Простейшие преобразования графиков.

Простейшие преобразования графиков.
1. Параллельный перенос.
1). Перенос вдоль оси ординат.
Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) одна из функций и ее график построен. Для построения графика
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑚 следует график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) сдвинуть вдоль оси ОY на
𝑚 единиц в сторону, совпадающую со знаком 𝑚.
Пример. Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2 + 10
а) Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2 ;
б) Сдвинуть график на 10 единиц вверх по оси OY (𝑚 = 10).
Пример. Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2 − 10
а) Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2 ;
б) Сдвинуть график на 10 единиц вниз по оси OY (𝑚 = −10).
2) Перенос вдоль оси абсцисс.
Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) одна из функций и ее график построен. Для построения графика
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑚) следует график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) сдвинуть вдоль оси ОX на
𝑚 единиц вправо, если 𝑚 < 0 или влево, если 𝑚 > 0.
Пример. Построить график функции 𝑦 = (𝑥 + 2)2
а) Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2 ;
б) Сдвинуть график на 2 единицы влево вдоль оси OX (𝑚 = 2).
Пример. Построить график функции 𝑦 = (𝑥 − 2)2
а) Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2 ;
б) Сдвинуть график на 2 единицы вправо вдоль оси OX (𝑚 = −2).
2. Отражение.
1)
Построение графика функции 𝑦 = 𝑓(−𝑥).
Для построения графика функции 𝑦 = 𝑓(−𝑥) следует построить график функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) и отобразить его относительно оси ординат.
Пример. Построить график функции 𝑦 = √−𝑥
а) Построить график функции 𝑦 = √𝑥;
б) Отобразить график функции относительно оси OY.
2) Построение графика 𝑦 = −𝑓(𝑥).
Для построения графика функции 𝑦 = −𝑓(𝑥) следует построить график функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) и отобразить его относительно оси абсцисс.
Пример. Построить график функции 𝑦 = −𝑥 2
а) Построить график функции𝑦 = 𝑥 2
б) Отобразить график функции относительно оси абсцисс.
3. Деформация.
1) Сжатие графика вдоль оси ординат к оси ОХ 𝑦 = а𝑓(𝑥); 0 < а < 1.
Для построения графика функции 𝑦 = а𝑓(𝑥) следует построить график функции
1
𝑦 = 𝑓(𝑥) и уменьшить его ординаты в а раз при 0 < а < 1.
2) Растяжение графика вдоль оси ординат от оси ОХ 𝑦 = а𝑓(𝑥); а > 1.
Для построения графика функции 𝑦 = а𝑓(𝑥) следует построить график функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) и увеличить его ординаты в а раз при а > 1.
1
Пример. Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2
3
2
а) Построить график функции𝑦 = 𝑥
б) Уменьшить его ординаты в 3 раза.
Пример. Построить график функции 𝑦 = 3𝑥 2
а) Построить график функции𝑦 = 𝑥 2
б) Увеличить его ординаты в 3 раза.
3) Растяжение графика вдоль оси абсцисс 𝑦 = 𝑓(𝑤𝑥); 0 < 𝑤 < 1.
Для построения графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑤𝑥)следует построить график функции
1
𝑦 = 𝑓(𝑥) и увеличить его абсциссы в 𝑤 раз при 0 < 𝑤 < 1.
4) Сжатие графика вдоль оси абсцисс 𝑦 = 𝑓(𝑤𝑥); 𝑤 > 1.
Для построения графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑤𝑥)следует построить график функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) и уменьшить его абсциссы в 𝑤 раз при 𝑤 > 1.
1
Пример. Построить график функции 𝑦 = (3 𝑥)
2
а) Построить график функции𝑦 = 𝑥 2
б) Увеличить его абсциссы в 3 раза.
Пример. Построить график функции 𝑦 = (3𝑥)2
а) Построить график функции𝑦 = 𝑥 2
б) Уменьшить его абсциссы в 3 раза.
4. Функции, содержащие знак модуля.
1) Построение графика функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)|.
Для построения графика функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)| следует построить график функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) и ту часть графика, которая расположена ниже оси OX, стереть,
предварительно отобразив ее относительно оси абсцисс.
Пример. Построить график функции 𝑦 = |𝑥 + 4|
а) Построить график функции 𝑦 = 𝑥 + 4
б) Ту часть графика, которая лежит ниже оси OX, отобразить симметрично в
верхнюю полуплоскость относительно оси OX.
2) Построение графика функции 𝑦 = 𝑓(|𝑥|).
Для построения графика функции 𝑦 = 𝑓(|𝑥|). следует построить график
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) при 𝑥 ≥ 0 и отобразить его относительно оси OY.
Пример. Построить график функции 𝑦 = |𝑥| + 4
а) Построить график функции 𝑦 = 𝑥 + 4
б) Ту часть графика, которая лежит левее оси OY стереть, а ту часть, которая правее
оси OY, отобразить симметрично в левую полуплоскость относительно оси OY.
Примеры: