Лекция №7. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Подобное движение газа наблюдается во впускном коллекторе карбюраторного двигателя, где подогрев осуществляется с целью испарения топливной пленки. Подводом теплоты к газу, движущемуся в трубе постоянного сечения, можно изменить скорость его движения. Процесс подвода теплоты вносит особый вид сопротивления – при подогреве движущегося газа полное давление падает. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Для получения зависимостей, связывающих изменение скорости с подводом теплоты (dQ), воспользуемся полученными ранее уравнениями: - неразрывности d dV V - состояния в дифференциальной форме dp R ( dT Td ) Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Объединяя эти уравнения, получим dp RdT RT d RdT RT С помощью уравнения Эйлера ( VdV dp / ) исключим dV VdV RdT RT V и преобразуем полученное уравнение RTk VdV 2 1 RdT . V k (57) dV V dp / Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Правую часть заменим уравнением энергии RdT k 1 k 1 dQ VdV k k после чего уравнение (57) примет вид a2 1 2 V , V k 1 dV dQ k k или, используя число Маха, окончательно получим M 2 dV k 1 1 2 dQ V a (58) Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Из уравнения (58) следует, что при М < 1 подвод теплоты приводит к ускорению потока, отвод – к торможению его. При М > 1 подвод теплоты приводит к торможению потока , отвод – к ускорению потока. Подвод теплоты вызывает изменение температуры газа T1 и температуры изэнтропически заторможенного газа T01 , наблюдаемых до участка подогрева, на величину T T T , и T T T , причем за участком 2 1 0 02 01 прогрева вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами T2 и T02 . Полагая, что приток теплоты не нарушает баланса массы и количества движения, для газа на участке подогрева воспользуемся уравнениями: неразрывности и импульсов V const ; p V 2 const . Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Преобразуем эти уравнения к виду: k p V pV 1 k V k 2 kpM pM const k p1 RT a kRT 2 V 2 p V p1 p V2 p1 k 2 p 1 kM 2 const a (59) Разделим второе уравнение на первое и получим связь числа М с термодинамической температурой 2 1 kM M T const . Учитывая связь между термодинамической температурой Т и температурой торможения то получим. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения T0 1 kM 2 1 kM 2 T0 const k 1 2 M k 1 2 1 M M 1 M 2 2 Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева, M2 M1 2 1 k M2 1 k M12 k 1 2 k 1 2 M2 1 M2 M1 1 M1 2 2 1 kM22 1 kM12 T2 T1 T20 T10 (60) (61) Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Приведем некоторые вычисления. Предположим M 1 0,2 , T1 300 К. Подводом теплоты поток ускоряется до M 2 0,5 . Определим температуру T2 по формуле (60). M2 T2 1 kM 22 M 2 1 kM12 0,5 1 1,4 0,2 2 1,056 2 , 5 1,95 2 2 M T1 M 1 1 kM 2 0,2 1 1,4 0,5 1,35 1 1 kM12 T2 T1 (1,95) 2 300 3,8 1100К. Предположим M 1 2 , T1 1000 К. Подводом теплоты поток замедляется до M 2 1,5. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Определим температуру T2 . T2 1,5 1 1,4 2 2 6,6 0 , 75 1,19 T1 2 1 1,4 1,5 2 4,15 T2 1000 (1,19) 2 1400 К. Подвод теплоты при любом движении увеличивает термодинамическую температуру и температуру торможения. Для определения уменьшения давления и плотности зададимся соотношением температур Т 2 Т 1 Т1 Т1 и числом М1 до прохождения участка подогрева. По (60) найдем М2, и затем по (59) отношение давлений 2 р2 1 kM1 p1 1 kM 22 Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Для определения соотношения плотностей применим уравнение состояния 2 M 1 1 kM 22 2 p 2T1 1 kM 2 1 p1T2 M 2 1 Энтальпия («теплосодержание») заторможенного газа складывается из энтальпии в потоке и кинетической энергии: i01 V12 i1 2 i02 V22 i2 2 Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения Вследствие подвода теплоты энтальпия в конце трубы больше, чем в ее начале, на величину подведенного количества теплоты 1 2 Q i02 i01 c p T02 T01 c p T2 T1 V2 V12 2 Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения k 1 M 1 M 2 f M 1 kM 2 f ' M 1 M 2 1 kM 2 2 1 k 1 M2 2 Функция f(M) имеет максимум при М = 1, и этот максимум равен f (1) 1 2k 1 Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения f M f ' M k 1 M 2 1 kM 2 M 1 1 M 2 1 kM 2 2 1 k 1 2 M 2 Функция f(M) имеет максимум при М = 1, и этот максимум равен f (1) 1 2k 1 Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения На рисунке приведен график функции f(M) для (k = 1,4)Как видно из графика и формулы подогрев газа при М1 < 1 вызывает возрастание функции f(M2) и числа М2, а при М1 > 1, наоборот приводит к убыванию числа М2. Следовательно, подвод теплоты к дозвуковому потоку ускоряет его, отвод теплоты – замедляет. В случае сверзвукового потока подвод теплоты замедляет его, а отвод – ускоряет. F(M) 0,4 0,3 0,2 0,1 0,4 0,8 1,2 1,6 М