Курс общей физики Томский политехнический университет
advertisement
Томский политехнический университет ЕНМФ щей физики н Юрий Иванович Адрес: пр. Ленина, 43, г.Томск, Россия, 634034 tyurin@fnsm.tpu.edu.ru, Тел. 8-3822-563-621 Факс 8-3822-563-403 Сегодня: пятница, 6 мая 2016 г. Лекция 4 Тема: ТЯГОТЕНИЕ Содержание лекции: Введение 1. Теория тяготения Ньютона 2. Опыт Кавендиша 3. Закон Кеплера для движения планет 4. Вес 5. Искусственные спутники Земли 6. Вторая космическая скорость Введение Между любыми видами материи существует универсальное взаимодействие, проявляющееся в притяжении тел. Потенциальная энергия тела массы m в поле тяготения равна U = m, где потенциал поля тяготения. Если величина U мала по сравнению с энергией тела mc2, т.е. ( /с2) << 1, и тела движутся со скоростью, много меньшей скорости света, то мы имеем дело с классическим гравитационным полем, для которого справедлив закон всемирного тяготения Ньютона. Сильные гравитационные поля ( /с2 1) и движение в них с большими скоростями ( с) описываются (ОТО), общей созданной теорией относительности Эйнштейном. В ОТО учитывается воздействие материи на свойства пространства и времени, а эти измененные свойства пространства-времени влияют на сам характер физических процессов. 4.2. Теория тяготения Ньютона Первые высказывания о тяготении как о всеобщем свойстве материи относится к античности. В XVI XVII вв. в Европе возродились попытки доказать существование взаимного тяготения тел. Немецкий астроном Кеплер говорил, что «тяжесть есть взаимное стремление всех тел». Классическая формулировка закона всемирного тяготения была дана И. Ньютоном в 1687 году в его труде «Математические начала натуральной философии». Однажды в летний день 1665 г. Ньютон, созерцая окружающую природу, обратил внимание на падающее вниз яблоко (рис. 4.1). Он спросил себя, что заставило упасть это яблоко. Если между Землей и яблоком существует притяжение, то такая же сила должна существовать и между любыми двумя телами с массами ml и m2. Поскольку сила пропорциональна массе яблока, она должна быть также пропорциональна по отдельности каждой из двух масс m1 и m2; иными словами, F ~ m1m2 (знак ~ означает пропорциональность). Рис. 4.1. Ньютон и яблоко (шарж Н. Мистри) Ньютон заинтересовался также тем, будет ли убывать сила, действующая на яблоко, по мере удаления от поверхности Земли (рис. 4.2). Он предположил, что если удалить яблоко на расстояние, равное расстоянию до Луны, то оно будет иметь то же ускорение, что и Луна. Силы тяготения между Землей и Луной и между Землей и яблоком должны иметь одну и ту же природу. Рис. 4.2. Чтобы найти ускорение Луны и отношение этого ускорения к ускорению свободного падения на поверхности Земли, используем формулу для центростремительного ускорения a = v2/r. Поскольку v = r = 2r/T, находим, что ускорение Луны a = 42r/T2, где r – расстояние от Земли до Луны, равное 3,86105 км. Период обращения Луны вокруг Земли Т = 27,3 сут или 2,36106 с. Подставляя эти значения в выражение для а, имеем a = 2,7310–3 м/с2. Вблизи поверхности Земли ускорение равно g = 9,8 м/с2. Таким образом, отношение a/g = 1/3590 (1/60)2, что в пределах ошибок измерений совпадает с RЗ2/r2. Ньютон выполнил эти вычисления и обнаружил, что сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко, удаленное к Луне, уменьшится в 3600 = (60)2 раз, что соответствует отношению квадратов расстояний радиуса орбиты Луны r к радиусу Земли RЗ. Отсюда Ньютон заключил, что сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Он предложил универсальный закон гравитационного притяжения между любыми двумя телами. Закон Ньютона говорит, что две материальные точки массами m1 и m2, находящиеся на расстоянии r, притягиваются друг к другу с силой, равной по величине F12 = Gm1m2/r2. Считается, что размеры тел много меньше расстояния между ними. Коэффициент G называется гравитационной постоянной, определенной впервые Г. Кавендишем в 1798 г., G = 6,6745·1011 м3/кг · с2. Этот закон, объясняющий падение тел на Землю, описывает также орбиты планет и комет, движущихся вокруг Солнца, и даже движение гигантских звездных галактик относительно друг друга. Он позволил вычислить массы Земли, Солнца и большинства планет, а также периоды их обращения. В качестве примера найдем период обращения лунного модуля вокруг Луны непосредственно перед посадкой. Для этого подставим в уравнение F = mа вместо F выражение GMЛm/R2, где MЛ – масса Луны; R – радиус орбиты и m – масса лунного модуля; для ускорения а используем выражение(42R/Т2). Таким образом GMЛm/R2 = m(42R /T2), T2 = (42/ GMЛ)R3, T 2 R / GM Л 3 Полагая R 1740 км (радиус Луны), MЛ = 7,351022 кг, G = 6,6710–11 Нм2кг–2, получаем Т = 6,5103 с, или 108 мин. Воспользовавшись тяготения, определим законом параметры всемирного орбиты стационарного спутника. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Для того чтобы спутник «завис» над данной точкой экватора, он должен иметь тот же самый период обращения, что и Земля, т.е. 24 ч. По закону обратных квадратов ускорение свободного падения g( RЗ2 / r 2 ) должно совпадать с центростремительным ускорением спутника, т.е. 4 r T r 2 2 gRЗ 2 , r 3 2 gRЗ 2 4 2 T ; здесь r – расстояние до спутника. Полагая RЗ = 6,37106 м и Т = 24 ч = 86400 с, имеем r = 42000 км. 4.3. Опыт Кавендиша Впервые величину G в земных условиях измерил Кавендиш (рис. 4.3). Рис. 4.4. Стержень с небольшими шариками, имеющими массу m, подвешенный на кварцевой нити (а); два больших шара каждый массой М помещены вблизи небольших шариков, и кварцевая нить закручивается на угол (б) Он предложил удачный способ измерения столь малых сил. Он использовал факт, что для закручивания на несколько градусов длинной тонкой кварцевой нити требуется очень небольшая сила, соизмеримая с гравитационной силой, действующей между двумя свинцовыми шарами, почти касающимися друг друга. Прежде всего, Кавендиш откалибровал кварцевую нить, а затем подвесил к ней два небольших свинцовых шарика, укрепленных на концах легкого стержня, как показано на рис. 4.4, а. Поместив вблизи небольших шариков два более крупных свинцовых шара, он измерил угловое отклонение стержня на угол и определил значение гравитационной постоянной G. Имея в руках надежное значение G, Кавендиш подставил его в закон всемирного тяготения и нашел массу Земли MЗ = g/G. Полученный им результат для массы Земли имел ту же точность, что и его измерение G. Кавендиш не только «взвесил» Землю, он определил также с той же точностью массу Солнца, Юпитера и всех других планет с наблюдаемыми у них спутниками. 4.4. Закон Кеплера для движения планет Еще до того, как Ньютон сформулировал свой закон всемирного тяготения, Иоганн Кеплер обнаружил, что движения планет могут быть описаны тремя простыми законами. Законы Кеплера укрепили гипотезу Коперника о том, что планеты обращаются вокруг Солнца, а не вокруг Земли. В 1600 г. это утверждение рассматривалось церковью как ересь. Известно, что в 1600 г. Джордано Бруно, открыто выступивший в поддержку гелиоцентрической системы Коперника, был осужден инквизицией и сожжен на костре. Даже великий Галилей был заключен в тюрьму, осужден инквизицией и вынужден был публично отречься от своих убеждений, несмотря на то, что, как предполагают, он был близким другом папы римского. Согласно принятой в то время догме, обожествлявшей учения Аристотеля и Птолемея, орбиты планет описывались сложными движениями одних окружностей внутри других, общим центром которых была Земля. Иоганн Кеплер пытался доказать, что Марс и Земля обращаются вокруг Солнца. После нескольких лет кропотливого труда ему удалось открыть три простых закона, которые очень точно согласовались с известными данными для всех планет. Законы Кеплера применимы также к спутникам, обращающимся вокруг планеты. Первый закон Кеплера. Каждая планета движется по эллиптической орбите, причем Солнце располагается в одном из фокусов эллипса. Второй закон Кеплера (закон равных площадей). Прямая, соединяющая Солнце с планетой, заметает равные площади за равные времена. Третий закон Кеплера. Кубы больших полуосей любых двух планетарных орбит относятся друг к другу как квадраты периодов обращения этих планет. Для круговых орбит 3 R1 3 / R2 2 T1 2 / T2 Большая полуось эллипса – это половина максимального расстояния между двумя точками эллипса. Формулируя закон всемирного тяготения, Ньютон применял к силам, действующим между Солнцем и планетами. Ему удалось доказать, что в случае, когда силы подчиняются закону обратных квадратов, орбита любой планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце. При этом для любых двух планет, траектории которых представляют собой окружности, имеет место соотношение Кеплера 3 3 2 2 R1 / R2 T1 / T2 (для эллиптических орбит R – большая полуось). Ньютону удалось также вывести закон равных площадей Кеплера из своих трех законов движения. Тот факт, что все три закона Кеплера, в деталях описывавшие движения планет, оказались следствиями законов Ньютона, рассматривается как окончательное подтверждение ньютоновской динамики. 4.5. Вес Вес тела не совпадает с его массой; его обычно определяют как результирующую силы тяжести, действующую на тело. Вблизи поверхности Земли вес тела массой m равен mg. Найдем, во сколько раз уменьшится вес космонавта на Луне по сравнению с его весом на Земле. Используем значения МЛ/МЗ = 0,0123, RЛ /RЗ = 0,273 Вес космонавта на Луне дается выражением FЛ = G(MЛ m/ 2 RЛ ), на Земле FЗ = G(MЗ m/ RЗ2 ). Запишем отношение этих величин FЛ M Л RЗ FЗ M З RЛ 2 0,165. Вес человека на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. 4.6. Искусственные спутники Земли Люди, не изучавшие физику, часто задают вопрос: «Что удерживает спутники Земли от падения?» Не должен ли спутник после прекращения работы ракетных двигателей падать к центру Земли с ускорением свободного падения g, как и все другие тела вблизи поверхности Земли? Ответ является утвердительным: да, спутники, летающие по околоземной орбите, испытывают ускорение 9,8 м/с2, направленное к центру Земли. В противном случае они бы улетели по касательной к поверхности Земли. Любое тело движется по окружности с ускорением v2/R. Если окружностью является околоземная орбита, то ускорение обеспечивается силой тяжести и, следовательно, 2 v1 g= RЗ , где v1 называется орбитальной или первой космической скоростью, а RЗ = 6370 км – радиус Земли. Находим v1: v1 gRЗ 9,8 м/с 6,37 10 м 7,90 км/с. 2 6 Это минимальное значение скорости, необходимое для вывода тела на околоземную орбиту. Период Т (или время одного оборота вокруг Земли) равен окружности Земли, деленной на v1: 2RЗ 40000 км T 5060 с 84 мин. v1 7,9 км/с Если спутник движется по круговой орбите на значительном расстоянии h от поверхности Земли, то необходимо учитывать тот экспериментальный факт, что ускорение свободного падения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли (рис.2.24). На расстоянии RЗ + h от центра Земли ускорение свободного падения дается выражением g g RЗ2 R З h 2 Приравнивая друг другу g’ и g v 2 RЗ h Откуда g 2 RЗ . v 2 , получаем RЗ h RЗ h 2 , RЗ RЗ v gRЗ vc . RЗ h RЗ h Мы видим, что в этом случае скороcть меньше первой космической. Если космический корабль находится на удаленной круговой орбите, то для перехода на более низкую орбиту нужно включить ракетные двигатели, направив навстречу движению корабля (т.е. создать силу тяги, тормозящую движение). За время работы тормозных двигателей космический корабль будет постепенно терять скорость, медленно «падая» по направлению к Земле. Заметим, что если бы подобные тормозные двигатели были установлены на автомобиле, то они замедлили бы его движение, в то время как скорость космического корабля вопреки здравому смыслу должна возрастать при уменьшении высоты h. 4.7. Вторая космическая скорость Пусть снарядом, масса которого m, произведен выстрел вертикально вверх со скоростью v1. На какую высоту поднимется снаряд и сможет ли он покинуть Землю и уйти к r = ? Пусть на максимальной высоте расстояние снаряда до центра Земли равно r2; при этом его скорость v2 и кинетическая энергия обратится в нуль, т.е. K2 = 0. Но в любой момент времени сумма K + U должна оставаться постоянной. Таким образом, можно 2 записать mv 2 mv1 1 1. 2 U 1 0 U 2 2. 2 U 2 U 1 Здесь U – потенциальная энергия снаряда в поле силы тяжести Земли. Используя выражение для U, получим (1/2)mv12 = mgRЗ2[(1/RЗ) – (1/r2)]. Отсюда находим максимальное расстояние, на которое улетит снаряд от центра Земли (2 = 0): 1 r2 2 R З 2 gRЗ 2 v1 1 (RЗ – радиус Земли). Из последней формулы следует, что если скорость 1 достаточно велика, то r2 может стать бесконечным. Минимальная скорость, при которой тело массой m достигает бесконечности, называется второй космической скоростью 0. Полагая r2 = , находим v02/2 = gRЗ2(1/RЗ 0), v0 2 gRЗ (вторая космическая скорость). Величина – первая космическая скорость, необходимая для выхода тела на низкую круговую орбиту. Видно, что v0 в раз превышает vс. Поскольку vс = 8 км/с, вторая космическая скорость v0 = 11,2 км/с. вычисляя ее, совсем не учитывали гравитационное поле Солнца. Найдем вторую космическую скорость, необходимую для ухода тела из Солнечной системы с орбиты Земли R0 = 155 млн км от Солнца (расстояние между Землей и Солнцем). Скорость, с которой спутник движется вокруг Солнца на расстоянии R0 от него, равна vс = 2R0/T0. Земля также является одним из спутников Солнца, причем T0 = 1 год = 3,15107 с. Таким образом, 2 155 10 vс км/с 30 км/с 7 3,15 10 6 Вторая космическая скорость должна быть в раз больше, т.е. 2R0 v0 2 42 км/с T0 Лекция окончена Нажмите клавишу <ESC> для выхода
