лекция 21-24

Лекция 21
Классические теории прочности
Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория
прочности)
Основоположником этой теории принято считать великого
итальянского ученого Г. Галилея. Согласно этой теории,
опасное состояние материала наступает тогда, когда одно из
главных нормальных напряжений принимает значение,
равное пределу прочности или пределу текучести,
определенных при растяжении или сжатии:
Условие прочности по теории наибольших нормальных
напряжений определится из выражения
Сторонниками этой теории были Лейбниц, Ляме, Клебш,
Ренкин. В англоамериканской литературе теория носит
название теории Ренкина и хорошо подтверждается только
для хрупких материалов. В настоящее время она используется редко, т. к. в ней не учитываются два главных
напряжения — σ2 и σ3.
Теория наибольших относительных деформаций (вторая
теория прочности)
Основоположником теории является Мариотт (1662 г.).
Согласно этой теории — причиной разрушения материала
при сложном напряженном состоянии, т. е. когда на элемент
действуют три главных напряжения σ1, σ2 и σ3, является
наибольшее относительное удлинение.
Нам известен обобщенный закон Гука:
При простом растяжении допускается относительная
деформация:
Подставляя значения εmах и [ε] в условие прочности,
получим:
Достоинством этой теории является учет всех главных
напряжений. Опытная проверка показала, что теория
хорошо подтверждается только для хрупких материалов,
поэтому она утратила практическую ценность.
Сторонниками теории были Навье и Сен-Венан.
Теория наибольших касательных напряжений (третья
теория прочности)
В этой теории за критерий прочности принята величина
наибольшего касательного напряжения. Основоположником
теории принято считать Ш. Кулона (1773 г.)
Согласно данной теории, прочность материала при сложном
напряженном состоянии считается обеспеченной, если
наибольшее касательное напряжение не превосходит
допускаемое касательное напряжение, установленное из
Допускаемое касательное напряжение [τ] при линейном
(одноосном) напряженном состоянии связано с допускаемым
нормальным напряжением [σр] соотношением:
Для часто встречающегося случая двухосного
напряженного состояния, когда нормальное напряжение в
продольном сечении равно нулю (изгиб с кручением,
сжатие или растяжение с кручением), имеем: σу = 0; σх = 0.
Уравнение для определения эквивалентного напряжения
принимает вид
Недостатком третьей теории является то, что она не
учитывает влияния промежуточного главного напряжения
σ2.
В настоящее время третья теория прочности используется
при расчете элементов конструкций и деталей машин,
изготовляемых из пластичных материалов, которые
одинаково сопротивляются растяжению и сжатию.
В 1885г. итальянский ученый Э. Бельтрами высказал
предположение, что опасное состояние материала для
сложного напряженного состояния наступает при достижении
удельной потенциальной энергией некоторого предела
(umах=u). Согласно этому предположению, прочность
материала при сложном напряженном состоянии
обеспечивается в том случае, если удельная потенциальная
энергия деформации не превосходит допускаемую удельную
потенциальную энергию, установленную из опытов с
одноосным (линейным) напряженным состоянием:
Энергетическая теория прочности обычно хорошо
согласуется с экспериментальными данными и широко
используется в производственной практике для пластичных
материалов.
Лекция 22
Обобщенная теория предельных состояний
(теория Мора)
Из многочисленных теорий, предложенных в последнее
время, рассмотрим теорию немецкого ученого О. Мора,
которая прошла апробирование и хорошо подтверждается
экспериментальными данными.
Теория Мора основана на предположении, что среднее
главное напряжение σ2 оказывает незначительное влияние
на момент предельного состояния и им можно пренебречь.
Если задаться координатами σ и τ и построить в них
семейство кругов Мора для различных предельных состояний
материала, то огибающая этого семейства кривых будет
предельной огибающей для данного материала (рис. 7.4.1).
Любой круг Мора, касающийся предельной огибающей, дает
представление о предельном состоянии материала. Например,
для круга с центром Оз предельное состояние
характеризуется напряжениями: σ1 — положительным и σ3 —
отрицательным.
Если задано какое-то напряженное состояние, то для него
может быть построен круг Мора. Увеличивая этот круг,
можно добиться положения, когда он коснется предельной
огибающей. Отношение радиусов предельного и заданного
кругов есть коэффициент запаса рассматриваемого
напряженного состояния.
Для получения расчетной формулы по теории прочности
Мора изобразим три предельных круга Мора с центрами в
точках О1, О2, и О3 (рис. 7.4.2). Круг с центром O1
соответствует одноосному растяжению (σ1= σp, σ2 =0, σ3 =
0), круг с центром О2; — одноосному сжатию (σ1= 0, σ2 =0,
σ3 =-σcж), третий круг с центром О3,— промежуточному
предельному состоянию с главными напряжениями σ1 и σ3
Недостатком теории Мора является тот факт, что она не
учитывает промежуточное главное напряжение σ2. Это
вносит ошибку в расчеты порядка 12... 15%. Иногда теорию
Мора называют пятой классической теорией.
Кроме рассмотренных теорий прочности, стечение первой
половины XX в. и до настоящего времени был предложен
целый ряд новых теорий, исходящих из
феноменологических предпосылок, которые, как правило,
базируются на одной из классических теорий, т. е.
используются те же критерии прочности, но с введением
дополнительных условий. К этим теориям относятся
критерии Шлейхера, Мизеса-Генки, П. П. Баландина, Г. С.
Писаренко и А. Л. Лебедева, И. Н. Миролюбова, Ю. И.
Ягна, Г. А. Гинеева и В. И. Киссюка, а также объединенная
теория прочности Н. Н. Давиденкова — Я. Б. Фридмана и
другие теории русских и зарубежных ученых.
Контрольные вопросы
1. Что понимается под разрушением материала?
2. Объясните, как развилось представление о разрушении
материала в течение XV—XX вв.
3. Для чего служат теории прочности?
4. Какие теории прочности считаются классическими?
5. На каких предположениях основаны первая, вторая,
третья, четвертая и пятая теории прочности? Кто является
их основоположниками?
6. Какие теории прочности считаются рабочими?
7. Какая из теорий используется при расчете конструкций из
анизотропных материалов?
Срез
Деформация среза — это пластическая деформация или
деформация разрушения, которая наступает в нагруженном
теле после деформации сдвига.
Эта деформация хорошо просматривается при работе
болтового или заклепочного соединений. На рис. 8.3.1, а, б
представлены эти соединения.
На рисунке видно, что под действием внешней нагрузки Р,
которая больше силы трения между пластинами, пластины
могут начать подвижку:
где Р — внешняя нагрузка, Н;
N — сила нормального давления между пластинами,
вызванная затяжкой болтового соединения, Н;
f— коэффициент трения между пластинами.
При Р >NF произойдет срез болта по плоскости аb, если он
изготовлен из пластичного материала и имеет недостаточный
диаметр. Расчетное уравнение на срез примет вид:
где i — число болтов в соединении.
Заклепочное соединение (рис. 8.3.1,б) при наличии
аналогичных условий будет срезаться по двум плоскостям,
и расчетное уравнение для этого соединения будет
следующим:
Допускаемые напряжения при сдвиге. Условие
прочности
Допускаемые напряжения при сдвиге выбираются из чисто
теоретических соображений, т. к. воспроизвести
экспериментально условие чистого сдвига чрезвычайно
сложно. Учитывая, что главные напряжения при чистом
сдвиге равны σ1 = τ; σ2 = 0 и σ3 = τ, условия прочности по
первой, второй, третьей и четвертой теориям прочности при
допускаемом напряжении для материала на растяжение
будут следующие.
1.Согласно первой теории прочности σ1 = τ, т. е.
Это значит, что касательное напряжение при сдвиге должно
быть не больше допускаемого напряжения на растяжение.
2. По второй теории
Подставляя значения главных напряжений в уравнение
(8.4.2), имеем:
Учитывая, что для металлов μ =0,25... 0,42, по второй
теории прочности допускаемое напряжение при сдвиге
равно:
3. По третьей теории
Следовательно, допускаемое напряжение при сдвиге
составляет:
4. Согласно четвертой теории прочности
Вводя значения главных напряжений, получим
или
На практике обычно принимают:
•для хрупких материалов
•для пластичных материалов
Лекция 23
Смятие
Деформация смятия — это деформация местного характера,
когда сжимающая сила действует на небольшом участке. На
рис. 8.5.1, а показан случай деформации сжатия, а на рис.
8.5.1, б — деформации смятия. На рисунке видно, что при
сжатии в расчет вводится вся площадь (bхh) поперечного
сечения нагруженного стержня, а при смятии только та
часть площади стержня, которая находится под пластинкой
(dхс).
Расчет заклепочных соединений
Любое заклепочное соединение работает на четыре вида
деформации: срез заклепок, срез листа, разрыв листа и
смятие заклепок.
На рис. 8.6.1 представлен заклепочный шов внахлестку, на
который действует нагрузка Р.
Склепаны два листа, толщина которых δ , шаг заклепок
равен t, ширина одного листа — b, второго — b1, расстояние
от центра заклепок до края листа равно е.
Произведем расчет заклепочного соединения.
Условие прочности шва на срез заклепок будет следующее:
где i — число заклепок в шве;
d— диаметр заклепки.
Условие прочности листа на разрыв
где b—ширина листа.
Расчет сварных соединений
Сварные соединения получают все большее
распространение в машиностроении, строительных
конструкциях, судостроении, энергомашиностроении
(корпуса атомных реакторов) и в других отраслях
промышленности. Во многих случаях сварка вытесняет
заклепочные соединения.
Различают два вида сварки: автогенную и электросварку.
Хотя при сварке присадочный материал часто берется
одинаковым с материалом свариваемых деталей,
наплавленный материал уменьшает прочность места сварки
и может иметь дефекты: непровары, раковины и т. п.,
делается более твердым и хрупким по сравнению с
основным материалом, поэтому слабым местом соединения
является сварной шов. Основными случаями расчета на
прочность сварных швов являются швы встык, лобовые и
фланговые.
Условие прочности для соединения, представленного на
рис. 8.7.2, запишем в виде
Допускаемые напряжения для сварных швов
устанавливаются в процентном отношении от допускаемых
напряжений для основного металла конструкции.
Существуют три вида технологического процесса сварки.
1- Сварка на автоматах под слоем флюса.
2- Сварка вручную толстопокрытыми электродами.
3- Сварка электродами с ионизирующими покрытиями.
В зависимости от вида сварки устанавливается процент
допускаемого напряжения.
Контрольные вопросы
1. Как формулируется закон Гука при сдвиге?
2. Что понимается под абсолютным сдвигом?
3. Определите понятие относительного сдвига.
4. Как записывается условие прочности при сдвиге?
5. Чем отличается деформация сдвига от деформации среза?
6. Как определяется потенциальная энергия при сдвиге?
7. Как выбирается допускаемое напряжение при сдвиге?
8. Что понимается под деформацией смятия?
9. Как находится площадь смятия при соприкосновении
цилиндрических поверхностей?
10. Какие виды деформаций испытывает нагруженное
заклепочное соединение?
11. Какие виды сварных швов используются на практике?
12. Как рассчитывается сварной шов встык?
13. Как рассчитывается сварной шов внакладку?
Лекция 24
Метод начальных параметров
Метод непосредственного интегрирования, рассмотренный
ранее, удобен при определении углов поворота Ө и
прогибов сечений балки, когда число участков балки
незначительно (один - два). При интегрировании
приближенного дифференциального уравнения изогнутой
оси балки каждый участок дает две постоянных
интегрирования С и D, т. е. при числе участков балки т
имеем 2т постоянных интегрирования.
При числе участков более двух удобнее пользоваться
универсальным уравнением упругой линии, вывод которого
приводится ниже.
Число постоянных интегрирования можно свести к двум
при любом количестве участков балки, если при
составлении и интегрировании дифференциальных
уравнений соблюдать следующие правила.
1. Начало координат для рассматриваемой балки
выбирается в крайних левой или правой точках и считается
постоянным для всех участков балки.
2. Уравнения для изгибающих моментов составляются при
рассмотрении всех участков балки, в зависимости от того,
где выбрано начало координат: слева или справа от сечения.
3. Если в каком-либо сечении балки действует
сосредоточенный момент М, то он вводится в выражение
изгибающего момента с сомножителем (х - а)0, равным
единице (а — расстояние от начала координат до точки
приложения сосредоточенного момента).
4. При действии на каком-либо участке балки
распределенной нагрузки ее необходимо продолжить до
конца балки и ввести точно такую же компенсирующую
нагрузку, используя аксиому статики о присоединении или
отбрасывании взаимно уравновешенных сил.
5. Интегрирование дифференциальных уравнений
производить без раскрытия скобок.
Статические начальные параметры Мо и Ро находятся
обычным способом — уравнениями статики. Начальные же
параметры ЕIӨ0 и ЕIу0 определяются по граничным
условиям.
1. Если в начале координат балка имеет заделку (рис. 12.3.2),
то ЕIӨ0 и ЕIу0 равны нулю, т. к. в заделке нет ни прогиба, ни
угла поворота сечения. Балка содержит статические
начальные параметры в виде опорного момента в заделке Мо
и реакции Ро