Рассмотрим графики функций f(x)

advertisement
Преобразование графиков
Параллельный перенос
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x+a):
Как видно из рисунка, график функции f(x+a) получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох влево на а единиц.
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x - a):
Как видно из рисунка, график функции f(x - a) получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох вправо на а единиц.
При изменении х на а происходит параллельный перенос графика
функции f(x) на а единиц вправо (при а<0) или влево (при а>0). Другими
словами ось Оу переносится на а единиц влево или вправо (в зависимости от
знака).
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x)+a:
Как видно из рисунка, график функции f(x)+a получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Оу вверх на а единиц.
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x) - a:
Как видно из рисунка, график функции f(x) - a получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Оу вниз на а единиц.
При изменении f(х) на а происходит параллельный перенос графика
функции f(x) на а единиц вниз (при а<0) или вверх (при а>0). Другими словами
ось Ох переносится на а единиц вверх или вниз (в зависимости от знака).
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x+а)+b:
Как видно из рисунка, график функции f(x+a)+b получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох вправо на а единиц и вдоль оси Оу
на b единиц (в зависимости от знаков а и b).
Пусть F(x)=f(x – a)+b. Тогда график функции F получается из графика
функции f с помощью параллельного переноса, при котором начало координат
О(0; 0) переходит в точку А(а; b).
Изменение масштаба
Рассмотрим графики функций f(x) и f(kx) (k>1):
Рассмотрим графики функций f(x) и f(kx) (k<1):
Рассмотрим графики функций f(x) и lf(x) (l>1):
Рассмотрим графики функций f(x) и lf(x) (l<1):
Пусть k0, l0 и F(x)=lf(kx). Тогда график функции F получается из
графика функции f с помощью растяжения от оси абсцисс с коэффициентом l и
последующего растяжения от оси ординат с коэффициентом k.
Рассмотрим графики функций f(x) и - f(x):
Если F(x)= - f(x), то график функции F получается из графика функции f с
помощью симметрии относительно оси абсцисс.
Рассмотрим графики функций f(x) и f( - x):
Если F(x)=f( - x), то график функции F получается из графика функции f с
помощью симметрии относительно оси ординат.
Рассмотрим графики функций f(x) и - f( - x):
Если F(x)= - f( - x), то график функции F получается из графика функции f
с помощью симметрии относительно начала координат.
Примеры решения задач
Пример 1. На рисунке изображен график функции f :
.
Построить график функции F(x)=f(x+3)+2).
Решение. График функции F получается из графика функции f путем
переноса начала координат в точку А( - 3; 2):
Пример 2. Построить график функции  = − 2 − 2 − 3.
Решение. Преобразуем заданную функцию: − 2 − 2 − 3 = −( 2 +
2) − 3 = −( 2 + 2 + 1 − 1) − 3 = −( 2 + 2 + 1) + 1 − 3 = −( + 1)2 − 2.
Для построения графика полученной функции используем следующие
преобразования:
строим график функции  =  2 ;
график функции  = ( + 1)2 получаем из графика функции  =  2
путем движения его на единицу влево по оси Ох;
график функции  = −( + 1)2 получаем из предыдущего симметричным
отображением относительно оси Ох;
график заданной функции получаем из графика функции  = −( + 1)2
параллельным переносом на две единицы вниз по оси Оу.
Пример 3. Построить график функции  = √8 − 4.
Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию:  =
2√2 − .
Шаги построения:
1)  = √ (на рисунке обозначен голубым цветом)
2)  = √− – отображение симметрично оси Оу в левую полуплоскость
(красная линия);
3)  = √−( − 2) – смещение вдоль оси Ох вправо на две единицы
(зеленая линия);
4)  = 2√2 −  – увеличение коэффициента роста в два раза (фиолетовая
линия).
Пример 4. Построить график функции  = |
Решение. D(f)=( - ∞; - 1)( - 1; +∞).
+2
+1
|.
Преобразуем функцию  = |
(+1)+1
+1
| = |1 +
1
+1
|.
1
Данный график может быть получен из графика функции  =

следующими преобразованиями:
1)  =
1
+1
– смещение вдоль оси Ох на единицу влево (красная линия);
1
2)  = 1 +
– смещение вдоль оси Оу вверх на единицу (зеленая
+1
линия);
1
3)  = |1 +
| – отображение части графика, которая расположена ниже
+1
оси Ох, в верхнюю полуплоскость (фиолетовая линия).
Упражнения
1. На рисунке изображен график функции f:
функции:
. Постройте график
1)  = () + 1
2)  = 2()
3)  = −()
5)  = ( − 2)
6)  = () − 1
7)  =
9)  = |()| − 1
4)  = 1 − ()
()
8)  = |()|
2
10)  = ( + 1)
2. На рисунке изображен график функции f:
функции:
. Постройте график
1)  = ( − 2)
2)  = ( − 1)
3)  = (−)
4)  = −(−)
5)  = (||)
6)  = ( + 2)
7)  = ( + 1)
8)  = −()
9)  = |()|
10)  = (1 − )
3. Параллельный перенос переводит начало координат в точку А(4; - 3).
Найдите образ точки М и прообраз точки N, если:
1) (−1; 5), (−3; 4)
2)
3)
4) (2; −7), (−3; 4)
5) (2; −7), (8; −6)
6)
7)
8) (−1; 5), (8; −6)
9)
10)
4. Параллельный перенос переводит точку А(2; - 5) в точку В( - 6; 1). Найдите
образ точки М и прообраз точки N, если:
1) (0; 6), (−2; 3)
2)
3)
4) (8; −1), (−2; 3)
5) (0; 6), (5; −4)
6)
7)
8) (8; −1), (5; −4)
9)
10)
5. Постройте график функции:
1)  = − 2 − 4 + 2
2)
3)
4)  = ( − 2)2 − 2
5)
6)
8)
9)
1
7)  = ( − 2)3 + 4
3
10)
6. Постройте график функции:
2)
3)
4)  = 1 + √
2
5)
6)
7)  = −3 − √−
8)
9)
1)  = 2√ + 4
1
10)  = 4 − √1 − 2
7. Постройте график функции:
1
1)  = −| + 4|

4)  = |
7)  =
2
2+2
|−1
 2 −4
|−2|
10)  = | 2 − 4 + 3| − 2
2)
3)
1
5)  = 2 − | + 5|
6)
8)  = −|1 − | + 3
9)  =
2
 2 −||−2
−1
Скачать