7473

7473. На двух быстро вращающихся в противоположные
стороны валиках лежит горизонтально однородная доска.
Расстояние между осями валиков l = 20 см, коэффициент трения
между валиками и доской μ = 0,2. Показать, что если в
начальный момент времени центр тяжести доски смещен
относительно средней линии СС, то предоставленная самой себе доска будет
совершать гармонические колебания. Найти период T этих колебаний. Ускорение
свободного падения принять равным g = 10 м/c2.
Дано: l = 20 см; μ = 0,2; g = 10 м/c2
Найти: T=?
Решение. Пусть доска смещена от положения равновесия
влево на расстояние x. Силы, действующие на доску при
этом, изображены на рисунке, где mg - сила тяжести (m –
масса доски), N1 и N2 - нормальные к доске составляющие
сил реакции валиков, F1 и F2 - силы трения скольжения,
причем
𝐹1 = 𝜇 ∙ 𝑁1 ,
𝐹2 = 𝜇 ∙ 𝑁2 .
На рисунке использованы также обозначения:
𝑙
𝑙
𝑥 ′ = − 𝑥,
𝑥 ′′ = + 𝑥.
2
2
В проекции на вертикальное направление сумма сил равна нулю (исходя из условия
равновесия доски в проекции на это направление), откуда следует, что
𝑁1 + 𝑁2 = 𝑚 ∙ 𝑔.
Уравнение моментов, записанное относительно мгновенного положения центра
тяжести доски, имеет вид:
𝑙
𝑙
𝑁1 ∙ ( − 𝑥) = 𝑁2 ∙ ( + 𝑥).
2
2
Из записанной системы уравнений находим;
𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (𝑙 + 2 ∙ 𝑥)
𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (𝑙 − 2 ∙ 𝑥)
𝑁1 =
, 𝑁2 =
.
2∙𝑙
2∙𝑙
Сумма сил трения скольжения направлена вправо и по модулю равна
2∙𝜇∙𝑚∙𝑔
𝐹 = 𝐹1 − 𝐹2 = 𝜇 ∙ (𝑁1 − 𝑁2 ) =
∙ 𝑥.
𝑙
Поэтому уравнение движения доски
2∙𝜇∙𝑚∙𝑔
𝑚 ∙ 𝑥̈ = −
∙𝑥
𝑙
имеет вид уравнения гармонических колебаний с круговой частотой
2∙𝜇∙𝑔
𝜔=√
.
𝑙
Учитывая, что период колебаний, получаем ответ
𝑻=
𝟐∙𝝅
𝒍
𝟎, 𝟐
= 𝟐∙𝝅∙√
=𝟐∙𝝅∙√
= 𝟏, 𝟒 𝒄.
𝝎
𝟐∙𝝁∙𝒈
𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐 ∙ 𝟏𝟎