Золотое сечение - конспект открытого урока

Тема урока:
Золотое сечение - гармония форм природы и искусства.
Золотая пропорция. (6 кл, 2 часа)
Цель: Закрепление понятия пропорции, основного свойства пропорции.
Расширить кругозор учащихся, способствовать развитию творческой
деятельности и познавательного интереса. Представить общеинтеллектуальную
значимость математики. Способствовать познанию законов красоты и гармонии
окружающего мира.
Эпиграф урока: “ Мудрость – есть знания, умноженные на опыт”
Учитель: Попробуем определить, кому принадлежат эти слова.
5
1,62
1,6
1,6
1,62
5
8
13
8
5
8
И)
0,25
6,5
=
х
0,5
В)
х:
И)
0,64
5
=
х  1 0,08
Н)
найти число, если 62% его равны3,1.
А)
0,9
х
=
0,5 0,9
Ч)
найти 32% от 25.
Д)
х
9,6
=
5
30
Учитель: А как звали Да Винчи?
Ответ ученика : Леонардо.
11
11л
1
1
1
=3 :2
2
8
2
13
и
ли
ал
правила Золотого Сечения в своих произведениях.
Леонардо да Винчи
Использовал правила Золотого Сечения в своих произведениях
Учитель: Итак, запишите сегодняшнее число и тему урока: Золотое сечение – гармония
форм природы и искусства. Золотая пропорция.
-Сегодня на уроке мы попытаемся разгадать один из секретов Леонардо Да Винчи, ведь
именно ему принадлежат слова: “ Кто не знает математики, пусть не пытается
разгадать мои картины”
Вначале послушаем тех, кто дома занимался исследованием.
Ученик I: Например, на известной картине Леонардо Да Винчи ”Мадонна в гроте”
рассматриваются линии , которые делят картину в определенном отношении. Так голова
Мадонны делит картину в отношении 8 : 13
Ученик II: На картине И.И. Шишкина“Сосновая роща” самый широкий ствол сосны
проходит по линии , которая делит картину в отношении 5 : 8
Учитель: И, наконец, рассмотрим все вместе одну из жемчужин древнерусской
архитектуры — храма Василия Блаженного в Москве.
Измерьте с помощью линейки, показанные на рисунке отрезки и найдите отношения
φ6:φ5;
φ7:φ6
Учащиеся выполнили соответствующие измерения и вычисления и пришли к
выводу, что все отношения примерно равны
Учитель:
Леонардо Да Винчи, который жил в 1452-1519 гг. уделил много внимания
изучению такого деления. Именно он дал название этому делению – “золотое сечение”.
В истории утвердились три варианта названия : золотое сечение, золотая пропорция, деление
отрезка в среднем и крайнем отношениях. Помимо этого золотое сечение награждали
эпитетами “божественное”, ”чудеснейшее”, ”превосходнейшее”, в силу того, что везде, где
оно присутствует, вызывает у нас чувство красоты и гармонии.
-В XIX веке заново было “открыто” золотое сечение .В 1855 году немецкий исследователь
“золотого сечения” Цейзинг, проделав колоссальную работу, измерил около 2000
человеческих тел и пришел к выводу, что “золотое сечение” выражает
среднестатистический закон.
Например, пропорции человеческого тела колеблются в пределах среднего отношения
8 : 13= 0, 6153846…
-Как вы думаете, тело мужчины или женщины ближе всего к идеалу?
Варианты ответа учащихся были различны, однако они пришли к выводу: Мужчины.
Учитель:
Чтобы приблизиться к идеалу, женщины надевают туфли на каблуках.
(Оказывается, у женщин ноги короче в пропорциональном отношении, чем у мужчин)
Голова, руки, кисть и т.д. также делятся по закону золотого сечения.
Учитель: Итак сегодня мы столкнулись с особыми пропорциями, такими , как
5 ; 8;
8 : 13;
38 : 62
Именно такие отношения и называют Золотым Сечением
“Золотое сечение” определяется формулой:
a : b = b : c или с : b = b : а.
То есть: меньшая часть относится к большей части, как большая часть относится ко всему
отрезку или наоборот: весь отрезок так относится к большей его части, как большая часть к
меньшей.
Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой φ ≈ 1,618033998874989484…
если делить большую величину на меньшую,
а если делить меньшую величину на большую, то φ ≈ 0, 6153846
Золотая пропорция встречается и в растительном мире.
Рассматривая расположение трех подряд идущих пар листьев на общем стебле растения
можно заметить, что между III и II парой I находится в месте золотого сечения.
Цейзинг, занимаясь исследованием этого факта, показал, как оно выражается в отрезках
прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг
увидел ряд Фибоначчи, который можно продолжить в одну и в другую сторону.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Длина хвоста относится к длине остального тела как 11 : 7 или 18 : 11
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его
раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы
античного мира. В Помпейском циркуле ( музей в Неаполе) также заложены пропорции
золотого сечения.
Античный циркуль золотого сечения
Деление отрезка в “золотом” отношении
Учитель :
сечения”.
А теперь давайте вместе научимся делить отрезок в пропорции “золотого
Учащиеся выполняют построение под диктовку учителя ( по шагам):
1.Построить отрезок АВ;
2.Разделить отрезок АВ пополам с помощью линейки, обозначить полученную точку буквой
Р;
3.Провести перпендикуляр в точку В;
4.На перпендикуляре отложить отрезок ВС, равный ВР;
5.Соединить точки С и А;
6,На отрезке АС отложить отрезок СD, равный СВ;
7.На отрезке АВ отложить отрезок АЕ, равный АD;
8. Получили деление отрезка АВ в отношении АЕ :ЕВ=5:8≈1,6249963…
или ВЕ : ЕА ≈ 0,6153846…
( учащиеся проверили с помощью измерения полученных отрезков)
Решение практических задач учениками у доски;
Задача 1 Найти “золотое” сечение отрезка, длина которого 15 см.
Решение:
х
5
= ;
15
8
8х = 75;
х = 9,375
Ответ: 9,375см
Задача 2
Длина стены кабинета математики 8,13 м. Найти золотое сечение в кабинете.
Решение:
х
5
= ;
8,13 8
8х = 40,65;
х = 5,1.
Ответ:5,1 м
x=28,125.
Ответ:28,125 мин
Задача 3
Найти золотое сечение урока
Решение:
х:45=5:8;
8x=225;
Учитель:
Открытие, описанное в закономерности ряда Фибоначчи, приводит к
последовательности, так называемых, вращающихся квадратов. Если соединить противоположные
вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью
или логарифмической спиралью.
О золотом сечении знали Пифагор и его ученики (VI век до н.э.). В философской школе Пифагора
помимо философии и математики изучали и гармонию. Мир, считали они, состоит из
противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается
в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа
они называли женскими, нечетные (кроме 1)- мужскими. Число 5- как сумма первого женского числа
(2) и первого мужского (3)- считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме,
имеющей 5 углов.
Ее они выбрали символом своего союза. Она считалась амулетом здоровья.
Учитель: Чем же интересна пентаграмма с математической точки зрения? Построим сначала
правильный пятиугольник. Из центра окружности последовательно отложим центральные углы
равные
. Стороны углов пересекут окружность в точках A, B, C, D, E. Соединив их
последовательно, получим правильный пятиугольник (рис. 7).
А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый
пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму (рис. 8).
Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в
котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова
видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так
далее до бесконечности.
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник
Вывод учащихся:
Построение правильного пятиугольника и пентаграммы так же привело деление отрезков в
отношении золотой пропорции
Практическая работа.
I вариант
IIвариант
1.Разделить отрезок 10 см в пропорции
“золотого сечения”
2.Архитектор задумал построить здание
высотой в 2 м . Какова должна быть
ширина этого здания, чтобы отношение
высоты к ширине было 38:62?
1.Разделить отрезок 10 см в пропорции
“золотого сечения”
2.Архитектор задумал построить здание
высотой в 3,1 м .Какова должна быть
ширина этого здания, чтобы отношение
высоты к ширине было 38:62?
-Перед тем как сдать тетрадь с практической работой, оцените степень понимания
сегодняшней темы:
-все усвоил хорошо; 
-усвоил, но не все;

-не совсем усвоил.

-Завершая урок, полезно вспомнить слова Галилео Галилея:
“Книга природы написана языком математики”
Именно этим языком, языком математики мы говорили с вами об искусстве, о биологии, об
архитектуре. А в целом мы говорили языком математике о жизни на земле.
О, математика земная, гордись прекрасная, собой.
Ты всем наукам мать родная и дорожат они тобой.
Твои расчёты величаво ведут к планетам корабли,
Не ради праздничной забавы, а ради гордости Земли!
В веках овеяна ты славой, светило всех земных светил.
Тебя царицей величавой недаром Гаусс окрестил.
Строга, логична, величава, стройна в полёте, как стрела
Твоя немеркнувшая слава в веках бессмертье обрела.
Я славлю разум человека, дела его волшебных рук,
Надежду нынешнего века, царицу всех земных наук!
Домашнее задание:
1.Найти в окружающем мире “ золотое сечение” .
2.Периметр участка 20м. Какова его ширина , если известно, что длина и ширина находятся в
пропорции “золотого сечения”
Литература:
1.Журнал “ Наука и жизнь” № 9 1984 г, Прохоров А.Н. “ Золотая спираль”.
2.”Математика” – Приложение к газете “ 1 сентября”, № 42 2000 г.,
Егупова М., Павленкова И.” Экология и планиметрия”
3.Газета "математика", приложение к учебно-методическому пособию "Первое
сентября", 2005.
4. Энциклопедический словарь юного математика, 1988.