Лекция № 1 Геометрическая оптика 13/02/2015 

Лекция № 1
Геометрическая оптика
Алексей Викторович
Гуденко

13/02/2015
План лекции
1.
2.
3.
4.
Формулы Френеля.
Принцип Ферма. Законы отражения и
преломления.
Полное внутреннее отражение. Мираж.
Зеркало (лево-право), уголковый отражатель,
призма, параболическое зеркало.
Линза. Формула линзы. Увеличение линзы.
Близорукость, дальнозоркость.
Зрительная труба. Труба Галилея, труба
Кеплера. Яркость изображения. Нормальное
увеличение.
демонстрации

Аквариум с водой:
1.
преломление, полное внутреннее отражение
искривление луча из-за градиента плотности
2.



Уголковый отражатель
Линза в проекционном фонаре: проекция на
экран спирали лампы накаливания и газового
разряда ксеноновой лампы высокого давления
Призма: минимальное отклонение и
определение показателя преломления.
Предмет оптики


Оптика – раздел физики, изучающий свойства и
физическую природу света, а также взаимодействие
излучения с веществом.
Свет – электромагнитная волна
Спектр электромагнитных волн
λ
ν (Гц)
ε = hν
радиоволны
оптика
рентген
гамма
Км - мм
2 мм – 10 нм
10 -10-2 нм
< 0.01 нм
< 1011
1,5 1011 – 3
1016
3 1016 – 3 1019
> 3 1019
10-3 – 100 эВ
20 эВ – 0,1
Мэв
> 0,1 MэВ
Спектр электромагнитного излучения
Оптический диапазон: 2 мм – 10 нм
(~ 17 октав)





Инфракрасное излучение: 2 мм – 760 нм
Видимый свет: 400 – 760 нм
Ультрафиолет: 400 – 10 нм
Энергия кванта видимого света ε = hc/λ
ε(эВ) = 1.23/λ(мкм) = 1.6 – 3 эВ
Почему мы видим свет с λ ~ 0,5 мкм?
Электромагнитные волны



Волновое уравнение: ∂2x/∂t2 = v2 ∂2x/∂z2
Для упругих волн в стержне: ∂2x/∂t2 = (E/ρ) ∂2x/∂z2
Из уравнений Максвелла:
E
 H
E = Ex(z); H = Hy(z)


z
c t
H
 E

z
c t
Волновое уравнение

Волновое уравнение:

Решение волнового
уравнения:
 2 E   2 E
 2
2
z
c t 2
 2 H   2 H
 2
2
z
c t 2
v  c / 
E  E 0 cos(t  kz)
H  H 0 cos(t  kz)
Волновое уравнение
 E   E
 2
2
z
c t 2

Волновое уравнение:

Скорость распространения волны
в среде:
2
2
v  c /   c / n



Показатель преломления среды: n  
Решение волнового уравнения: E  E0 cos(t  kz)
Скорость v = ω/k = λ/T
Отражение от границы (картинка)
Формулы Френеля (нормальное
падение)



Е0 – падающая волна
Er – отражённая
Ed – прошедшая
Граничные условия: Et1 = Et2
Ht1 = Ht2
Er + Ed = E0
Hd – Hr = H0 ,
εE2 = μH2 или (при μ = 1) nE = H
Ed + Er = E0
nEd - Er = E0
Формулы Френеля (нормальное падение)






Er = (n – 1)/(n + 1) E0
Ed = 2E0/(n + 1)
Коэффициент отражения:
R = Ir/I0 = Er2/E02 = (n – 1)2/(n + 1)2
Коэффициент прохождения:
T = Id/I0 = nEd2/E02 = 4n/(n + 1)2
R+T=1
От воды отражается (n = 1.33):
R = (n – 1)2/(n + 1)2 = 2%
От поверхности стекла (n = 1.5):
R = (n – 1)2/(n + 1)2 = 4%
Всё что греет, то и светит
Закон смещения
Вина



Формула Планка –мощность излучения с ед.поверхности
в ед. интервале длин волн:
u(λ,T) = 2πhc2/λ5 (1/(exp ε/kT – 1)
λmax(мм) = 2,9/T(К)
T(К) = 2.9/0.5 мкм ~ 6000 К – температура Солнца!
Спектр излучения Солнца
Спектральная чувствительность глаза
Геометрическая оптика
1.
2.
3.
4.
Закон прямолинейного распространения света
Закон независимости световых пучков
Закон отражения
Закон преломления
Закон прямолинейного
распространения света

В прозрачной однородной среде свет
распространяется по прямым линиям.
Закон независимости световых
пучков


Распространение всякого светового пучка в
среде совершенно не зависит от того, есть в
ней другие пучки света или нет:
изображение на сетчатке не меняется, если
свет, образующий это изображение будет
проходить поперёк пучков света, не
попадающих в глаз.
Напряжённость поля в солнечного излучения:
I = cE2/4π ~ 1,5 кВт/м2 = 1,5 эрг/см2с → E ~
(4πI/c)1/2 ≈ 7,5 В/см
Законы отражения и преломления


При падения границу двух сред свет частично
отражается, а частично проникает во вторую среду
(преломляется)
Падающий и отражённый лучи лежат в одной плоскости
с нормалью к границе раздела в точке падения (эта
плоскость называется плоскостью падения), и угол
падения равен углу отражения.
Принцип Ферма – принцип
наименьшего времени



Свет при распространении из одной точки в другую
выбирает путь, которому соответствует наименьшее
время распространения.
Свет выбирает самый короткий оптический путь
s = ∫ndℓ
Свет выбирает один путь из множества
близлежащих, требующих почти одинакового
времени для прохождения: любое малое изменение
этого пути не приводит в первом порядке к
изменению времени прохождения.
Принцип Ферма и закон зеркального
B
отражения.


При зеркальном
отражении путь ACB кратчайший

A

C
Закон Снеллиуса





Преломлённый луч лежит в плоскости падения,
причём синус угла падения к синусу угла преломления
не зависит от угла падения, т.е.
sinα/sinβ = n21
n21 – относительный показатель преломления второй
среды относительно первой.
Показатель преломления относительно вакуума
называется абсолютным показателем преломления n.
Относительный показатель преломления выражается
через абсолютные по формуле n21 = n2/n1
Закон Снеллиуса в симметричном виде:
n1sinα1 = n2sin α2
Принцип Ферма и закон
преломления




Δt = +Δt1 - Δt2 = 0
Δt1 = Δx sinα/c
Δt2 = Δx sinβ/v = Δx n sinβ/c
Δt1 = Δt2 → sinα = nsinβ - Снеллиус
Принцип Ферма и формула линзы







S1 = a + Δ1 + Δ2 + b
S0 = (a – Δ) + nΔ + b
Δ1 = h2/2a; Δ = h2/2R; Δ2 = h2/2b
S1 = S0
1/a + 1/b = (n – 1)/R = 1/F = D – оптическая сила
линзы
D = 1/F = (n – 1)(1/R1 + 1/R2) – двояковыпуклая
линза
1/a + 1/b = 1/F – формула линзы
Принцип Ферма и мираж

Демонстрация по отклонению луча в
аквариуме
Полное внутреннее отражение


Если n21 < 1 (луч переходит в оптически менее
плотную среду, т.е. с меньшим показателем
преломления), то при α > αкр: sin αкр = n21
преломлённый луч не возникает.
αкр – предельный угол полного внутреннего
отражения
Струя воды –
световод
Показатель преломления n
вещество
NaCl (кристалл)
Оптические
стёкла
n
1,544
1,4 – 2,1
Алмаз
2,42
Сапфир
1,77
вода
1,33
Призма
Показатель преломления призмы

Показатель преломления:
n = sin ½(φ + γ)/sin½γ

Отклонение луча:
φ = (α1 – β1) + (α2 – β2) = (α1 + α2 ) - (β1 + β2) = (α1
+ α2 ) - γ
Симметричный ход лучей α1 = α2 = α –
минимальное отклонение луча
φ = 2(α – β) = 2α – γ → α = ½(φ + γ)
β = ½γ



Призма:
малый преломляющий угол + малые углы
падения: φ = (n – 1) γ

Угол отклонения не зависит от угла
падения: φ = (n – 1)γ

φ = (α1 – β1) + (α2 – β2) = (α1 + α2 ) - (β1 + β2) =
n(β1 + β2) + (β1 + β2) = (β1 + β2)(n – 1) = (n – 1) γ
Измерение показателя преломления
пластинок и жидкостей




В микроскоп рассматривают верхнюю и
нижнюю поверхность пластины (слоя
жидкости).
толщина пластины h0 = 3 мм
смещение тубуса h = 2 мм (видимая
толщина пластины)
Показатель преломления:
n = h0/h = 1,5
Уголковый отражатель.
Зеркало, не меняющее лево на право.
уголковый отражатель
Кошачий глаз
(кОтОфот)
Вот так
выглядит кот в
свете фото
вспышки или в
свете
автомобильных
фар
Линза как увеличительное стекло.
Яркость изображения

Увеличение линзы Г = θ/θ0 = d0/F
d0 = 25 см расстояние наилучшего зрения
F – фокусное расстояние линзы




θ0 = ℓ0/d0 – угловой размер предмета с расстояния
наилучшего зрения d0 = 25 см.
θ0 = ℓ0/F – угловой размер предмета, рассматриваемого
в лупу.
Угловое увеличение Г = θ/θ0 = d0/F
Пятикратная линза: F = 5 см.
Линза как увеличительное стекло
(лупа)
Зрительная труба Кеплера и Галилея
Зрительная труба Кеплера и Галилея
Яркость изображения протяжённых
предметов не зависит от расстояния!






E0 ~ Wd02/r2s ~ Wd02/r2ℓ2 ~ Wd02/r2θ2b02 =
Wd02/r2θ2b02 = Wd02/ℓ02b02 = const
d0 ~ 3-5 мм диаметр зрачка
b0 ~ 2 см – расстояние от хрусталика до
сетчатки
ℓ - размер изображения на сетчатке
ℓ0 – размер предмета
θ = ℓ0/r – угловой размер предмета
Линза: яркость изображения






Поток, формирующий изображение увеличился в D2/d02 раз
(работает весь зрачок)
Изображение на сетчатке увеличилось в Г = rD/rd = D/d0 раз
Площадь изображения на сетчатке увеличилась в s/s0 = Г2 = D2/d02
раз
Яркость изображения не изменилась
Ни один оптический прибор не увеличивает яркость
изображения на сетчатке.
При нормальном увеличении яркость изображения
равна яркости изображения предмета невооружённым
глазом
Можно ли в телескоп увидеть
звёзды днём?



Звезда – точечный объект, размер
изображения на сетчатке не изменяется;
яркость изображения звезды растёт ~ D2
Участок неба – объект протяжённый –
яркость изображения на сетчатке не
изменяется.
При определённом диаметре объектива D
изображение звезды станет ярче
изображения неба!
Камера обскура (тёмная комната)
Оптическая иллюзия
Импульс электромагнитного поля.
Давление света



Импульс релятивисткой частицы: p = (W/c2)v
 
Плотность импульса
 wv S
1  
g 2  2 
EH
электромагнитного поля:
4c
c
c
Давление света:
wc I
P  cg  w 

c
c

Если коэффициент отражения R, то:

Давление солнечного света:
P  (1  R )
I c  1,5 кВт/м 2
P  I / c  5  10 6 Па
I
c