Многочлены

Многочлены
Многочленом с одной переменной х степени n называют выражение вида
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , где 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎1 , 𝑎0 - любые
числа, называемые коэффициентами многочлена, причем 𝑎𝑛 ≠ 0 называют
старшим коэффициентом многочлена 𝑃𝑛 (𝑥).
Если вместо переменной х в многочлен 𝑃𝑛 (𝑥) подставить число с, то в
результате получится число 𝑃𝑛 (𝑐), которое называют значением многочлена
при х=с.
Число с называют корнем многочлена 𝑃𝑛 (𝑥), если 𝑃𝑛 (𝑐) = 0.
Теорема. Для того чтобы несократимая дробь
𝑝
𝑞
(𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑁) была
корнем многочлена 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 с целыми
коэффициентами, необходимо, чтобы число р было делителем свободного
члена 𝑎0 ,а число q – делителем старшего коэффициента 𝑎𝑛 .
При делении многочлена на двучлен пользуются схемой Горнера
Пусть требуется разделить многочлен 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ +
𝑎1 𝑥 + 𝑎0 на двучлен 𝑥 − 𝑐.
Обозначим частное от деления как многочлен 𝑄𝑛−1 (𝑥) = 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +
𝑏𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 , а остаток – r.
Значение с, коэффициенты многочленов 𝑃𝑛 (𝑥), 𝑄𝑛−1 (𝑥) и остаток r
запишем в следующей форме:
с
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−2
…
𝑎1
𝑎0
𝑏𝑛−1 = 𝑎𝑛
𝑏𝑛−2
= 𝑎𝑛−1
+ 𝑐𝑏𝑛−1
𝑏𝑛−3
= 𝑎𝑛−2
+ 𝑐𝑏𝑛−2
…
𝑏0 = 𝑎1 + 𝑐𝑏1
𝑟 = 𝑎0 + 𝑐𝑏0
В этой схеме каждый из коэффициентов 𝑏𝑛−2 , 𝑏𝑛−3 , …, 𝑏0 получается из
предыдущего числа нижней строки умножением на число с и прибавлением к
полученному результату соответствующего числа верхней строки.
Если какая-либо степень х в
соответствующий коэффициент равен нулю.
многочлене
отсутствует,
то
Отсюда следует, что 𝑃𝑛 (𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑄𝑛−1 (𝑥) + 𝑟.
Если необходимо найти только остаток от деления многочлена на
многочлен, пользуются теоремой Безу: Остаток r от деления многочлена 𝑃𝑛 (𝑥)
на двучлен 𝑥 − 𝑐 равен значению многочлена 𝑃𝑛 (𝑥) при х=с, т.е. 𝑟 = 𝑃𝑛 (𝑐).
Для делимости многочлена 𝑃𝑛 (𝑥) на двучлен 𝑥 − 𝑐 необходимо и
достаточно, чтобы число с было корнем многочлена 𝑃𝑛 (𝑥).
Если an=1, то P(x) называется приведенным многочленом.
Если n=0, то многочлен вида
нулевой степени, он есть число.
Каждое слагаемое вида
ak x k , k  0, n
P0 x   a0 x0  a0
называется многочленом
многочлена называется одночленом.
Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты при
соответствующих степенях переменной х.
Для всякого многочлена Pn (x) и многочлена
определены следующие операции:
1) умножение многочленов на число
2) сложение многочленов:
Qn x   bn x n  bn 1 x n 1  ...  b1 x  b0
c  R : cPn x   can x n  can 1x n 1  ...  ca1x  ca0 ;
Pn x   Qn x   an  bn x n  ...  a1  b1 x  a0 b0 ;
3) умножение многочленов производят по следующему правилу: каждый
член одного многочлена умножают на каждый член второго многочлена,
полученные результаты складывают и приводят подобные;
4) деление многочленов (при условии, что степень делителя меньше или
равна степени делимого) выполняется по правилу «деления углом».
P x 
R x 
Результат
деления
записывается
в
виде:
или
 S x  
Qx 
Qx 
Px   Qx S x   Rx , где S  x  – частное (многочлен); R  x  – остаток (степень
остатка меньше степени делителя).
Многочлен P  x  делится нацело на Qx  Q( x)  0, если Px   S x  или
Q x 
Px   Qx   S x .
Если Qx   x  x0 , где x0  R, то результат деления многочлена P  x  на x  x0 ,
согласно формуле (2.4), можно записать в виде равенства Pn x   x  x0 Sn 1 x   R0 ,
где R0 – число.
Теорема 1 (Безу). Число х0 является корнем многочлена
тогда, когда P  x  делится нацело на x  x0 .
P  x
тогда и только
Теорема 2. Число R 0 является остатком от деления многочлена P  x  на  x  x0 
тогда и только тогда, когда R0  Px0 .
Теорема 3. Пусть P  x  – приведенный многочлен с целыми
коэффициентами. Если он имеет целые корни, то они содержатся среди целых
делителей свободного члена.
Представление многочлена P(x) в виде произведения двух или нескольких
многочленов (если это возможно) называется разложением P(x) на
множители.
Общий вид разложения
Pn (x )
на множители:

Pn  x   A  x  x1  1   x  x2  2  ...   x  x k  k  a1 x 2  b1 x  c1
n

 am x 2  bm x  cm

n
rm
n

r1
 ... 
,
где А, a1; …; аm; b1; …; bm; c1; …; cm
х1; х2; …; хk – корни многочлена

R (const);
Pn (x );
n1; n2 ; ...; nk ; r1 ... rm  N;
n1  n2  ... nr  2 r1  ...  2rm  n.
Квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Основные методы разложения:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) метод группировки:
- непосредственно;
- с предварительными преобразованиями слагаемых;
3) использование формул сокращенного умножения;
4) использование формул разложения квадратного трехчлена на множители
ax  x1 x  x2 , если D  0 и x1, x2  корни ,
ax2  bx  с  
2
ax  x0  , если D  0 и х0  корень ;
5) выделение полного квадрата и сведение к разности квадратов;
6) введение новой переменной;
7) поиск корней многочлена
использование теоремы Безу.
среди
делителей
свободного
члена,
Многочлен может зависеть не только от одной переменной, но и от двух
Pn x; y ; трех Pn x; y; z  и т. д. Данные многочлены называются многочленами
от нескольких переменных. Тогда их одночленом называют выражение,
представляющее собой произведение чисел и переменных в некоторых
степенях. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех
входящих в него переменных. Старшая степень многочлена нескольких
переменных определяется старшей степенью его одночлена.
Многочлен от двух переменных Px; y  называется симметрическим, если
при замене переменных x на у и у на x выражение Px; y  не меняется.
Над многочленами от нескольких переменных можно выполнять действия,
аналогичные действиям над многочленами от одной переменной. Для
разложения данных многочленов на множители применяются те же методы, что
и для многочленов от одной переменной.
Примеры решении задач
Пример 1. Представить многочлен в стандартном виде, определить его
степень: 1) х  43  3х 2 2  х  2 х3; 2)  3x2 y7 y 2  3x  8.
Решение. 1) Раскроем скобки и приведем подобные:
х  43  3х 2 2  х  2 х3  x3  12 x 2  48 x  64  6 x 2  3x3  2 x3 
 6 x 2  48 x  64.
Данный многочлен является многочленом 2-й степени относительно х.

2)
Умножим

многочлен
на
одночлен
 3x y 7 y  3x  8  3x y  7 y  3x y  3x  3x y  8.
2
2
2
2
2
2
Приведем подобные и получаем многочлен  21x2 y3  9x3 y  24x2 y, который
является многочленом 5-й степени от двух переменных х, у (наибольшее
суммарное значение показателей имеем в первом одночлене: 2 + 3 = 5).
Пример
Px  3x  x  2 x
4
3
2.
2
Найти частное и остаток от деления многочлена
 5x  7 на многочлен Qx   x 2  x  4. Результат деления записать в
виде равенства.
Решение. Воспользуемся правилом «деления углом»:

x2  x  4
3x 4  x 3  2 x 2  5 x  7
3x 4  3 x 3  12 x 2

3 x 2  4 x  18
 4 x 3  14 x 2  5 x  7
 4 x 3  4 x 2  16 x

 18 x 2  21 x  7
 18 x 2  18 x  72
 39 x  65
Получаем: 3x2  4 x  18 – частное (целая часть);
(многочлен 1-й степени).
Тогда
x  5.
3x 4  x 3  2 x 2  5 x  7
x  x4
2
 3x 2  4 x  18 
39 x  65
x2  x  4
39 x  65
– остаток
.
Пример 3. Проверить, делится ли многочлен Px  x 3  4x 2  3 нацело на
Если нет, то найти значение остатка (не выполняя деления).
Решение. У данного многочлена Px свободный член есть число a0  3.
Поскольку число 5 не является делителем числа –3, то x  5 – не является
корнем многочлена Px (см. теорему 3). Значит, согласно теореме 1, Px не
разделится нацело на x  5.
Остаток:
R  P5  53  4  52  3  222.
Пример 4. Разложить многочлен на множители:
1)
7 x3  7 x 2  14 x;
2)
 x 5  x 4  4 x  4;
3)
x 3  11 x 2  12;
4)
8 x9  x 6 ;
5)
x 4  6 x 3  9 x 2  4 x  12;
6)
x 4  2 x 2  8.
Решение. 1) Используем метод вынесения общего множителя за скобки:


7 x3  7 x 2  14 x  7 x x 2  x  2 .
Поскольку у квадратного трехчлена
2)

D  0,
Воспользуемся

то получен ответ.
методом


 x  x  4 x  4  x  x  4  4x  x  1  x  4  1  x   1  x x  4 .
5
4
4
5
4
4
группировки:
Для дальнейшего разложения выделим полный квадрат и сведем
разности квадратов: 1  x  x4  4  1  x  x4  4x2  4  4x2  



x
4
4
к

2
2
 1  x    x 2  2  2 x 2   1  x    x 2  2  2 x 2  







 1  x  x 2  2  2x  x2  2  2x .
Поскольку дискриминанты квадратных трехчленов
окончательно получаем разложение  x  1  x2  2  2x x2  2  2x.
отрицательны,
3) Вначале преобразуем данное выражение, а затем используем метод
группировки и формулу разности квадратов:




x3  11x 2  12  x3  12 x 2  x 2  12  x3  x 2  12  x 2  1 


 x  x  1  12  x  1  x  1  x  1  x  12 x  12 .
2
2
Вычисляем корни полученного квадратного трехчлена:
x1 
12  4 6
12  4 6
 6  2 6 , x2 
 6  2 6.
2
2
Поэтому Px  x  1  x  6  2


6  x62 6 .
4) Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой
разности кубов: 8x9  x6  x6  8x3  1  x6  2x  1  4x2  2x  1.
Получили искомое разложение.
5) Для многочлена P( x)  x 4  6x 3  9x 2  4x 12 запишем целые делители
свободного члена: 1;  2;  3;  4;  6;  12 (см. теорему 3). Подставим данные
значения вместо Px , убеждаемся, что x0  1 является корнем, так как
P1  1  6  9  4  12  0.
Разделим заданный многочлен на

x 4  6 x 3  9 x 2  4 x  12
x 4  x3

x  1:
x 1
x 3  7 x 2  16 x  12
 7 x 3  9 x 2  4 x  12
 7x3  7x 2

16 x 2  4 x  12
16 x 2  16 x

 12 x  12
 12 x  12
0
Получаем Px  x  1  x3  7x2  16x  12.
Для многочлена
x 3  7 x 2  16 x  12
выполним аналогичные действия.
Проверкой делителей свободного члена находим корень 2.
Делим:

x2
 x 3  7 x 2  16 x  12
x3  2x 2

x 2  5x  6
 5 x 2  16 x  12
 5 x 2  10 x

6 x  12
6 x  12
0
Тогда Px  x  1  x  2  x2  5x

6.
Квадратный трехчлен x 2  5x  6 разлагаем на множители, используя
формулы корней. Окончательно получаем:
Px   x  1 x  2 x  2 x  3  x  1 x  22  x  3.
6) Для разложения многочлена x 4  2 x 2  8 воспользуемся методом
введения новой переменной. Пусть x2  y. Тогда имеем y2  2 y  8. Корни этого
многочлена – числа 4 и –2. Поэтому y 2  2 y  8  ( y  4)  ( y  2). Возвращаясь к старой
переменной, имеем x4  2x2  8  x2  4 x2  2  ( x  2)  ( x  2)  ( x2  2).
Пример 5. Найти a и b из заданного равенства и доказать, что a + b = 0:
2
7 x 2  7 x  140

а
b

.
7  х  4 7  x  5
Решение. Приведем правую часть заданного равенства к общему
знаменателю:
ax  5a  bx  4b
2
a  x  5  b  x  4

.
или 2 2

2
7  x  4  x  5
7 x  7 x  140
7 x 2  7 x  140
7 x  7 x  140
Поскольку знаменатели дробей равны, приравняем числители и
сгруппируем в правой части коэффициенты при х. Многочлен в правой части
запишем в стандартном виде: 2  a  b  x  4b  5a.
Из определения равенства многочленов получаем систему и решаем ее:
a  b  0,

4b  5a  2;
a  b,

4b  5b  2;
Находим сумму
a  b,

2

b  9 ;
2 2
a  b     0.
9 9
2

a   9 ,

b  2 .

9
Доказательство завершено.
Упражнения
1. Найдите значение многочлена:
1)
Px   3x3  4 x 2  2 x  1, x0  1;
2)
3)
Px   16 x 4  0,2 x  11, x0  0,2.
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2. Выполните деление:
1)
3x 4  x 4  x  1
;
x2  3
2)
4)
5)
7)
8)
3)
7  x4
.
x3  1
3x6  11x3  x5  4 x 2  4
6)
 3x3  2 x 2  4.
3
x 4
9)
10)
3. Сократите дробь:
1)
x 4  x3  x  1
.
x 4  2 x3  x 2  2 x  1
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
4. Упростите выражение:
1) 6𝑏 2 − (2𝑏 + 5)(3𝑏 − 7)
2) 3(𝑎 − 2𝑏)(2𝑏 + 𝑎) − 0,5(𝑎 − 24𝑏)
3) 2𝑦(𝑦 − 1,5𝑥) − 5(𝑥 + 4𝑦)(𝑦 − 𝑥)
4) 16𝑥 2 − (4𝑥 + 0,5)(4𝑥 − 0,5)
5) (𝑎2 − 5𝑎 + 4)(2𝑎 + 3)
6) (3𝑎 − 2𝑏)(9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 4𝑏 2 )
7) 8𝑦 6 − 2𝑦 3 (1 − 5𝑦 − 𝑦 2 + 4𝑦 3 )
8) (3𝑥 2 − 8)(3𝑥 2 + 8)
9) (𝑎2 + 7𝑎 + 3)(𝑎2 − 4𝑎 + 2)
10) (𝑥 2 + 5𝑦)(𝑥 4 − 5𝑥 2 𝑦 + 25𝑦 2 )
5. Разложите на множители:
1) 5𝑏𝑐 − 5𝑐
2) 10𝑛 + 15𝑛2
3) 8𝑎𝑏 + 12𝑏𝑐
4) 𝑎2 − 9
5) 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3
6) 8𝑥 4 − 16𝑥 3 𝑦
7) 216𝑏 3 − 127
8) 𝑥 3 − 125
9) 8𝑎2 − 50𝑦 2
10) 𝑎3 + 64
6. Разложите на множители:
1) 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥
2) 𝑐 4 − 2𝑐 3 − 𝑐 2 + 2𝑐
3) 7𝑥 2 − 14𝑥𝑦 + 21𝑎𝑥
4) 9𝑥𝑦 − 3𝑏𝑦 + 15𝑎𝑦
5)
6)
7)
8)
9)
10)
7. Разложите на множители:
1) (𝑎 − 2)2 − 25𝑎2
2) (𝑏 + 3)2 − 36𝑏 2
3) (𝑏 + 2)3 − 8𝑏 3
4) (𝑎 + 1)3 + 𝑎3
5)
6)
7)
8)
9)
10)
8. Докажите тождество:
1) 𝑎4 + 𝑎2 + 1 = (𝑎2 + 𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)
4) 𝑏 8 + 𝑏 4 + 1 = (𝑏 4 + 𝑏 2 + 1)(𝑏 4 − 𝑏 2 + 1)
7) 𝑐 4 + 4 = (𝑐 2 − 2𝑐 + 2)(𝑐 2 + 2𝑐 + +2)
10)