Задание 6. Решение логических задач I. Решение логических

Задание 6. Решение логических задач
I. Решение логических задач
Задания для самостоятельного решения (решить нужно 2 способами)
Задача 2. На ледяном поле 5 хоккеистов: Ольховский, Малышев, Белов, Таманин,
Лавров - штурмовали ворота. Раздался свисток судьи. «Удаляет двух», - подумали
спортсмены. «Без Малышева или Ольховского я не останусь на поле», - сказал Таманин.
«Я тоже, «- сказал Лавров. «Удаляют либо меня с Беловым, либо Таманина с Лавровым», сказал Малышев. Когда судья объявил о своем решении все оказались правы и кроме того
Ольховский и Белов не остались вместе на поле. Кто остался на поле?
Решение:
О – Ольховский,
М – Малышев,
Б – Белов,
Т – Таманин,
Л – Лавров
Введем буквенные обозначения всех высказываний, задающих условие задачи:
«Без Малышева или Ольховского я не останусь на поле», – сказал Таманин. То есть
Таманин останется на поле только при условии, если на поле останутся или Малышев,
или Ольховский (а в противном случае обидится и покинет игру совсем).
Т∙О+Т∙М=1
«Я тоже,» – сказал Лавров. Лавров, так же стесняется оставаться на поле без Малышева
или Ольховского
Л∙О+Л∙М=1
«Удаляют либо меня с Беловым, либо Таманина с Лавровым», – сказал Малышев.
Делаем вывод из этого высказывания: на поле НЕ останутся либо Малышев с Беловым,
либо Таманин с Лавровым
МБ + ТЛ =1. Для удобства внесем инверсию в конъюнкцию. МБ + ТЛ = М + Б + Т + Л =1
Когда судья объявил о своем решении, все оказались правы. То есть все высказывания
истинны. Значит и конъюнкция этих высказываний будет истина.
(ТО  ТМ )( ЛО  ЛМ )( М  Б  Т  Л )  1 . Раскроем скобки
(ТОЛО  ТОЛМ  ТМЛО  ТМЛМ )( М  Б  Т  Л )  1
(ТОЛ  ТОЛМ  ТМЛ )( М  Б  Т  Л )  1
(ТОЛ М  ТОЛ Б  ТОЛ Т  ТОЛ Л  ТОЛМ М  ТОЛМ Б  ТОЛМ Т  ТОЛМ Л  ТМЛ М 
 ТМЛ Б  ТМЛ Т  ТМЛ Л )  1 Конъюнкция высказывания и его отрицания равна 0,
значит
(ТОЛ М  ТОЛ Б  0  0  0  ТОЛМ Б  0  0  0  ТМЛ Б  0  0)  1
(ТОЛ М  ТОЛ Б  ТОЛМ Б  ТМЛ Б )  1 Вынесем за скобку ТЛ
«Удаляют либо меня с Беловым, либо Таманина с Лавровым», – сказал Малышев.
ТЛ (О М  О Б  ОМ Б  М Б )  1 Конъюнкция истина когда истины оба выражения,
следовательно Таманин с Лавровым остались на поле, значит удалили Малышева с
Беловым.
Ответ: удалили Малышева с Беловым.
Задача 3. Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые возможности трех
лучших лошадей с кличками «Абрек», «Ветер», «Стрелок».
- Победит или «Абрек», или «Стрелок», - сказал один болельщик.
- Если «Абрек» будет вторым, то победу принесет «Ветер», - сказал другой
болельщик.
- Много вы понимаете в лошадях, - возмутился третий болельщик.
- Вторым придет или 'Ветер», или «Абрек».
- А я вам скажу, - вмешался четвертый болельщик, - что если «Абрек» придет
третьим, то «Стрелок» не победит.
После забега выяснилось, что три лошади - «Абрек», «Ветер» и «Стрелок» - заняли
три первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре предсказания
болельщиков были правильны. Как кончился забег?
Решение:
Обозначим буквой кличку скакуна, а числом место занятое им и введем буквенные
обозначения всех высказываний:
Победит или «Абрек», или «Стрелок»
( А1  С1 )  1
Если «Абрек» будет вторым, то победу принесет «Ветер»
( А2  В1 )  1
Вторым придет или «Ветер», или «Абрек»
( В2  А2 )  1
Если «Абрек» придет третьим, то «Стрелок» не победит.
( А3  С1 )  1
Выразим следование через инверсию дизъюнкцию.
( А2  В1 )  А2  В1  1
( А3  С1 )  А3  С1  1
После забега выяснилось, что три лошади - «Абрек», «Ветер» и «Стрелок» - заняли
три первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре
предсказания болельщиков были правильны. То есть все высказывания истинны. Значит
и конъюнкция этих высказываний будет истина.
( А1  С1 )( А2  В1 )( В2  А2 )( А3  С1 )  1 . Раскроем скобки
( А1 А2  А1 В1  С1 А2  С1 В1 )( В2  А2 )( А3  С1 )  1. На одном и том же месте не могут
оказаться два скакуна ,значит эта конъюнкция равна 0.
( А1 А2  0  С1 А2  0)( В2  А2 )( А3  С1 )  1 .
( А1 А2  С1 А2 )( В2  А2 )( А3  С1 )  1. Раскрываем скобки дальше
( А1 А2 В2  А1 А2 А2  С1 А2 В2  С1 А2 А2 )( А3  С1 )  1. Один и тот же скакун не может
оказаться и на первом и на втором месте, так же конъюнкция высказывания и его
отрицания равна нулю.
( А1 А2 В2  0  С1 А2 В2  0)( А3  С1 )  1
( А1 А2 В2  С1 А2 В2 )( А3  С1 )  1 . Продолжаем раскрывать скобки.
( А1 А2 В2 А3  А1 А2 В2 С1  С1 А2 В2 А3  С1 А2 В2 С1 )  1
( А1 А2 В2 А3  А1 А2 В2 С1  С1 А2 В2 А3  0)  1
( А1 А2 В2 А3  А1 А2 В2 С1  С1 А2 В2 А3 )  1
Итак: ( А1 А2 В2 А3 ) означает, что Абрек на I месте (не на втором и не на третьем), а
Ветер на II.
( А1 А2 В2 С1 ) означает, что Абрек на I месте (не на втором), Ветер на II, а Стрелок не
на первом.
(С1 А2 В2 А3 ) означает, что Стрелок на I месте, Абрек не на втором и не на третьем
(значит на первом), ветер на II. Одновременно и Стрелок и Абрек не могут быть на
первом месте, значит эта конъюнкция равна нулю.
Ответ: Абрек на I, Ветер на II, а Стрелок на III месте.
Задача 4. Нужно для 4 дежурных - Антипова, Климова, Маркова и Лебедева составить график дежурств на агитпункте с соблюдением следующих условий:
1. Если Лебедев не будет дежурить в понедельник, то в Понедельник согласен
дежурить Климов.
2. Ecли Климов не сможет дежурить ни в понедельник, ни в четверг, то Антипов
будет дежурить в понедельник.
3. Если Марков не сможет дежурить в четверг, то Климов будет дежурить в среду.
4. Если Лебедев придет дежурить во вторник, то Климов не будет дежурить в
понедельник.
5. Если Антипов не сможет дежурить в понедельник, то Марков не сможет дежурить
во вторник.
Каким должен быть график дежурств?
Решение. Введем обозначения: L- Лебедев, K - Климов, A - Антипов, M - Марков. Цифры
означают 1 - Понедельник,2 - Вторник,3 - Среда, 4 -Четверг.
Согласно условиям задачи составим систему логических уравнений:
То обстоятельство, что один и тот же человек не может дежурить дважды и в один день не
могут дежурить два человека зададим формулами:
L2 * L1= 0 (6)
К1* L1= 0 (7)
К1* А1= 0 (8)
К4* M4= 0 (9)
L1*А1= 0 (10)
Для решения системы уравнений умножим сначала уравнение (1)
на уравнение (2):
Ответ. Из полученного выражения следует, что Климов дежурит в понедельник, Антипов
- во Вторник, Лебедев - в среду, Марков - в Четверг.
Задача 5. Обсуждая вопрос о включении в состав сборной команды пяти молодых
игроков: Асеева, Валеева, Сватеева, Деева и Евтеева. Выбор обусловлен следующими
условиями:
1. В команду необходимо включить не менее чем одного из трех игроков: Асеева,
Валеева, Евтеева, но не более чем одного из трех игроков: Асеева, Сватеева, Деева.
2. Сватеева можно включить в сборную без Валеева тогда и только тогда, когда
Асеев будет включен, а Деев не будет включен.
3. Если Валеев будет включен в сборную, а Сватеев не будет включен, то сборную
нужно пополнять и Деевым, и Евтеевым.
4. Если Асеев не будет включен в команду, то нужно в нее включить и Сватеева, и
Евтеева.
Кого из игроков можно включить в сборную команду?
Решение. Введем буквенные обозначения: A-Асеев, E-Евтеев, B-Валеев, D-Деев, CСватеев. Условия выбора игроков для сборной команды заданы в задаче высказываниями
1,2,3,4. По этим высказываниям выпишем формулы:
Для решения системы логических уравнений сначала умножим уравнение (2) на
уравнение (3):
Умножим полученное выражение (6) на уравнение (4), получим:
Умножим полученное выражение (7) на уравнение (1), получим:
В уравнении (8) перемножим сначала выражение, заключенное в первые скобки, на
выражение, заключенное в третьи скобки, получим:
Перемножим полученное выражение (9) на выражение, заключенное в вторые скобки,
уравнения (8), получим:
Ответ. В команду включены: Валеев, Сватеев, Евтеев.