Уравнивание геодезических измерений

Уравнивание
геодезических
измерений
Зачем нужно уравнивание
Измеряя одну величину, мы можем 5 раз
получить немного разные результаты.
С чем это связано?
Мы с разных углов посмотрели на линейку (случайные ошибки))
На линейках неверно нанесены деления (системетические ошибки)
Случайные и систематические
ошибки
Если в измерениях
присутствуют
систематические
Ошибки, мы никогда не
узнаем, где же истина.
Если только случайные –
то можно попытаться
«подобраться» поближе
Что такое уравнивание?

Уравнивание - это попытка исправить
измерения (или полученные координаты
точки) таким образом, чтобы результат был
наиболее близок к истинному
Уравненная величина
Измерение 1
Измерение 2
Уравнивание по методу
наименьших квадратов

Метод наименьших
квадратов – это
условие:
v
2
 min
Т.е. Уравненное значение должно быть как можно «ближе» ко всем значениям
измерений
v1
v2
Измерение 2
Измерение 1
Уравнивание
В
Надо найти высоты точек 1, 2,3,4
3
1
А
Высоты А, В, С известны
2
4
Измерены все превышения
С
Уравнивание

Высоты точек можно найти разными путями.
У нас тут имеет место избыточность
измерений.
Измерений: 8
Необходимо: 4
Избыточных: 4
Параметрическое уравнивание

Пусть параметрами t будут высоты
определяемых пунктов: H1, H2,… H4
Тогда превышение между пунктам 1 и А (уже
измеренное) можно найти как:
h1=t1-HA
Уравнение связи
Фактически измеренное превышение: h’1
Параметрическое уравнивание


Мы можем вычислить
приближенные
значения параметров
Параметр
(высот пунктов 1,2,3,4):
t’1, t’2, t’3, t’4
t
Приближенное
значение
Элемент
сети
Формула
1
HРп1
HA+h1
190,648
t2
HРп2
HA+h1+h2
192,214
t3
HРп3
HB+h8
190,327
t4
HРп4
HC-h7
189,435
t0j (м)
Вычисление коэффициентов и
свободных членов
параметрических уравнений
поправок
Поскольку:
h1=h’1+v1 Поправка в 1-е измеренное превышение
t1=t’1+τ Поправка в 1-й параметр (высоту Рп.1)
Тогда
h’1+v1=t’1+ τ-Ha, значит
v1= τ – Ha-h’1
Параметрические уравнения
поправок









Получим параметрические уравнения поправок
v = A + a0
v1=+ 1
v2=- 1+ 2
v3=- 1+
3
v4=
- 2+ 3
v5=
+ 3 + 4
v6=
- 2
+4
v7=
- 4
v8=
+ 3
----- a0 -----
+ t01 - HA - h1
- t01 + t02 - h2
- t01 + t03 - h3
- t02 + t03 - h4
+ t03 - t04 - h5
- t02 + t4 - h6
- t04 + HC - h7
+ t03 - HB - h8
Матрица А и матрица свободных
членов:
Матрица A
номер хода
a1
a2
a3
вектор a0(см)
a4
1
1
0
0
0
0,0
2
-1
1
0
0
0,0
3
-1
0
1
0
-1,9
4
0
-1
1
0
-0,6
5
0
0
1
-1
-2,3
6
0
-1
0
1
3,5
7
0
0
0
-1
0,0
8
0
0
1
0
0,0
Как это все решается дальше?
Чтобы искать значения параметров t дальше, необходимо нормировать матрицу А
R  A PA
T
P – матрица весов измерений. Она показывает, насколько следует «доверять» каждому
измерению. Ведь очевидно, что превышению, определенному на 100 м доверия меньше,
чем при расстоянии 50 м.
1
R Q
Как это все решается дальше?
b  A Pa0
b – нормированный вектор свободных членов
T
  Qb
V  A  a 0
Поправки в параметры (поправки к
предварительно вычисленным высотам 1, 2,
3, 4
Поправки к измеренным величинам
(превышениям)
Как оценить качество
вычислений?
μ - Ошибка единицы веса. Вес измерения при длине ходя (например) 1 км.
mH   Qi , j
Ошибку вычисления высоты вычисляют по обратной
матрице весов Q
Помните, что



Если в измерениях присутствуют грубые ошибки,
их лучше исключить до уравнивания
Исходно «плохие» измерения уравниванием нельзя
сделать лучше. Уравнивание сглаживает картину и
подходит только тогда, когда погрешности
измерений случайны
Аккуратно отнеситесь к весам измерений и
контролируйте значения СКО вычисленных
значений