Стационарная траектория развития экономики

Стационарная траектория развития
экономики
Замкнутая динамическая модель Солоу предполагает,
что фондовооруженность производства изменяется со
временем и закон изменения есть решение
дифференциального уравнения: (замкнутая модель
Солоу)
dk
(15.1)
 s1  a f k   μ  nk
dt
Практический интерес представляют стационарные
траектории развития, т.е. траектории для которых
k=Const в любой момент времени из интервала (0; T).
Такая траектория есть решение алгебраического
уравнения, которое представляет собой правую часть
уравнения замкнутой динамической модели Солоу (15.1)
Стационарная траектория развития
экономики
Модель стационарной траектории развития имеет вид:
s1 af k   μ  n k  0
(15.2)
Можно доказать, что уравнение (15.2) имеет
единственное решение k*, если справедливо
неравенство
μn
df 0 

s(1  a)
dk
Решение k* обладает свойством устойчивости: k(t)k*
при t  ∞, а, следовательно, вся траектория является
устойчивой. Все переменные для такой траектории
растут с постоянным темпом роста, равным n:
K
k

nt
Le
0
;
X f
k L e

0
nt
;
Y  1  a  X ; C  1  s Y
Стационарная траектория развития
экономики
Определение. Если все показатели, характеризующие
экономику (X, Y, K, C, L) растут с постоянным темпом
роста, то такая экономика имеет сбалансированный
рост и называется сбалансированной
Вывод. Стационарная траектория развития определяет
экономику сбалансированного роста, если k(0)=k*
Можно доказать, что траектория сбалансированного
роста в модели Солоу является стационарной.
Однако, если k(0)≠k*, то решение уравнения (15.1) не
определяет стационарную траекторию, а значит,
траекторию сбалансированного роста
Тем не менее, для любого k0>0 lim(k(t)=k* при t∞
При достаточно больших значениях t траектория роста в
модели Солоу приближается к сбалансированной
Стационарная траектория развития
экономики
Задача. Найти стационарные траектории развития для
переменных X, Y, K, C, L, если f(k)=bkα.
Решение. Подставим производственную функцию
Кобба-Дугласа в уравнение (15.2) и найдем из него
стационорное значение фондовооруженности k*.
s 1  a b k  μ  n k  0
α
s 1  a b k
α 1
 μ  n   0
 μ n 

k
 bs 1 a 

1
α 1

(15.3)
Вычислив по (15.3) значение k*, получаем траектории
развития всех переменных, подставив k* в выражения:

nt
K  k L0 e ;
 
α
nt
X  b k  L0 e ;
Y  1  a  X ; C  1  s Y
Оптимальная постоянная норма
накопления в модели Солоу
Мы ввели норму накопления s как некоторую часть
инвестиций J, приходящуюся на единицу конечной
продукции Y: s=J/Y.
Очевидно, что s может принимать любое значение в
пределах от 0 до 1.
Ставится задача найти оптимальную норму накопления
для стационарной траектории развития в модели Солоу
при максимальном уровне удельного потребления.
Это задача математического программирования вида:
c  1  s 1  a f k   max
s 1  a f k   μ  n k  0
0 s 1
k0
(15.4)
Оптимальная постоянная норма
накопления в модели Солоу
Решение задачи (15.4) проведем методом
неопределенных множителей Лагранжа. Функция
Лагранжа имеет вид:
Ls,k, λ   1  af k   λs1  af k   μ  nk
Необходимое условие экстремума имеют вид:
L
 1  a λ  1f k   0
s
L
f
f


 1  a 1  s   λ s1  a   μ  n  0
k
k
k


L
 s1  a f k   μ  nk  0
λ
Из уравнения (15.5) следует, что λ=1, т.к. f(k)≠0
(15.5)
(15.6)
(15.7)
Оптимальная постоянная норма
накопления в модели Солоу
Из уравнения (15.6) при λ=1 получим:
df
(15.8)
1  a  μ  n
dk
Т.к. вторая производная ПФ отрицательна, то левая
часть (15.8) убывает до нуля, а правая – Const, то это
уравнение имеет единственное решение k*>0.
Подставив это решение в (15.7), учитывая (15.8)
получим:

s


 
df k
μn k
k





dk
 1 a  f k
fk
   

(15.9)
Оптимальная постоянная норма
накопления в модели Солоу
Выражение (15.9) можно записать в виде:
s

 E  f 
(15.10)
k
где Ек*(f) – эластичность производственной функции f по
фондовооруженности в стационарной точке k*
0≤s≤1, т.к. для вогнутой функции эластичность меньше 1
2
2



f
d c
d
k

 1  s 1  a 
0
2
2
dk
dk
Следовательно, полученное решение соответствует
максимуму «с»
Выражение (15.10) называют золотым правилом
накопления. Оно впервые было получено Э.Фелипсом
Оптимальная постоянная норма
накопления в модели Солоу
Следствие. Умножим равенство (15.9) на f(k*)L, то после
возвращения к переменным K и L получим:
F K  ,L  
K
s F K ,L  
K


т.е. инвестиции в основные фонды согласно «золотому
правилу» накопления равны доходу получаемому от
капитала.
Уровень удельного потребления растет с тем же
темпом, что и уровень рабочей силы, поэтому
повышение уровня потребления можно достичь, только
за счет улучшения технологических процессов.