МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
МФТИ (ГУ)
«Утверждаю»
Проректор по учебной работе
_______________ Д.А.Зубцов
«___»______________ 20___ г.
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
По дисциплине: Алгебраические коды
По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
Профиль подготовки: инфокоммуникационные и вычислительные
технологии
Факультет радиотехники и кибернетики
Кафедра проблем передачи и обработки информации
Курсы: 3 и 4 (бакалавриат)
Семестры: осенний и весенний
Простой зачёт: 6 семестр
Экзамен: 7 семестр
системы
Трудоёмкость: вариативная часть – 3 зач.ед.,
в том числе:
лекции: вариативная часть – 66 часов
самостоятельная работа: вариативная часть – 28 часов
подготовка к экзамену: вариативная часть – 1 зач.ед.
ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 66
Программу составил д.т.н., профессор Ю.Л. Сагалович
Программа обсуждена на заседании кафедры 28 мая 2012 года
Заведующий кафедрой
академик РАН
А.П. Кулешов
и
Объем учетной нагрузки и виды отчетности
Вариативная часть, в том числе:
3 зач.ед.
Лекции
66 часов
Самостоятельные занятия
28 часов
Промежуточная аттестация
простой зачет в 6-м семестре
Итоговая аттестация
экзамен в 7-м семестре (1 зач.ед.)
ВСЕГО
3 зач.ед. (94 часа + 1 зач.ед.)
1. Цели и задачи дисциплины
Цель дисциплины – освоение студентами основных положений теории
алгебраических кодов.
Задачи:
- фундаментальная подготовка студентов в области теории алгебраических
кодов;
- формирование подходов к выполнению самостоятельных исследований
студентами в области управления проектами.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Алгебраические коды» включает в себя разделы, которые
могут быть отнесены к вариативной части цикла Б.3 УЦ ООП.
Дисциплина «Алгебраические коды» базируется на циклах Б.2 и Б.3 в
базовой и вариативной частях.
3. Компетенции, формированию которых способствует освоение
дисциплины
Освоение дисциплины «Алгебраические коды» способствует формированию
следующих общекультурных и общепрофессиональных интегральных
компетенций бакалавра:
а) общекультурные (ОК):
- способность анализировать научные проблемы и физические процессы,
использовать на практике фундаментальные знания, полученные в области
естественных наук (ОК-1);
- способность осваивать новую проблематику, терминологию, методологию и
овладевать научными знаниями и навыками самостоятельного обучения
(ОК-2);
- способность логически точно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь, формулировать свою точку зрения; владение навыками
ведения научной и общекультурной дискуссий (ОК-4).
б) профессиональные (ПК):
2
- способность применять в своей профессиональной деятельности знания,
полученные в области физических и математических дисциплин, включая
дисциплины: информатика, программирование и численные методы;
физические основы получения, хранения, обработки и передачи
информации; высшая математика (ПК-1);
- способность понимать сущность задач, поставленных в ходе
профессиональной деятельности, и использовать соответствующий физикоматематический аппарат для их описания и решения (ПК-3);
- способность использовать знания в области физических и математических
дисциплин для дальнейшего освоения дисциплин в соответствии с профилем
подготовки (ПК-4);
- способность применять теорию и методы математики для построения
качественных и количественных моделей (ПК-8);
- способность работать в коллективе исполнителей над решением конкретных
исследовательских и инновационных задач (ПК-9).
4. Знания, умения и навыки, формированию которых способствует
освоение дисциплины
Освоение дисциплины «Алгебраические коды» способствует формированию
комплекса знаний и навыков, благодаря которым обучающийся должен
а) знать:
- основные понятия и утверждения теории алгебраических кодов;
- современные направления развития теории алгебраических кодов;
б) уметь:
- эффективно использовать на практике теоретические компоненты науки:
понятия, суждения, умозаключения, законы;
в) владеть:
- навыком освоения большого объема информации;
- навыками постановки научно-исследовательских задач и навыками
самостоятельной работы.
5. Структура и содержание дисциплины
Лекции
№
п.п.
1
2
Тема
Теория сравнений.
Определение.
Свойства сравнений, полная и приведенная
системы вычетов.
Теоремы о свойствах систем вычетов.
Функция Эйлера.
Определение.
Мультипликативность и вычисление
функции Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
Пример применения в криптосистемах с
Число
Число часов
аудиторных самостоятельной
часов
работы
2
1
2
1
3
3
4
5
6
7
открытым ключом.
Первообразные корни и индексы.
Показатель, которому принадлежит число
по некоторому модулю.
Связь сравнимости чисел со сравнимостью
их показателей.
Показатели чисел по модулю m, как
делители функции Эйлера.
Первообразные корни.
Модули, по которым существуют
первообразные корни.
Число первообразных корней.
Индексы.
Аналогия между индексами и логарифмами.
Основные теоремы об индексах.
Группа.
Определение группы.
Единичный и обратный элементы.
Порядок группы, порядок элемента группы.
Показатель группы.
Циклическая группа и порядки ее
элементов.
Примеры групп.
Когда приведенная система вычетов
является циклической группой?
Подгруппа.
Примеры подгрупп.
Смежные классы.
Разложение группы по подгруппе.
Фактор-группа.
Теорема Лагранжа.
Нормальные делители.
Изоморфизм и гомоморфизм групп.
Кольца и поля.
Определение кольца.
Делители нуля.
Область целостности.
Определение поля, характеристика поля.
Подполе.
Примеры колец и полей.
Идеал. Примеры идеалов.
Идеалы поля.
Поля Галуа.
Определение поля и построение поля по
модулю неприводимого многочлена.
Расширение поля, степень расширения.
Мультипликативная группа поля.
Элементы поля, как корни многочлена
2
1
2
1
4
2
4
2
4
1
4
Х q  X . Теоремы Эйлера и Ферма.
Теорема Вильсона.
Цикличность мультипликативной группы
поля.
Аддитивная группа поля.
Поле как векторное пространство.
Базис поля.
Теоремы о полях Галуа.
Минимальный многочлен; неприводимость,
делимость на минимальный многочлен.
Существование минимального многочлена
для произвольного элемента поля.
m
Делимость многочлена Х q  X на
неприводимый многочлен над GF (q ) .
m
Делимость многочлена Х q  X на многочлен
Хq X .
Элементы  и  q как корни одного и того же
многочлена.
Сопряженные элементы поля Галуа.
Циклотомические классы.
Подполе поля GF (q m ) .
Степени неприводимых делителей
многочлена Х q  X .
Порядок корней неприводимого многочлена
и порядок неприводимого многочлена.
Примитивный многочлен.
Изоморфизм полей.
Автоморфизмы поля Галуа.
Группа автоморфизмов (группа Галуа) поля
Галуа.
Порядок группы Галуа.
Связь между подгруппами группы
автоморфизмов с подполями поля Галуа.
Введение в теорию кодирования.
Двоичный симметричный и стирающий
каналы.
Кодовое расстояние.
Исправление и обнаружение ошибок.
Исправление стираний.
Граница Гилберта (вывод для нелинейного
кода). Метод исчерпания.
Код Хэмминга.
Декодирование и сложность вычислений при
декодировании.
Линейные коды.
Определение линейного кода как
m
n
8
6
2
4
1
4
1
m
9
10
5
11
12
13
14
15
16
17
подпространства.
Ортогональные подпространства.
Минимальное расстояние и минимальный
вес кода.
Порождающая и проверочная матрицы
кода, их приведённо-ступенчатые формы и
связь между ними.
Информационные и проверочные символы
кода.
Связь проверочной матрицы линейного
кода с минимальным расстоянием d.
Кодирование и декодирование линейного
кода.
Информационный вектор и его умножение
на порождающую матрицу.
Синдром. Синдромы и смежные классы в
разложении пространства по кодовому
подпространству.
Стандартное расположение, лидеры
смежных классов.
Совершенные коды.
Операции над кодами.
Удлинение, укорочение линейного кода.
Выкалывание.
Расширение линейного кода.
Пополнение и выбрасывание.
Границы параметров кодов.
Граница Варшамова-Гилберта (вывод для
линейных кодов).
Границы Синглтона, Хэмминга, Плоткина и
Элайса.
Другие границы.
Оценка сумм биномиальных коэффициентов,
асимптотическая форма границ.
Коды, построенные на основе матриц
Адамара.
Мощность и корректирующая
способность.
Построение матриц Адамара.
Матрицы Адамара и граница Плоткина.
Мажоритарное декодирование.
Разделенные проверки.
Реализация кодового расстояния.
Коды, двойственные кодам Хэмминга.
Кодовое расстояние и мажоритарное
декодирование.
Коды Рида-Маллера.
Порождающая матрица.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
6
18
19
20
Порядок кода Рида-Маллера.
Кодовое расстояние.
Кодирование и декодирование.
Сложность декодирования.
Циклические коды.
Кольцо F[ x] /( x n  1) многочленов по
модулю многочлена x n  1 .
Циклическое подпространство, циклический
код, как идеал.
Порождающий многочлен. Проверочный
многочлен.
Порождающая и проверочная матрицы
циклического кода, их
приведённо-ступенчатые формы и связь
между ними.
Кодирование циклического кода.
Задание циклического кода корнями его
порождающего многочлена.
Длина и число проверочных символов
циклического кода.
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема
(коды БЧХ).
Определение кода БЧХ. Длина кода.
Гарантированное и истинное кодовое
расстояние кода БЧХ.
Число информационных символов кода
БЧХ.
Двоичные коды БЧХ.
Декодирование двоичного кода БЧХ,
исправляющего две ошибки. Общий случай
декодирования двоичного кода.
Многочлен локаторов ошибок.
Алгоритм декодирования ПитерсонаЦирлера.
Тождества Ньютона.
Основная теорема декодирования.
Сложность декодирования.
Декодирование недвоичных кодов БЧХ.
Коды с максимально достижимым
кодовым расстоянием (МДР-коды).
Информационные совокупности кода.
Связь между информационными
совокупностями кода и кодовым расстоянием
МДР-кода.
Дуальный код МДР-кода.
Укорочение и выкалывание МДР-кода.
Миноры порождающей матрицы.
Коды Рида-Соломона.
4
2
6
3
6
2
7
21
Удлинение кодов Рида-Соломона.
Проверочные матрицы удлиненных кодов.
Информационный многочлен и компоненты
кодового вектора.
Декодирование кодов Рида-Соломона.
Исправление пачек ошибок.
Каскадные коды.
Линейные переключательные схемы.
Умножение и деление многочленов
посредством регистров сдвига с линейными
обратными связями.
Применение для кодирования и
декодирования.
Схемы умножения на константу поля Галуа
и сопровождающая матрица.
Мажоритарное декодирование посредством
регистра сдвига с линейными обратными
связями.
Основные сведения о методах диагностики
посредством переключательных схем.
ВСЕГО
2
1
66 часов
28 часов
ИТОГО
94 часов
Виды самостоятельной работы
№
п.п.
1
2
3
Количество
часов
Темы
Изучение теоретического курса – выполняется самостоятельно
каждым студентом по итогам каждой из лекций, результаты
контролируются преподавателем на лекционных занятиях,
используются конспект лекций, учебники, рекомендуемые
данной программой.
Решение задач по заданию преподавателя – решаются задачи,
выданные преподавателем, используются конспект лекций,
учебники, рекомендуемые данной программой.
Подготовка к простому зачету и экзамену
12
16
1 зач.ед.
28 часов +
1 зач.ед.
ВСЕГО
6. Образовательные технологии
№ п/п
1
Вид занятия
Лекция
Форма проведения занятий
Изложение теоретического
материала
Цель
Получение
теоретических
знаний по
дисциплине
8
2
Самостоятельная
работа студента
Самостоятельная работа
Получение
дополнительных
знаний и
подготовка к зачету
и экзамену
7. Оценочные
средства
для
текущего
контроля
успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Перечень контрольных вопросов для сдачи простого зачета в 6-ом семестре
№
Тема
п.п.
Двоичный симметричный канал. Кодовое расстояние. Исправление
1
и обнаружение ошибок.
Определение линейного кода как подпространства. Ортогональные
2
подпространства. Минимальное расстояние и минимальный вес кода.
Порождающая и проверочная матрицы линейного кода, их приведенно3
ступенчатые формы и связь между ними.
Информационные и проверочные символы кода. Выражение вторых
4
через первые.
Свойство проверочной матрицы линейного кода с минимальным
5
расстоянием d.
Кодирование. Информационный вектор и его умножение на
6
порождающую матрицу.
Синдром. Синдромы и смежные классы в разложении пространства по
7
кодовому подпространству.
Необходимое и достаточное условие исправления линейным кодом
8
всех независимых ошибок кратности t и менее.
Граница существования двоичного кода с параметрами М, п, d.
9
Метод исчерпания.
10
Верхняя граница для кода с параметрами М, п, t.
11
Код Хэмминга.
Перечень контрольных вопросов для сдачи экзамена в 7-ом семестре
1
Теория сравнений.
2
Функция Эйлера.
3
Первообразные корни и индексы.
4
Группа.
5
Подгруппа.
6
Кольца и поля.
7
Поля Галуа.
9
8
Теоремы о полях Галуа.
10
Введение в теорию кодирования. Двоичный симметричный и
стирающий каналы. Кодовое расстояние. Исправление и обнаружение
ошибок. Исправление стираний. Метод исчерпания. Код Хэмминга.
Линейные коды.
11
Кодирование и декодирование линейного кода.
12
Операции над кодами.
13
Границы параметров кодов.
14
Коды, построенные на основе матриц Адамара.
15
Мажоритарное декодирование.
16
Коды, двойственные кодам Хэмминга.
17
Коды Рида-Маллера.
18
Циклические коды.
19
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (коды БЧХ).
20
Коды с максимально достижимым кодовым расстоянием (МДР коды).
Линейные переключательные схемы.
9
21
8.
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Необходимое оборудование для лекций и практических занятий: доска.
Обеспечение самостоятельной работы: учебное пособие.
9.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Сагалович Ю.Л. Введение в алгебраические коды. М.: ИППИ РАН, 2010. –
302 с.
2. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М.: Мир.
1986.
3. Мак-Альянс Ф.Дж., Слоям Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.:
Связь. 1979.
4. Ван дер Бардам Б.Л. Алгебра. М.: Наука. 1976.
5. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир. 1976.
6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.
7. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
10