Приложение 6. Производная функции в задачах

Приложение 6. Производная функции в задачах
Пример
1.
Построить график функции f ( x ) = х4 - 2х2 - 3
Решение:
1. D(f)=R.
2. четная
3.а) вертикальных асимптот нет б) lim(x4 -2х2 -3) = .
4. точки пересечения с осями
а) с ОХ: у=0, x = ± 3
б) с OY: х=0, у=3
5. f ' ( x ) = 4 x 3 - 4 x . f ' ( x ) = 0 . x = 1 , - 1 .
x
f'(x)
f (x)
(-;-1)
-1
(-1;0)
0
(0;1)
1
(1;+)

0

0
-
0
+
-4(min)
-3(max)
-4(min)
Для построения графика функции полезно
сначала на координатной плоскости отметить
точки
(-1;-4),
касательные
(0;-3),
к
(1;-4),
графику
учитывая,
функции
в
что
этих
экстремальных точках параллельны оси ОХ.
Потом,
используя
данные
таблицы,
нужно
«написать» ход кривой в точках экстремума.
Построение
самого
графика
явится
завершающим этапом и не вызовет затруднений.
Отработать навыки построения кривой в окрестности точки в зависимости от значения
производной функции в этой точке надо заранее, до построения графика функции. Я
начинаю формировать этот навык с момента изучения материала о геометрическом
смысле производной. В работе я сталкиваюсь с проблемой, что дети не всегда могут
сопоставить график функции и график производной.
Полезными являются такие типы задач:
1. Изобразите кривую, касающуюся прямых, заданных на рисунке, в отмеченных
точках:
2.Укажите, в каких точках функция, заданная графически, не имеет производной; имеет
производную; имеет производную, равную нулю
Y
X
Изобразите график такой функции, которая в двух точках не имеет производную, а в
трех точках ее производная обращается в ноль.
Изобразите график такой функции, которая непрерывна на всей числовой оси и имеет:
а) две точки максимума и одну точку минимума;
б) две точки максимума и три точки минимума;
в) две точки максимума и ни одной точки минимума.
Предполагаемая система упражнений направлена на то, чтобы
учащиеся не допускали ошибки следующего рода:
1) график функции f ( x ) = х 3 - 2 х 2 + х должен быть
2) функция f ( x ) = x 2 - x 4 должна иметь график,
А ученики ошибочно строят другие эскизы графиков.
Эти ошибки происходят из-за того, что при построении графиков функций берут во
внимание лишь характер монотонности функции и то, какой экстремум имеет функция в
той или иной экстремальной точке, забывая при этом учесть существует ли при этом
производная функции в этих точках.
График функции f ( x ) = x 2 – х 4 построен так, что в точках с абсциссами
х=
1
2
и х= -
1
2
к кривой нельзя провести касательных, в то время как производная
функции в этих точках существует.
В работе я сталкиваюсь с проблемой, что дети не могут сопоставить график функции
и график производной. Поэтому на уроках я предлагаю учащимся задачи следующего
типа.
Пример 2.
На рисунке изображен график производной функции y = f ' ( x ) ,
заданной на
отрезке [-2; 10]. Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность и укажите длину
промежутка возрастания.
Пример 3.
Функция y=f(x), определена на промежутке (-3;7). График ее производной изображен
на рисунке. Укажите число точек минимума функции y=f(x) на промежутке (-3;7).
Пример 4.
Функция y = f ( x ) , определена на промежутке (-4;3). График ее производной
изображен на рисунке. Укажите число точек максимума функции y=f(x)на промежутке (4;3).
Пример 5.
Функция y = f ( x ) , определена на промежутке (-6;4). График ее производной
изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции y=f(x)на промежутке (6;4).
Пример 6. Функция y = f ( x ) , определена на промежутке (-5;7). График ее
производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В
ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.