Сложная ФНП. Неявные ф-ии. Пр-ная по напр

§ 5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Частные производные сложной функции.
Пусть z  f ( x, y ) – функция двух переменных, аргументы которой x
и y , сами являются функциями двух или большего числа переменных.
x   1 (u, v ) , y   2 (u, v ) .
Например, пусть
Тогда z будет сложной функцией независимых переменных u и v ,
переменные x и y будут для нее промежуточными переменными.
Как в этом случае найти частные производные функции z по u и v ?
Можно, конечно, z выразить непосредственно через u и v :
z  f (1 (u, v ),  2 (u, v ))
и искать частные производные от получившейся функции. Но выражение
f (1 (u, v ),  2 (u, v )) может оказаться очень сложным, и нахождение частных производных z u , z v потребует тогда больших усилий.
Если функции f ( x, y ) , 1 (u, v ) ,  2 (u, v ) дифференцируемы, то
найти z u и z v можно не прибегая к непосредственному выражению z
через u и v . В этом случае будут справедливы формулы
z z x z y


  ,
u x u y u
(5.1)
z z x z y

   .
v x v y v
Действительно, дадим аргументу u приращение u , v – const. Тогда функции x и y получат приращения
 u x  1 ( u  u, v )  1 ( u, v ) ,
 u y   2 ( u  u, v )   2 ( u, v ) ,
а функция z  f ( x, y ) получит приращение
f
f
z   u x   u y  1 u x   2  u y ,
x
y
где 1 ,  2 – бесконечно малые при  u x  0 ,  u y  0 . Разделим все
члены последнего равенства на u . Получим:
 x
 y
z f  u x f  u y


 1 u   2 u .
u x u y u
u
u
Так как по условию функции x  1 (u, v ) и y   2 (u, v ) дифференцируемы, то они непрерывны. Следовательно, если u  0 , то  u x  0 и
 u y  0 . А значит, переходя в последнем равенстве к пределу при
u  0 получим:
23
z f x f y
x
y




 lim 1 
 lim  2  ,
u x u y u u 0
u u 0
u
z f x f y





u x u y u
(так как 1 ,  2 – бесконечно малые при  u x  0 ,  u y  0 ).
Аналогично доказывается и второе равенство из (5.1).
u
ПРИМЕР. Пусть z  x y , где x  ln( u  v) , y  e v . Тогда z является сложной функцией независимых переменных u и v . Для нахождения
ее частных производных воспользуемся формулой (5.1). Имеем
z
z
 x y ln x
 yx y 1

y
x
u
y
x
1
1

 ev 
u
v
u u  v
u
y
x
1
u

 e v    2 
v u  v
v
 v 
Подставляя в (5.1), получаем
u
z
1
1
 yx y 1 
 x y ln x  e v  ,
u
uv
v
u
z
1
u
 yx y 1 
 x y ln x  e v    2  .
v
uv
 v 
Формулы (5.1) естественным образом обобщаются на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именu  f ( x1 , x2 ,  , xn ) ,
но, если
x1  1 (t1 , t2 ,  , tm ) ,
где
x2   2 (t1 , t2 ,  , tm ) ,
………………………
xn   n (t1 , t2 , , tm ) ,
и все рассматриваемые функции дифференцируемы, то для любого
i  1,2,, m имеет место равенство
u u x1 u x2
u xn






.
ti x1 ti x2 ti
xn ti
Возможен также случай, когда аргументы функции z  f ( x, y ) являются функциями только одной переменной, т.е.
x  1 (t ) , y   2 (t ) .
Тогда z будет являться сложной функцией только одной переменной t и
dz
можно ставить вопрос о нахождении производной
. Если функции
dt
24
f ( x, y ) , 1 (t ) ,  2 (t ) дифференцируемы, то она может быть найдена по
dz z dx z dy
формуле
(5.2)
   
dt x dt y dt
ПРИМЕР. Пусть z  x 2 e y , где x  sin t , y  cos t . Здесь z является сложной функцией одной независимой переменной t . Пользуясь формулой (5.2) получим
dz z dx z dy
 2 xe y  cos t  x 2 e y  (  sin t )  xe y (2 cos t  x sin t ) .
   
dt x dt y dt
И, наконец, возможен случай, когда роль независимой переменной
играет x , т.е.
z  f ( x, y ) ,
где
y   (x) .
Из формулы (5.2) тогда получаем
dz z z dy
(5.3)

 
dx x y dx
d ( x)
z
(так как
, стоящая в формуле (5.3) справа –
 1 ). Производная
x
dx
это частная производная функции z  f ( x, y ) по x . Она вычисляется
dz
при закрепленном значении y . Производная
в левой части формулы
dx
(5.3) называется полной производной функции z . При ее вычислении
учтено, что z зависит от x двояким образом: непосредственно и через
второй аргумент y .
ПРИМЕР. Найти
z
x
и
dz
dx
для функции
z  ln( x 2  y 2 ) , где
y  ex .
Имеем
2x
z
 2
.
x x  y 2
dz
воспользуемся формулой (5.3). Получим
dx
  2 y  x 2( x  ye x )
2x
dz z z dy

.

 

e  2
dx x y dx x 2  y 2  x 2  y 2 
x  y2
Для нахождения
И в заключение этого пункта заметим, что формулы (5.2) и (5.3)
легко обобщить на случай функций с большим числом промежуточных аргументов.
25
2. Дифференциал сложной функции.
Напомним, что если z   f ( x, y ) – дифференцируемая функция
двух независимых переменных, то по определению
(5.4)
dz  f x ( x, y )  x  f y ( x, y )  y ,
z
z
dz 
dx  dy .
или в другом виде
(5.5)
x
y
Преимущество формулы (5.5) в том, что она остается верна и в том
случае, когда z  f ( x, y ) – сложная функция.
Действительно, пусть z  f ( x, y ) , где x  1 (u, v ) , y   2 (u, v ) .
Предположим, что функции f ( x, y ) , 1 (u, v ) ,  2 (u, v ) дифференцируемы. Тогда сложная функция z  f (1 (u, v ),  2 (u, v )) тоже будет дифференцируема и ее полный дифференциал по формуле (5.5) будет равен
z
z
dz 
du  dv .
u
v
Применяя формулу (5.1) для вычисления частных производных сложной функции, получаем
z x z y 
z x z y
dz   
  du      dv 
 x u y u 
 x v y v 
y
z x
x
z y
  du  dv    du  dv  .
x  u
v  y  u
v 
Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций x  1 (u, v ) и
y   2 (u, v ) , то окончательно имеем
z
z
dz 
dx  dy .
x
y
Итак, мы убедились, что и в том случае, когда x и y – независимые
переменные, и в том случае, когда x и y – зависимые переменные, дифференциал функции z  f ( x, y ) можно записать в виде (5.5). В связи с
этим, данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной. Предложенная в (5.4) форма записи дифференциала не будет
инвариантной, она может использоваться только в том случае, когда x и
y – независимые переменные. Не будет инвариантной и форма записи
дифференциала k -го порядка. Напомним, что ранее мы показали, что
дифференциал порядка k функции двух переменных z  f ( x, y ) может
быть найден по формуле
k




k
d z   dx  dy  f ( x, y ) .
(4.12)
y 
 x
26
Но если x и y не являются независимыми переменными, то формула
(4.12) при k  2 перестает быть верной.
Очевидно, что все рассуждения, проведенные в этом пункте для
функции двух переменных, можно повторить и в случае функции большего числа аргументов. Следовательно, для функции u  f ( x1 , x2 ,  , xn )
дифференциал тоже может быть записан в двух видах:
u
u
u
du 
x1 
x2   
x
x1
x2
xn n
u
u
u
и
du 
dx1 
dx2   
dx ,
x1
x2
xn n
причем вторая форма записи будет инвариантной, т.е. справедливой и в
том случае, когда x1 , x2 ,  , xn являются не независимыми переменными,
а промежуточными аргументами.
§ 6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Говоря о способах задания функции одной и нескольких переменных,
мы отмечали, что аналитическое задание функции может быть явным или
неявным. В первом случае значение функции находится по известным значениям аргументов; во втором – значение функции и ее аргументов связаны некоторым уравнением. При этом мы не уточняли, когда уравнения
( x, y)  0 и F ( x1 , x2 ,  , xn , u )  0
определяют неявно заданные функции y   (x) и u  f ( x1 , x2 ,  , xn ) соответственно. Удобные для применения достаточные условия существования неявной функции n переменных ( n  1,2,3,) содержатся в следующей теореме.
ТЕОРЕМА 6.1. (существования неявной функции) Пусть функция
F F
F F
F ( x1 , x2 ,  , xn , u ) и ее частные производные
опре,
, ,
,
x1 x 2
x n u
делены
и
непрерывны
в
некоторой
окрестности
точки
F
P0 ( x01 , x02 ,  , x0n , u0 ) . Если F ( P0 )  0 и
P   0 , то существует
u 0
такая окрестность U точки M 0 ( x01 , x02 ,  , x0n ) , в которой уравнение
F ( x1 , x2 ,  , xn , u )  0
определяет непрерывную функцию u  f ( x1 , x2 ,  , xn ) причем
1) f ( M 0 )  u0 ;
27
2) для любой точки M ( x1 , x2 ,  , xn )  U
Fu ( x1 , x2 ,  , xn , f ( x1 , x2 ,  , xn ))  0 ;
3) функция u  f ( x1 , x2 ,  , xn ) имеет в указанной окрестности U
непрерывные частные производные по всем аргументам.
ПРИМЕРЫ.
1) Рассмотрим уравнение x  y  z  1  0 . Условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки P0 (1; 0; 0) . Следовательно,
в некоторой окрестности точки M 0 (1; 0) это уравнение определяет z как
неявную функцию двух переменных x и y . Явное выражение этой
функции легко получить, разрешив уравнение относительно z :
z  1 x  y
2) Рассмотрим уравнение x 2  y 2  z 2  4 . Оно определяет две
функции двух переменных x и y . Действительно, условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки P0 (0; 2 ; 2 ) . Следовательно, найдется такая окрестность точки M 0 (0; 2 ) , в которой заданное
уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке
M 0 (0; 2 ) значение 2 .
С другой стороны, условия теоремы выполняются в любой окрестно~
сти точки P0 (0; 2 ;  2 ) . Следовательно, в некоторой окрестности точки
M 0 (0; 2 ) уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую
в точке M 0 (0; 2 ) значение  2 .
Так как функция не может принимать в одной точке два значения,
значит здесь идет речь о двух различных функциях z  f1 ( x, y ) и
z  f1 ( x, y ) соответственно. Найдем их явные выражения. Для этого разрешим исходное уравнение относительно z . Получим
z  4  x 2  y 2  f1 ( x, y ) и z   4  x 2  y 2  f 2 ( x, y ) .
3) Рассмотрим уравнение x 4  y 5  e xy  0 . Очевидно, что условия
теоремы выполняются в любой окрестности точки P0 (0;  1) . Следовательно, найдется такая окрестность точки x0  0 , в которой уравнение
определяет y как неявную функцию переменной x . Получить явное выражение для этой функции невозможно, так как уравнение нельзя разрешить относительно y .
4) Уравнение sin( x  y )  5 не определяет никакой неявной функции,
так как нет таких пар действительных чисел x и y , которые ему удовлетворяют.
28
Функция u  f ( x1 ,  , xn ) , заданная уравнением F ( x1 ,  , xn , u )  0 ,
согласно теореме 6.1, имеет в окрестности точки M 0 ( x01 , x02 ,  , x0n ) непрерывные частные производные по всем аргументам. Выясним, как можно их найти, не имея явного задания функции.
Пусть функция F ( x, y ) удовлетворяет условиям теоремы 6.1. Тогда
уравнение F ( x, y)  0 определяет в некоторой окрестности U точки x0
непрерывную функцию
Рассмотрим сложную функцию
y  f (x) .
z  F ( x, y) , где y  f (x) . Функция z является сложной функцией одной переменной x , причем если x  U , то
z  F ( x, f ( x))  0
dz
(6.1)

0
dx
С другой стороны, по формуле (5.3) для вычисления полной произdz F F dy
водной
(6.2)



dx x y dx
Из (6.1) и (6.2) получаем, что если x  U , то
F F dy

 0
x y dx
F
dy
(6.3)

 x
dx
Fy
Замечание. Делить на F y можно, так как согласно теореме 6.1 Fy  0 в
любой точке окрестности U .
ПРИМЕР. Найти производную неявной функции y  f (x) , заданной
уравнением x 2  y 2  2 x  6 y  2  0 и вычислить ее значение при x0  1 .
F ( x, y )  x 2  y 2  2 x  6 y  2 ,
Fx ( x, y )  2 x  2 , Fy ( x, y )  2 y  6 .
Подставив частные производные в формулу (6.3), получим
F
dy
2x  2 x  1

.
 x 
2y  6 3 y
dx
Fy
Имеем
Далее, подставляя в исходное уравнение x0  1 , найдем два значения
y  1 и y  5.
y:
Следовательно, в окрестности точки x0  1 уравнение определяет две
функции: y  f1 ( x ) и y  f 2 ( x ) , где f1 (1)  1, f 2 (1)  5 . Их производные при x0  1 будут равны
df1 1  1
df 2 1  1

1 и

 1 .
dx 3  1
dx 3  5
29
Пусть теперь уравнение
окрестности точки
M 0 ( x0 , y 0 )
F ( x, y, z)  0
функцию
определяет в некоторой
z
.
z  f ( x, y) . Найдем
x
z
это обыкновенная производная функции
x
z  f ( x, y) , рассматриваемой как функция переменной x при постоянном
z
значении y . Поэтому мы можем применить для нахождения
формуx
лу (6.3), считая z функцией, x – аргументом, y – константой. Получим
F
z
 x .
(6.4)
x
Fz
Аналогично, считая z функцией, y – аргументом, x – константой
по формуле (6.3) находим
Fy
z
.
(6.5)

y
Fz
Напомним, что фактически
ПРИМЕР. Найти частные производные функции z  f ( x, y ) , заданной уравнением x 2  y 2  z 2  z  0 .
Имеем
F ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2  z ,
Fx ( x, y , z )  2 x , Fy ( x, y, z )  2 y , Fz( x, y , z )  2 z  1 .
Пользуясь формулами (6.4) и (6.5), получим
Fy
F
2y
z
2x
z
 x 

,
.

x
Fz
2z  1
y
Fz
2z  1
И, наконец, рассмотрим общий случай, когда уравнение
F ( x1 , x2 ,  , xn , u )  0
определяет в некоторой окрестности точки M 0 ( x01 , x02 ,  , x0n ) функцию
n переменных u  f ( x1 , x2 ,  , xn ) . Повторяя рассуждения, проведенные
для неявно заданной функции двух переменных, получим
Fx
Fx
Fx
u
u
u
 1,
  2 , …,
 n .
x1
Fu
x2
Fu
xn
Fu
30
§ 7.
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
1. Производная по направлению.
Пусть функция двух переменных z  f ( x, y ) определена в некоторой
области D плоскости XOY , M 0 ( x0 , y 0 ) – точка области D , s –вектор
M0
любого направления.
Перейдем из точки
в точку
M ( x0  x, y 0  y ) в направлении вектора s . Функция z  f ( x, y ) получит при этом приращение
z ( M 0 )  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) .
Разделим приращение функции z ( M 0 ) на длину отрезка смещения
z ( M 0 )
MM 0 . Полученное отношение
дает среднюю скорость изменеMM 0
ния функции z на участке MM 0 . Тогда предел этого отношения при
MM 0  0 (если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 , y 0 ) в направлении вектора s .
Его называют производной функции z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x 0 , y 0 ) по
f ( x0 , y 0 )
z ( M 0 )
направлению вектора s и обозначают
или
.
s
s
z ( M 0 )
Помимо величины скорости изменения функции,
позволяет
s
определить и характер изменения функции в точке M 0 ( x0 , y 0 ) в направлении вектора s (возрастание или убывание):
z (M 0 )
1) если
 0 , то функция в точке M 0 ( x0 , y 0 ) в направлении
s
вектора s возрастает;
z (M 0 )
2) если
 0 , то функция в точке M 0 ( x0 , y 0 ) в направлении
s
вектора s убывает;
z (M 0 )
 0 , то в направлении вектора s функция не изме3) если
s
няется, т.е. направление вектора s – направление линии уровня
функции, проходящей через точку M 0 (вектор s является касательным к линии уровня в точке M 0 ).
Доказываются эти утверждения также, как и подобные для функции одной
переменной.
31
Заметим, что частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно, f x ( M 0 ) это производная
функции по направлению вектора i (направлению оси Ox ), f x ( M 0 ) –
производная функции по направлению вектора j (направлению оси Oy ).
Предположим, что функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке
M 0 ( x0 , y 0 ) . Тогда
z( M )  f ( x , y )x  f  ( x , y )y  ~  ( x) 2  ( y ) 2 ,
0
x
0
0
где ~ – бесконечно малая при
Обозначая MM
0
y
0
0
( x ) 2  ( y ) 2  0 .
через  , имеем
x   cos ,
y   cos  ,
( x ) 2  ( y ) 2   ,
где cos , cos  – направляющие косинусы вектора s . Следовательно,
y


s
M ( x 0  x , y 0  y )
M 0 ( x0 , y0 )
x
z( M 0 )  f x ( x0 , y0 )  cos  f y ( x0 , y0 )  cos   ~   .
Разделив на MM 0   и перейдя к пределу при   0 , получим
z (M 0 )
lim
 lim  f x ( x 0 , y0 ) cos  f y ( x 0 , y0 ) cos   ~ 
MM 0 0 MM
 0
0
z (M 0 )
(7.1)

 f x ( x 0 , y 0 ) cos  f y ( x 0 , y 0 ) cos  ,
s
где cos , cos  – направляющие косинусы вектора s .
Таким образом, для дифференцируемой функции знание частных
производных позволяет найти производную по любому направлению.
ПРИМЕР. Найти производную функции z  x 2  y 2 x в точке A(1; 2)
по направлению вектора AB , где B(3; 0) .
Находим частные производные функции z и вычисляем их значения
f x ( x, y )  2 x  y 2 , f x ( A)  2  1  2 2  6 ;
в точке A :
f y ( x, y )  2 y ,
f y ( A)  2  2  4 .
Теперь найдем направляющие косинусы вектора AB . Для этого
необходимо координаты вектора разделить на его длину. Имеем:
2
1
2
1
 cos 

, cos  

.
AB {2;  2} , AB  2 2
2 2
2
2 2
2
Подставляя все в формулу (7.1) получаем
z ( A)
1
1
2
 6
 4  

 2.

s
 2
2
2
32
Аналогичным образом определяется и обозначается производная по
направлению для функции трех переменных u  f ( x, y, z) . Повторяя для
этой функции все проведенные выше рассуждения, получим
u(M 0 )
 f x ( x 0 , y 0 , z0 ) cos  f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos   f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos ,
s
где cos , cos  , cos – направляющие косинусы вектора s .
2. Градиент.
f y ( x0 , y0 ) называется градиентом функции z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) и обозначается
grad z ( M 0 ) .
Пусть s 0 – орт вектора s (т.е. единичный вектор, имеющий то же
направление, что и вектор s ). Тогда s0 {cos  , cos  } и правую часть
формулы (7.1) можно записать в виде скалярного произведения двух векторов:
f x ( x0 , y0 ) cos  f y ( x0 , y0 ) cos   ( grad z, s0 )
Следовательно, формулу (7.1) можно записать в виде
z ( M 0 )
 ( grad z ( M 0 ), s0 )
s
По определению скалярного произведения
( grad z( M 0 ), s0 )  grad z( M 0 )  s0  cos
где  – угол между векторами grad z ( M 0 ) и s0 . Так как s0  1 , то
окончательно получаем
z ( M 0 )
 grad z ( M 0 )  cos
(7.2)
s
Из этого равенства следует, что производная по направлению в точке
M 0 ( x0 , y 0 ) будет наибольшей, если это направление совпадает с направлением градиента функции z в точке M 0 . В этом случае   0 и
z ( M 0 )
 grad z( M 0 ) .
s
Таким образом, градиент дифференцируемой функции z  f ( x, y ) в
точке M 0 ( x0 , y 0 ) определяет направление, в котором функция в этой
точке возрастает с наибольшей скоростью. При этом его модуль равен
наибольшей скорости изменения функции в точке M 0 .
Из равенства (7.2) следует также, что если векторы grad z ( M 0 ) и
z ( M 0 )
 0 . Но это значит, что
s0 перпендикулярны, то производная
s
Вектор с координатами
f x ( x0 , y0 ) ,
33
функция z в точке M 0 в направлении s0 не меняется, т.е. указанное
направление будет касательным к линии уровня в точке M 0 .
Таким образом, мы получили еще одно свойство градиента: направление вектора grad z ( M 0 ) совпадает с направлением нормали к линии
уровня функции z  f ( x, y ) , проходящей через точку M 0 .
Для функции трех переменных градиент определяется и обозначается
аналогичным образом, и сохраняет все свои свойства.
34