Теоретическая механика Автор: к.т.н., доцент каф. СТЭА Чубенко Елена Филипповна Владивостокский Государственный Университет

Владивостокский Государственный Университет
Экономики и Сервиса
Кафедра Сервиса и Технической Эксплуатации Автомобилей
Теоретическая механика
Автор: к.т.н., доцент каф. СТЭА
Чубенко Елена Филипповна
2009
Тема 5
Система сил и пар, произвольно
расположенных в пространстве
2
План занятия
•
•
•
•
•
1. Момент силы относительно центра как вектор
2. Момент силы относительно оси
3. Условия равновесия пар сил
4. Приведение пространственной системы сил к данному центру
5. Условия равновесия произвольной пространственной
системы сил
• 6. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
3
Введение
• Цель занятия заключается в изучении равновесия
произвольной пространственной системы сил
• Материал занятия содержит подробное математическое
описание получения условий и уравнений равновесия
произвольной пространственной системы сил в свете
современных представлений
4
Ключевые понятия
•
•
•
•
1. Момент силы как вектор
2. Момент силы относительно координатной оси
3. Условия равновесия
4. Уравнения равновесия произвольной пространственной
системы сил
5
Момент силы относительно
центра как вектор
Чтобы перейти к решению задач статики для системы сил, как
угодно расположенных в пространстве, оказывается необходимым
несколько уточнить и расширить ряд введенных ранее понятий.
Начнем с понятия о моменте силы.
6
1.
Изображение момента вектором
Момент силы F относительно центра О как характеристика ее
вращательного эффекта определяется следующими тремя
элементами:
1)
модулем момента, равным произведению модуля силы на
плечо, т. е. Fh;
2)
плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию
действия силы F и центр О;
3)
направлением поворота в этой плоскости.
7
В общем случае момент Мо(F) силы F относительно центра О
будем изображать приложенным в центре О вектором Мо, равным
по модулю (в выбранном масштабе) произведению модуля силы F
на плечо h и перпендикулярным к плоскости ОАВ, проходящей
через центр О и силу F. Направлять вектор Мо будем в ту сторону,
откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против
хода часовой стрелки.
8
Выражение момента силы с помощью векторного произведения.
M 0  rF
(29)
где вектор r называется радиусом-вектором точки A относительно
центра О
Таким образом, момент силы F относительно центра О равен
векторному произведению радиуса вектора r, соединяющего центр
О с точкой приложения силы А, на саму силу. Этим выражением
момента силы бывает удобно пользоваться при доказательстве
некоторых теорем.
9
Момент силы относительно оси
Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной
пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о
моменте силы относительно оси.
Момент силы относительно оси характеризует вращательный
эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело
вокруг данной оси.
10
Весь вращательный эффект, создаваемый силой F, будет
совпадать с вращательным эффектом ее составляющей Fxy.

 
M z F  M z F xy
где символ
 обозначает момент силы F относительно оси z.
Mz F
11
Однако
 
 
M z F xy  M 0 F xy
Согласно предыдущему равенству

 
M z F  M 0 F xy   Fxy h
(30)
Mоментом силы относительно оси называется скалярная
величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость,
перпендикулярную
оси,
взятому
относительно
точки
пересечения оси с плоскостью.
Момент будем считать положительным, если с положительного
конца оси z поворот, который сила Fxy стремится совершить,
виден происходящим против хода часовой стрелки, и
отрицательным, если по ходу часовой стрелки.
12
Чтобы найти момент силы относительно оси z, необходимо
1)
провести плоскость xy, перпендикулярную к оси z (в любом
месте);
2)
спроектировать силу F на эту плоскость и вычислить
величину Fxy;
3)
опустить из точки О пересечения оси с плоскостью
перпендикуляр на направление Fxy и найти его длину h;
4)
вычислить произведение Fxyh;
5)
определить знак момента
13
При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные
случаи
1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси
равен нулю (так как Fxy=0)
2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент
относительно оси также равен нулю (так как h=0). Объединяя
оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно
оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости
3) Если сила перпендикулярна к оси, то ее момент относительно
оси равен произведению модуля силы на расстояние между
силой и осью
14
Момент пары сил как вектор
Действие пары сил на тело характеризуется
1)
величиной модуля момента пары,
2)
плоскостью действий,
3)
направлением поворота в этой плоскости.
При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для
характеристики каждой из пар необходимо будет задать все
эти три элемента.
15
По аналогии с моментом силы, возможно изображать момент пары
соответствующим образом построенным вектором, а именно:
будем изображать момент пары вектором М, модуль которого
равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т. е.
произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен
перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда
поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки
16
Так как пару можно располагать где угодно в плоскости ее
действия или в плоскости, ей параллельной , то вектор M можно
прикладывать в любой точке тела (такой вектор называется
свободным),
Легко видеть, что вектор M действительно определяет данную
пару, так как, зная M и проведя любую плоскость,
перпендикулярную M, мы найдем плоскость действия пары;
измерив длину M, определим модуль момента пары; а по
направлению M установим направление поворота пары.
Как известно, модуль момента пары равен моменту одной из ее
сил относительно точки, где приложена другая сила, т.е.

M  MB F
по направлению
Следовательно,
же
векторы
M  MB
этих
моментов
совпадают
.

/

F  M AF 
 
17
Сложение пар в пространстве.
Условия равновесия пар
Правило сложения пар, не лежащих в одной плоскости, дается
теоремой: любая система пар, действующих на абсолютно
твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным
геометрической сумме моментов слагаемых пар
18
Пользуясь свойствами пар, изобразим пару с моментом m1,
силами F1, F’, а пару с моментом m2 силами F2, F2’
приложенными в точках A и B. При этом, очевидно, будет F1d=m1,
F2d=m2
19
Следовательно
M=m1+m2
(31)
т. е. вектор M изображается диагональю параллелограмма,
построенного на векторах m1 и m2. Если на тело действует n пар с
моментами m1, m2,…,mn, то, последовательно применяя формулу
(31), получим, что данная система пар будет действительно
заменяться одной парой с моментом
M=m1+m2+…+mn=Σ mk
20
Вектор M можно найти как замыкающую сторону многоугольника,
построенного из слагаемых векторов.
Если слагаемые векторы не лежат в одной плоскости, то подсчет
удобнее вести аналитически. Проведя оси координат, на основании
теоремы о проекциях суммы векторов на ось, найдем проекции
моментов
Mx=Σ mkx,
My=Σmky,
Mz=Σ mkz
(32)
21
По этим проекциям можно построить вектор M. Модуль его
вычисляется по формуле
M  M x2  M y2  M z2
(33)
Из полученных результатов легко находятся условия равновесия
системы пар, действующих на твердое тело. Так как любая
система пар заменяется одной парой с моментом, то при
равновесии должно быть М=0 или
Σmk=0,
т.
е. многоугольник, построенный из векторов
действующих на тело пар, должен быть замкнутым.
моментов,
22
Аналитические условия равновесия найдем, приняв во внимание,
что М=0 только тогда, когда Mx=0, My=0, Mz=0 . А это будет,
если
Σmkx=0, Σmky=0,
Σ mkz=0
(34)
23
Приведение пространственной
системы сил к данному центру
При решении задачи о приведении любой системы сил к данному
центру применяется теорема о параллельном переносе силы. При
этом
m=m0(F)
(35)
24
Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая
угодно система сил F1, F2, ..., F3. Выберем произвольную точку О
за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр,
присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет
действовать система сил
F1’=F1, F2’=F2, …, Fn’=Fn
(36)
приложенных в центре О, и система пар, моменты которых, будут
равны
m1=m0(F1), m2=m0(F2), …, mn=m0(Fn)
(37)
25
Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R,
приложенной в той же точке. При этом
R=Σ Fk
(38)
26
Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить
векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится
одной парой, момент которой
M0=Σ mk или M0=Σ m(Fk)
(39)
Как и в случае плоской системы, величина R, равная
геометрической сумме всех сил, называется главным вектором
системы; величина M0, равная геометрической сумме моментов
всех сил относительно центра О, называется главным моментом
системы относительно этого центра.
27
Теорема
Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело,
при приведении к произвольно взятому центру О заменяется
одной силой R, равной главному вектору системы и
приложенной в центре приведения О, и одной парой с
моментом
M0, равным главному моменту системы
относительно центра О
Векторы R и M0 обычно определяют аналитически, т. е. по их
проекциям на оси координат.
Выражения для Rx, Ry, Rz нам известны. Проекции вектора M0 на
оси координат будем обозначать Mx, My, Mz. По теореме о
проекциях суммы векторов на ось будет
Mx=Σ [m0(Fk)]x или Мx=Σ mx(Fk)
Аналогично находятся величины My и Мz.
28
Окончательно для определения проекций главного вектора R и
главного момента M0 получаем формулы
Rx=Σ Fkx,
Mx=Σ mx(Fk),
Ry=Σ Fky,
My=Σ my(Fk),
Rz=Σ Fkz
Mz=Σ mz(Fk)
(40)
(41)
Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, для которых
величины R и M0 совпадают, статически эквивалентны.
Следовательно, для задания любой системы сил, действующих на
твердое тело, достаточно задать ее главный вектор и главный
момент относительно данного центра, т. е. достаточно задать
шесть величин, определяемых равенствами (40) и (41).
29
Условия равновесия
произвольной пространственной
системы сил.
Случай параллельных сил
Для равновесия произвольно пространственной системы сил
необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R=0, M0=0.
Но векторы R и M0 могут обратиться в нуль только тогда, когда
равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда
Rx=Ry=Rz=0 и Mx=My=Mz=0 или, когда действующие силы
удовлетворяют условиям
Σ Fkx=0, Σ Fky=0, Σ Fkz=0;
Σ mx(Fk)=0, Σ my(Fk)=0, Σ mz(Fk)=0;
(42)
30
Таким образом
Для равновесия произвольной пространственной системы
сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех
сил на каждую из трех координатных осей и суммы их
моментов относительно этих осей были равны нулю.
Уравнения (42) выражают одновременно необходимые условия
равновесия свободного твердого тела, находящегося под
действием любой пространственной системы силы. При этом
первые три равенства выражают необходимые условия того, чтобы
тело не имело перемещений вдоль координатных осей, а
последние три являются условиями отсутствия вращении вокруг
этих осей.
31
Теорема Вариньона о моменте
равнодействующей относительно оси
Пусть на твердое тело действует система сил F1, F2, …, Fn
приводящаяся к равнодействующей R, линия действия которой
проходит через некоторую точку С. Приложим в этой точке силу
R’= —R. Тогда система сил F1, F2, …, Fn, R’ будет находиться в
равновесии и для нее будут выполняться все условия (42).
Σ mx(Fk)+mk(R’)=0
32
mx(R)=Σ mx(Fk)
(43)
Если данная система сил имеет равнодействующую, то
момент этой равнодействующей относительно любой оси
равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил
относительно той же оса (теорема Вариньона).
33
Заключение
• В материале данного занятия рассмотрены вопросы
определения моментов силы относительно центра и оси,
изучены условия равновесия пар сил и условия равновесия
произвольной пространственной системы сил
34
Вопросы для самопроверки
• 1. Какими элементами характеризуется вращательный эффект
силы относительно центра?
• 2. Как выражается момент силы с помощью векторного
произведения?
• 3. Чем характеризуется действие пары сил на тело?
• 4. В чем заключаются условия равновесия пар сил?
• 5. Каковы условия равновесия произвольной пространственной
системы сил?
• 6. Как формулируется теорема Вариньона о моменте
равнодействующей?
35
Задания для самопроверки
• 1. Выполнить в интегрированной обучающей среде АВАНТА
задание Определение реакций опор твердого тела
• 2.Решить задачи 8.1 -8.20 из [ ]
36
Рекомендованная литература
• Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., Высшая
школа, 2004
• Гернет М.М. Курс теоретической механики. СПб, Питер-пресс,
2007
• Никитин Н.Н. Теоретическая механика. М., ВШ, 2007
• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., ИВОН, 2006
• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.,
ВШ, 2006
37