x2  2 x2 2  x32
L( x1 , x2 , x3 )  7 x12  3x2 2  x32  2 x1 x3  2 x2 x3 .
назад
Матрицей квадратичной формы называется
симметричная матрица, составленная из ее коэффициентов
 a11 a12

a21 a22

A
 ... ...

 an1 an 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... ann 
Пример 2.
далее назад
Пример 2. Составить матрицу квадратичной формы
 9 6 
1) L( x1 , x2 )  9 x  12 x1 x2  4 x2  A  


6
4


1 3 

2
2
2) L( x , x )   x  6 x x  10 x  A 
1
2
1
1 2
2


 3 10 
2
1
3)
2
L( x1 , x2 , x3 )  3x12  2 x1 x2  2 x2 2  x32 
 3 1 0 


 A   1 2 0 
 0 0 1


назад
Рангом квадратичной формы называется ранг r ее
матрицы А (r = rangA).
Если r = n, матрица А называется невырожденной,
если r < n, матрица А называется вырожденной.
Пример 3.
далее назад
Пример 3. Вычислить ранг матрицы квадратичной формы
1)
L( x1 , x2 )  9 x12  12 x1 x2  4 x2 2
2) L( x , x )   x 2  6 x x  10 x 2
1
2
1
1 2
2
3) L( x1 , x2 , x3 )  3 x12  2 x1 x2  2 x2 2  x32
4)
L( x1 , x2 , x3 )  7 x12  3x2 2  x32  2 x1 x3  2 x2 x3 .
Ответ
назад
Ответ (Пример 3):
1)
2)
3)
4)
9
A
 6
 1
A
3
3

A   1
0

 7

A 0
 1

6 
  rangA  1 к.ф. вырожденная
4
3 
к.ф. невырожденная

rangA

2

10 
1 0 

2 0   rangA  3 к.ф. невырожденная
0 1 
0 1

3 1   rangA  3 к.ф. невырожденная
1 1
назад
В матричной записи квадратичная форма имеет вид:
L  X T AX
переменных.
, где X  ( x1 , x2 ,..., xn )T - матрица-столбец
Пример 4.
далее назад
Пример 4. Представить квадратичные формы в матричной
записи
1) L( x1 , x2 )  9 x1  12 x1 x2  4 x2
2
2
2) L( x1 , x2 , x3 )  3 x12  2 x1 x2  2 x2 2  x32
Ответ
назад
Ответ (Пример 4):
1)
L( x1 , x2 )  9 x12  12 x1 x2  4 x2 2 
 L( x1 , x2 )   x1
2)
 9 6   x1 
x2  
  x .
 6 4  2 
L( x1 , x2 , x3 )  3 x12  2 x1 x2  2 x2 2  x32 
 L( x1 , x2 )   x1
x2
 3 1 0   x1 

 
x3   1 2 0   x2  .
 0 0 1 x 

 3 
назад
Главным (угловым) минором 1-го порядка матрицы А
называется определитель вида: 1  a11
Главным (угловым) минором 2-го порядка матрицы А
a11 a12
называется определитель вида:
2 
a21 a22
Главным (угловым) минором 3-го порядка матрицы А
называется определитель вида: a
a
a
11
12
13
3  a21 a22
a23
a31
a33
a32
è ò.ä.
Пример 5.
назад
Пример 5. Вычислить главные (угловые) миноры
следующих квадратичных форм:
1)
L( x1 , x2 )  9 x12  12 x1 x2  4 x2 2
2)
L( x1 , x2 , x3 )  3x  2 x1 x2  2 x2  x3
2
1
2
2
Ответ
назад
Ответ (Пример 5):
9 6
 9 6 
1) A  
 0.
  1  9;  2 
6 4
 6 4 
2)
 3 1 0 
3 1


A   1 2 0   1  3;  2 
 5;
1 2
 0 0 1


3  det A  5.
назад
2. Виды квадратичных форм
Квадратичная форма
Знакоопределенная
Знаконеопределенная
Полуопределенная
Положительно
определенная
Неположительно
определенная
Отрицательно
определенная
Неотрицательно
определенная
назад
3. Определение квадратичных форм
Невырожденная квадратичная форма является положительно
определенной тогда и только тогда, когда
а) либо все главные (угловые) миноры матрицы квадратичной
формы положительны (критерий Сильвестра);
б) либо все собственные значения матрицы квадратичной
формы положительны.
Пример 6.
далее назад
Пример 6. Исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму L( x1 , x2 , x3 )  3 x12  2 x1 x2  2 x2 2  x32 .
Решение:
1) Матрица квадратичной формы
2) По критерию Сильвестра
 3 1 0 


A   1 2 0  .
 0 0 1


3 1
1  3  0;  2 
 5  0; 3  det A  5  0 
1 2
квадратичная форма является положительно определенной.
назад
Невырожденная квадратичная форма является
отрицательно определенной тогда и только тогда, когда
а) либо все главные миноры матрицы квадратичной формы
четного порядка положительны, а нечетного отрицательны (критерий Сильвестра);
б) либо все собственные значения матрицы квадратичной
формы отрицательны.
Пример 7.
далее назад
Пример 7. Исследовать на знакоопределенность квадратичную
форму L( x1 , x2 , x3 )  7 x12  3 x2 2  x32  2 x1 x3  2 x2 x3 .
Решение:
1) Матрица квадратичной формы
2) По критерию Сильвестра
 7 0 1


A   0 3 1  .
 1 1 1


7 0
1  7  0;  2 
 21  0; 3  det A  11  0 
0 3
квадратичная форма является отрицательно определенной.
назад
Положительно определенные и отрицательно определенные
квадратичная форма называются знакоопределенными
квадратичными формами.
Невырожденные квадратичные формы неявляющиеся
положительно определенными или отрицательно
определенными называются знаконеопределенными
квадратичными формами.
Пример 8.
далее назад
Пример 8. Исследовать на знакоопределенность квадратичную
форму L( x1 , x2 , x3 )  2 x12  3 x3 2  4 x1 x2  4 x1 x3  8 x2 x3 .
Решение:
1) Матрица квадратичной формы
2) По критерию Сильвестра
 2 2 2 


A   2 0 4 .
 2 4 3 


2 2
1  2  0;  2 
 4  0; 3  det A  12  0 
2 0
квадратичная форма является знаконеоопределенной.
назад
Вырожденные квадратичные формы, нормальный
(канонический) вид которых состоит из квадратов
одного знака, называются полуопределенными.
Квадратичная форма L( x1 , x 2 , ..., x n ) называется
канонической, если все ее коэффициенты aij при i  j
равны нулю:
n
L( x1 , x2 ,..., xn )   aij xi 2  a11 x12  a22 x2 2  ...  ann xn 2
i 1
Пример 9.
назад
Пример 9. Исследовать на знакоопределенность квадратичные
формы: 1) L( x1 , x2 )  9 x12  12 x1 x2  4 x2 2
2) L( x , x , x )   x 2  x 2  x 2  2 x x
1
2
3
1
Решение 1):
1) Матрица квадратичной формы
2
3
1 2
 9 6 
A
.
 6 4 
Т.к. det A  0  квад. форма полуопределенная.
2
L
x
,
x

3
x

2
x

y
2)  1 2   1
2
1 0
2
квад. форма является неотрицательно определенной.
далее
Решение 2):
 1 1 0 


1) Матрица квадратичной формы A  1 1 0 .


 0 0 1


Т.к. det A  0  квад. форма полуопределенная.
2) L  x1 , x2     x1  x2   x3   y1  y2  0 
2
2
2
2
квад. форма является неположительно определенной.
назад
Спасибо за внимание!
Не забывайте готовиться к
лекциям и семинарам!
(Тема следующей лекции
«Векторы на плоскости и в пространстве»)
Удачи!