Мастер-класс "Живые графики"

МБОУ СОШ №7
Математик так же,
как художник или поэт, создает узоры.
И если его узоры более устойчивы,
то лишь потому, что они созданы из
идей...
Г.Х. Харди
Подготовила: учитель
математики Зиновьева Т.В.
При решении широкого класса задач с параметром
довольно часто оказывается полезным графический
метод.
Решение задач с параметром графическим методом
имеет ряд особенностей. Он основан на нахождении всех
точек данной плоскости, координаты которых
удовлетворяют заданному в условии задачи
соотношению.
Графический метод обладает целым рядом
преимуществ перед аналитическим: он более нагляден и
понятен в случаях, когда необходимо ответить на
качественный вопрос или провести анализ множества
решений. Однако следует помнить, что универсальных
методов и приёмов, пригодных для любой
математической задачи, не существует. Поэтому,
приступая к анализу той или иной задачи, необходимо
выбрать наиболее эффективный из возможных способов
её решения.
Цель:
-показать применение графического метода при решении
задач с параметром;
-показать наглядность использования ИКТ при решении задач
с помощью «живых графиков»;
-рассмотреть решение заданий С5 для подготовки к ЕГЭ.
Движение прямой вдоль оси Оу и число решений системы.
Справочный материал
у=kх+b – линейная функция, Г – прямая
k – угловой коэффициент, k = tgα
b – точка пересечения Г с Оу
Если х = 0, то у = b, прямая параллельная Ох
Задача.
Определить число решений
системы в зависимости от
у
параметра.
В
{
у=2х+b - уравнение прямой, k=2
х2+у2=9 - уравнение окружности, с
центром (0;0), R=3
ΔАОН~ΔВОН
В(0;b)
tgA  tg ( BOH )  2
ВОН :
ОВ 
sin 2 A  cos 2 A  1
3
Н
1
cos 2 A
1
4 1 
cos 2 A
1
cos 2 A 
5
1
cos A 
5
1
OB  3 :
3 5
5
tg 2 A  1 
2
А
ОН
3

cos( ВОН ) cos А
О
0 1
3
А1
х
ОВ  ОВ1 , т.к.АОВ  А1ОВ1  В1 (0;3 5 )
Ответ : b  3 5 ; b  3 5  нет _ решений
В1(0;-b)
b  3 5 , то _ 1 _ решение
 3 5  b  3 5 , то _ 2 _ решения
Угловой коэффициент прямой и число решений системы.
Справочный материал
у=kх+b – линейная функция, Г – прямая
k – угловой коэффициент, k = tgα
Если угол острый, тогда tgα > 0, следовательно k > 0;
Если угол тупой, тогда tgα < 0, следовательно k<0;
Если α = 90º, то tg90º - не существует, следовательно не
существует k.
Задача. Определить число решений
системы в зависимости от
параметра.
{
у=k(х-5) - прямая, Г ∩ Ох = (5;0)
х2+у2=9 - уравнение окружности,
с центром (0;0), R=3
у
В
3
О
Н
3
А
5
х
ΔАОВ – прямоугольный, ОА=5,
ОН – высота, ОН = R = 3
Найти: tgA
АОН  прямоуголь ный
3
4
3
3
sin A  , cos A  ,  tgA   k 
5
5
4
4
Учитывая, что прямая с осью Ох
образует в данном случае тупой угол,
делаем вывод, что k=-3/4
В данном случае прямая с осью Ох образует острый угол и
т.к. треугольники равны, то k = 3/4
Задача. Определить число решений
системы в зависимости от
параметра.
{
у=k(х-5) - прямая, Г ∩ Ох = (5;0)
х2+у2=9 - уравнение окружности,
с центром (0;0), R=3
у
В
3
О
Н
3
А
5
х
ΔАОВ – прямоугольный, ОА=5,
ОН – высота, ОН = R = 3
Найти: tgA
АОН  прямоуголь ный
3
4
3
3
sin A  , cos A  ,  tgA   k 
5
5
4
4
3
Ответ : если _ k   , то _ 1 _ система _ имеет _ одно _ решение
4
 3 3
если _ k    ; , то _ система _ имеет _ 2 _ решения;
 4 4
3 3


если _ k    ;    ; , то _ система _ не _ имеет _ решений.
4 4


Плавающая окружность и число решений системы.
Справочный материал.
(х – х0)2 + (у –у0)2 = R2
(х0;у0) – координаты центра окружности
(х;у) – координаты точки, принадлежащей
окружности
R – радиус окружности
Задача. Определить число решений
системы в зависимости от
параметра.
у
 х  а 2  у 2
{
 9 -уравнение окружности, центр
движется вдоль Ох, R=3
у   х  1 - уравнение функции у=|х| со
смещением по Ох влево на 1
ед. отр. и отображением
относительно Ох.
Треугольник – прямоугольный,
равнобедренный, катеты равны
радиусу, значит гипотенузу
можем найти по теореме
Пифагора.
А
-1
В
R 2  R 2  18  гипотенуза  3 2
х
А(1  3 2 ;0)  в _ этой _ точке
_ графики _ имеют _ 1 _ общую _ точку
 система _ при _ а  1  3 2
имеет __ 1 _ решение
В(1  3 2 ;0)  при _ а  1  3 2
система _ имеет _ 1 _ решение
Ответ : если _ а  1  3 2 , то _ 1 _ решение
если _ а  (;1  3 2 )  (1  3 2;), то _ нет _ решений
если _ а  (1  3 2 ;1  3 2 ), то _ 2 _ решения
Движение параболы вдоль Оу и число решений системы
Справочный материал.
у = ах2+bх+с,
С помощью выделения полного квадрата получим
у=k(х-х0)2+у0, где (х0;у0)-координаты вершины
параболы
Задача. Определить число решений
системы в зависимости от
параметра.
у
{
у=-0,5х2+b Г – парабола,ветви – вниз,
к=-0,5, вершина на Оу
У=-3|х+1|+6 (-1;6)-вершина «галочки»
1 решение получим при касании параболы
и луча у=-3х+3 при х>-1
-0,5х2+b=-3х+3;
х2-6х+6-2b=0;
D=0; b = -1,5
2 решения будем иметь до момента
касания параболы со вторым лучом
«галочки»
3 решения получим при касании параболы и
х луча у=3х+9, при х<-1
-0,5х2+b=3x+9
x2+6x+18-2b=0
D=0 ; b = 4,5
4 решения до момента прохождения
параболы через точку (-1;6)
В момент прохождения параболы через точку
(-1;6) имеем: -0,5(-1)2+b=6; b = 6,5 (3 реш.)
При дальнейшем увеличении b графики
будут иметь 2 общие точки,
соответственно система – 2 решения
График модуля меняет угловой коэффициент и число
решений системы.
Справочный материал.
у = k|х-а| + b
(a;b) – координаты вершины «галочки»
k – угловой коэффициент лучей «галочки»
Задача. Определить число решений
системы в зависимости от
параметра.
{
у  p x  2  3 вершина «галочки» (-2;-3)
y  2 x  2 ветвь параболы, вершина (0;-2)
р=1; решений нет
у
р=0; р<0; решений нет
р>0; одно решение
Два решения, если луч
«галочки» проходит через
точку (0;-2), т.е. р|0+2|-3=-2;
р=0,5
Одно решение, если луч
касается ветви параболы.
Т.е. должно выполняться
равенство:
1
х
-2
-3
Ответ :
2 х  2  р х  2  3, т.к.х  2, то
2 х  2  р( х  2)  3
2 х  рх  2  1; возведем _ обе _ части _ в _ квадрат
1 5

р   ;0  
;  , то _ решений _ нет
 4

р 2 х 2  4 р 2  2 р  2х  4 р 2  4 р  1  0
1  5 
р  0;0,5  
, то _ одно _ решение
4


4 р2  2 р 1  0

1 5 
, то _ два _ решения
р  0,5;

4


Д  4 р 2  2 р  1; Д  0, то _ 1 _ корень
р
1 5
4
р
1 5
4
Окружность с фиксированным центром меняет радиус и
число решений системы.
Справочный материал.
(х-а)2+(у-b)2=R2
(a,b)-координаты центра
R- радиус
x2+y2=c2 – уравнение окружности с центром в начале координат
(0;0) – координаты центра
R=|c|, с – принимает как положительные, так и отрицательные
значения.
Задача. Определить число решений
системы в зависимости от
параметра.
{
х2+у2=с2 -ур-е окружности, (0;0) – центр,
R=|c|
3|х|+4|у|=12 - уравнение ромба
4
y
3
5
3
4
x
С5; 2011г. Определить, при каком
(|х|-5)2+(у-4)2=9
значении параметра система
имеет единственное решение.
у
{
(х+2)2+у2=а2
1 случай. х>0
(х-5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности,
(5;4)-центр, R=3
(х+2)2+у2=а2
{
D
ΔАВС-прямоугольный,
АС=4; ВС=7.
А
М
По _ т.Пифагора : АВ  65  а  ( 65  3)
АD  65  3  a  ( 65  3)
х
Н
Ур-е окр.,(-2;0)-центр, R=|a|
В
С
2 случай. х<0
(х+5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности,
(-5;4)-центр, R=3
(х+2)2+у2=а2
{
ΔМНВ-прямоугольный,
МН=4;НВ=3; след. МВ=5
 а  5  3  2; а  5  3  8
Ответ : а  2;8;( 65  3)
Найди ошибку!
С5; 2011г. Определить, при каком
(|х|-5)2+(у-4)2=9
значении параметра система
имеет единственное решение.
у
{
(х+2)2+у2=а2
1 случай. х>0
(х-5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности,
(5;4)-центр, R=3
(х+2)2+у2=а2
{
D
ΔАВС-прямоугольный,
АС=4; ВС=7.
А
М
По _ т.Пифагора : АВ  65  а  ( 65  3)
АD  65  3  a  ( 65  3)
х
Н
Ур-е окр.,(-2;0)-центр, R=|a|
В
С
2 случай. х<0
(х+5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности,
(-5;4)-центр, R=3
(х+2)2+у2=а2
{
ΔМНВ-прямоугольный,
МН=4;НВ=3; след. МВ=5
 а  5  3  2; а  5  3  8
Ответ : а  2;8;( 65  3)
Ответ : а  2;( 65  3)
С5, ФИПИ,
2013
у
Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее
значение функции f(x) = 2ax + |x2 -8x +7| больше 1.
Решение:
f(x) > 1
2ax + |x2 -8x +7| > 1
|x2 -8x +7| > -2ax + 1
Рассмотрим обе части неравенства как
функции и построим их графики.
1) у = |x2 -8x +7| - график – парабола,
часть параболы для у<0 отображаем
относительно оси Ох
2) у = - 2ах + 1 , график – прямая,
проходящая при любых значениях
параметра через точку (0;1)
х Прямая проходит через точку (1;0)
-2а + 1 = 0 ; а = 0,5
Прямая касается параболы у=х2-8х+7
а2-8а+10=0
х2-8х+7=-2ах+1
Д1=16-10=6
х2-8х+2ах+6=0
а1  4  6
х2-2(4-а)х+6=0
Д1=16-8а+а2-6=
а2  4  6
а2-8а+10
Ответ : а  (0,5;4  6 )
Реши самостоятельно:
Лысенко Ф.Ф., Подготовка к ЕГЭ, 2012г.
Вариант 1
( х  7) 2  ( у  2) 2  9 Найдите все положительные значения параметра а,
( х  3) 2  ( у  1) 2  а 2
при которых система имеет единственное решение
Вариант 2
( х  3) 2  ( у  5) 2  16
у  ха 2
Найдите все значения параметра а, при каждом
из которых система имеет ровно три различных
решения
Вариант 3
Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение
функции f(х) = 2ах + |х2 – 8х + 15| больше 1.
Ответы:
Вариант1 : 2;3  109
Вариант 2 : 4 2 ;6  4 2 ;3  7
1

Вариант 3 :  ;4  14 
6

Построение графика функции с помощью
производной. Решение уравнений с
параметром.
Справочный материал
Исследование функции
1. Найти производную функции.
2. Найти точки экстремума, определить промежутки
знакопостоянства.
3. Найти значение функции в точках экстремума.
4. Найти значение функции в дополнительных точках.
5. Построить график функции.
Решение уравнения
1. Преобразовать условие уравнения (при необходимости)
2. Рассмотреть левую и правую части уравнений, как функции, и
построить их графики.
3. С помощью графической иллюстрации составить ответ.
Задача.
При каком натуральном значении параметра а уравнение
имеет ровно один корень?
х  х  9х  а
3
2
Решим уравнение графически, построив графики функций:
у  х3  х 2  9 х и у  а
у  х  х  9х
3
2
27
у  3х  2 х  9
/
2
у  0, если х  3, х  1
/
-
+
-3
у (3)  27
у (1)  5
+
1
у/
у
Графиком функции у  а является
прямая , параллельная оси х.
Графики функций пересекают ся
в двух точках, если а  27 и а  5.
1
-5
Ответ: 27
которых уравнение имеет
Задача. Найдите все значения р, при
единственный корень: 3х 1  32 х 1  2  3х 1  9 р  5  3х  2


1. Преобразуем условие:


3 х 1  32 х 1  2  3 х 1  9 р  5  3 х  2
33 х  2  2  32 х  2  3 х  2  5  9 р
9  3 (3  2  3  1)  5  9 р
х
2х
х
+
-1
у  1 
9  3 х (3 х  1) 2  5  9 р
0
у 0   0
у
5

ОДЗ ( р )    ; 
9
 функцию
2. Исследуем
с помощью
4
3
производной:
у  33 х  2  2  32 х  2  3 х  2
у /  27  33 х  36  32 х  9  3 х
4
,
3
+
у/
у
х
-1
27  33 х  36  32 х  9  3 х  0 / : 9  3 х 
3  32 х  4  3 х  1  0, пусть 3 х  t ,
11
4
1
р

2
59р 
3t  4t  1  0, t1  1, t 2 
27
3
3
5
59p  0
х
p

тогда 3  1, х  0
9
1
11   5 

p



;
3 х  , х  1

 
Ответ:
27

 9 
3
у  59р
Реши уравнения:
1.При каком наименьшем натуральном значении параметра m
1 3
уравнение х  х 2  15 х  m имеет ровно один корень ?
3
2.Найдите все значения p, при которых уравнение имеет
единственный корень :


23 х 1  2  3  4 х  2 х  2  p


53 x 1  8  3  5 x 1  3  5 x  p