Лекция 4. Представление сложных сигналов комплексными

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РТФ
Радиотехнический институт УГТУ – УПИ
Инновационная образовательная
программа
Основы построения
телекоммуникационных
систем и сетей:
краткий курс лекций
Автор курса лекций:
Удинцев Владимир Николаевич, канд. техн.
кафедры ТСС УГТУ-УПИ
Екатеринбург
наук, доцент
2008
2
Основы построения
телекоммуникационных
систем и сетей:
краткий курс лекций
лекция 4
Представление сложных сигналов
комплексными числами
Цели лекции:




Знакомство с временным и частотным
представлением сложных сигналов;
Знакомство с основными параметрами и
видами сложных сигналов;
Знакомство с основными понятиями и
терминами.
Изучение
представления
сложных
сигналов комплексными числами
4
Основные термины

Комплексный спектр – амплитудный спектр, соответствующий
комплексному ряду Фурье.

Аналитический сигнал – комплексный сигнал z(t), отображающий
вещественный (реальный физический) сигнал u(t).

Сопряженный сигнал по отношению к сигналу u(t) – мнимая часть
аналитического сигнала z(t) .

Комплексная спектральная функция – амплитудный и фазовый
спектр, соответствующий комплексному ряду Фурье.

Спектральная плотность сигнала – функция комплексной частоты S
(jω), получаемая в результате прямого интегрального преобразования
Фурье, характеризует интенсивность распределения амплитуд
гармоник непериодического сложного сигнала по оси частот.
5
Комплексный ряд Фурье

Используя формулу Эйлера e jφ = cos φ + j sin φ и вводя понятие
"отрицательной частоты", ряд Фурье можно представить в

комплексном виде:
jn t
u (t ) 
C
n 
T
где
1
Cn 
T
2

T
n
e
1
u (t )e  j n1 t dt
2
– комплексная амплитуда n-й гармоники сложного сигнала.
Если принять, что Cn = ½ (an – jbn), то комплексная спектральная
функция Cn = C (jnω1) может быть представлена в виде спектра
амплитуд
1 2 2
C n  an  bn
2
bn
)
и фаз φ( jnω)  arctg ( 
an
6
Комплексные амплитудный и
фазовый спектр

Амплитудный спектр, соответствующий комплексному ряду Фурье,
симметричен относительно нулевой частоты и носит название
комплексного
спектра.
Комплексный
фазовый
спектр
симметричен относительно начала координат. Комплексные
амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала также
являются дискретными или линейчатыми и имеют размерность
амплитуды и фазы соответственно.
7
«Отрицательная частота»

«Отрицательная частота» при представлении сигналов
комплексными числами – чисто математическое понятие,
т.е. абстракция и физического смысла не имеет. Но
амплитудно-частотные, фазо-частотные комплексные
спектры сложных сигналов наглядно показывают их
спектральный состав и позволяют оценить искажения
сигналов при прохождении их через различные системы
передачи. По известному спектру, путем обратного
преобразования, можно создать необходимый сложный
сигнал. Анализ систем передачи также значительно
проще производить в частотной области, используя,
например, комплексную спектральную функцию C (jnω1).
8
Пространство сигналов


Если сложный сигнал может быть представлен в виде ряда, составленного
из простых сигналов, то при выбранном множестве базисных сигналов,
сложный сигнал может быть представлен набором чисел, которые
полностью его определяют в выбранный момент времени. Считая эти
числа значениями «координат» сигнала, получаем некоторое n – мерное
«пространство сигналов». Поскольку реальные сигналы имеют
ограниченное число этих аппроксимирующих его составляющих простых
сигналов, то и число измерений пространства сигналов будет конечно и
ограничивается обычно 5 – 10 «координатами».
Представление сложного сигнала в дискретные моменты времени в виде
вектора, составленного чисел – значений простых сигналов, позволяет
представить любой сигнал с ограниченным спектром точкой в некотором
пространстве с координатами равными отсчетам – значениям простых
сигналов в этот момент времени.
9
Анализ непериодических
сложных сигналов

Непериодическую функцию времени можно рассматривать как
предел периодической функции с периодом Т → ∞. Тогда минимальное расстояние между спектральными линиями по оси частот,
равное основной частоте ω1  2π T
(частоте первой гармоники),
стремится к нулю, спектральные линии сливаются и спектр
становится непрерывным, а для преобразования функции времени в
функцию частоты используют интегральное преобразование Фурье.


 jωt
1
 jωt
u (t ) 
  u (t )e dt  e dω

2π    


S ( jω) 
 jωt
u
(
t
)
e
dt

-

u (t ) 
1
j ωt
S
(
j
ω
)
e
dω

2π  
10
Спектральная плотность
сложного сигнала

комплексной частоты S (jω) называется спектральной
плотностью сигнала, а спектры амплитуд и фаз вычисляются
соответственно по формулам:
Функция
S ( jω) 
ReS ( jω)2  ImS ( jω)2

 Im  S ( jω)  

(ω)  arctg 

Re
S
(
j
ω)







По аналогии с преобразованием Лапласа, спектральную плотность S (jω)
называют фурье-образом функции u (t) и используют символическую
запись:
1
u(t )  S ( jω), u(t )  F [S ( jω)], S ( jω)  F [u(t )]

Эти формулы однозначно связывают между собой вещественную
функцию времени u (t) и комплексную функцию частоты S (jω) и
называются соответственно прямым и обратным преобразованиями
Фурье.
11
Спектральная плотность
сложного сигнала

В общем случае спектральная плотность – комплексная функция, и
ее действительная и мнимая части определяются как:

Re S ( jω) 
 u(t ) cos ωt dt


Im S ( jω)    u (t ) sin ωt dt


Используя эти преобразования можно аналитически определить
спектральную плотность по заданной форме сигнала, либо наоборот,
найти его форму по заданной спектральной плотности.
Спектральная плотность имеет размерность В/Гц, А/Гц, Вт/Гц и
характеризует
интенсивность
распределения
амплитуд
гармоник непериодического сложного сигнала по оси частот.
12
Аналитический сигнал

На практике фурье-образы сигналов рассматривают только в
области положительных частот. Для этого с помощью формул
Эйлера произвольный
физический сигнал u(t) с известной
спектральной плотностью S(jω) записывают как сумму двух
составляющих, одна из которых содержит только положительные, а
другая только отрицательные частоты:
e j  e - j
cos  
2
j
e  e - j
sin  
2j

0

1
1
u (t )   S ( jω) e jωt dω +  S ( jω) e jωt dω
2π 
2π 0
Приравнивая к нулю составляющую, содержащую отрицательные
частоты, получают некоторую эквивалентную функцию

1
z (t )   S ( jω) e jωt dω
π0
13
Аналитический сигнал



Ее называют аналитическим сигналом, отображающим
вещественный (физический) сигнал u(t). Эта функция получается
комплексной, но ее вещественная часть будет равна u(t).
Но u(t) = 0,5[z (t) + z*(t)], т. е. есть полусумма действительной и,
сопряженной с ней, мнимой части. Мнимую часть аналитического
сигнала z(t) называют поэтому сопряженным сигналом по
отношению к сигналу u(t).
Выполнив прямое преобразование Фурье аналитического сигнала,
получим спектральную плотность аналитического сигнала:

Z ( jω) 

z (t )e jωt dt
-
14
Аналитический сигнал

Спектральная плотность аналитического сигнала отлична от нуля
только в области положительных частот и равна удвоенной
спектральной плотности физического сигнала u(t). В силу
линейности прямого преобразования Фурье спектральную плотность
аналитического сигнала можно записать как:
Z ( j)  S ( j)  S *( j)
где S*(jω) – спектральная плотность сопряженного сигнала. Эта
спектральная плотность отлична от нуля также только при
положительных частотах, т.е. в полосе частот от нуля до
бесконечности. Такие сигналы называют также полосовыми.
15
Аналитический сигнал

Аналогичный результат получается,
представить в комплексной форме:

если
сигнал
u(t)
сразу

u(t )  u (t )  j u(t )


где u (t )
– сопряженный
преобразованию Гильберта:
с
u(t) сигнал, определяемый по

 1 t   u ()
1 u () 
u (t )  Г[u (t )]  lim  
d  
d
 0 
 t  t   
  t  



Нетрудно доказать, что
аналитического сигнала z(t).
u (t )
является
полной
аналогией
16
Аналитический сигнал

Если имеется некоторый сложный сигнал, представленный рядом
Фурье в виде суммы косинусоидальных и синусоидальных
аппроксимирующих его составляющих:
n
u (t )   (ak cos k1t  bk sin k1t )
k 1
то сопряженный ему сигнал будет записан как:

n
u (t )   (ak sin k1t  bk cos k1t )
k 1
Это позволяет заключить, что каждая гармоническая составляющая
сопряженного сигнала повернута на угол π/2 относительно
соответствующей составляющей исходного сигнала, а, если
начальные фазы двух синхронных колебаний сдвинуты на угол π/2
(90о), то такие колебания называют квадратурными.
17
Контрольные вопросы







Что такое «Фурье-образ» сигнала?
Какая величина получается в результате прямого преобразования
Фурье? Какую размерность она имеет и что характеризует?
Какие сигналы можно представить в виде суммы простых
гармонических
сигналов?
Каким
условиям
они
должны
удовлетворять?
Какой сигнал получается в результате преобразования Гильберта?
Как по известной спектральной плотности синтезировать реальный
физический сигнал?
Что такое «аналитический сигнал»? Каковы его свойства?
Что отображает амплитудно-частотный спектр сигнала? Какую
размерность он имеет и что характеризует?
18
Информационное обеспечение
лекции
Список литературы

Гаранин М.В. и др. Системы и сети передачи информации:
Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 2001. – 336
с.:ил.

Атабеков, Г.И. Основы теории цепей : учебник для вузов /
Г.И. Атабеков. – 2-е изд., испр. – СПб. : Лань, 2006. – 432 с.


Новиков, Ю.Н. Электротехника и электроника. Теория цепей
и сигналов, методы анализа : учебное пособие /
Ю.Н. Новиков. – СПб. : Питер, 2005. – 384 с.
Новгородцев, А.Б. Теоретические основы электротехники. 30
лекций по теории электрических цепей : учебное пособие /
А.Б. Новгородцев. – 2-е изд. – СПб. : Питер, 2006. – 576 с.
19
Конец фильма
Спасибо за внимание!