Рассмотрим графики функций f(x)

Преобразование графиков
Параллельный перенос
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x+a):
Как видно из рисунка, график функции f(x+a) получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох влево на а единиц.
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x - a):
Как видно из рисунка, график функции f(x - a) получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох вправо на а единиц.
При изменении х на а происходит параллельный перенос графика
функции f(x) на а единиц вправо (при а<0) или влево (при а>0). Другими
словами ось Оу переносится на а единиц влево или вправо (в зависимости от
знака).
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x)+a:
Как видно из рисунка, график функции f(x)+a получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Оу вверх на а единиц.
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x) - a:
Как видно из рисунка, график функции f(x) - a получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Оу вниз на а единиц.
При изменении f(х) на а происходит параллельный перенос графика
функции f(x) на а единиц вниз (при а<0) или вверх (при а>0). Другими словами
ось Ох переносится на а единиц вверх или вниз (в зависимости от знака).
Рассмотрим графики функций f(x) и f(x+а)+b:
Как видно из рисунка, график функции f(x+a)+b получается из графика
функции f(x) сдвигом графика вдоль оси Ох вправо на а единиц и вдоль оси Оу
на b единиц (в зависимости от знаков а и b).
Пусть F(x)=f(x – a)+b. Тогда график функции F получается из графика
функции f с помощью параллельного переноса, при котором начало координат
О(0; 0) переходит в точку А(а; b).
Изменение масштаба
Рассмотрим графики функций f(x) и f(kx) (k>1):
Рассмотрим графики функций f(x) и f(kx) (k<1):
Рассмотрим графики функций f(x) и lf(x) (l>1):
Рассмотрим графики функций f(x) и lf(x) (l<1):
Пусть k0, l0 и F(x)=lf(kx). Тогда график функции F получается из
графика функции f с помощью растяжения от оси абсцисс с коэффициентом l и
последующего растяжения от оси ординат с коэффициентом k.
Рассмотрим графики функций f(x) и - f(x):
Если F(x)= - f(x), то график функции F получается из графика функции f с
помощью симметрии относительно оси абсцисс.
Рассмотрим графики функций f(x) и f( - x):
Если F(x)=f( - x), то график функции F получается из графика функции f с
помощью симметрии относительно оси ординат.
Рассмотрим графики функций f(x) и - f( - x):
Если F(x)= - f( - x), то график функции F получается из графика функции f
с помощью симметрии относительно начала координат.
Примеры решения задач
Пример 1. На рисунке изображен график функции f :
.
Построить график функции F(x)=f(x+3)+2).
Решение. График функции F получается из графика функции f путем
переноса начала координат в точку А( - 3; 2):
Пример 2. Построить график функции 𝑦 = −𝑥 2 − 2𝑥 − 3.
Решение. Преобразуем заданную функцию: −𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = −(𝑥 2 +
2𝑥) − 3 = −(𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 1) − 3 = −(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 1 − 3 = −(𝑥 + 1)2 − 2.
Для построения графика полученной функции используем следующие
преобразования:
строим график функции 𝑦 = 𝑥 2 ;
график функции 𝑦 = (𝑥 + 1)2 получаем из графика функции 𝑦 = 𝑥 2
путем движения его на единицу влево по оси Ох;
график функции 𝑦 = −(𝑥 + 1)2 получаем из предыдущего симметричным
отображением относительно оси Ох;
график заданной функции получаем из графика функции 𝑦 = −(𝑥 + 1)2
параллельным переносом на две единицы вниз по оси Оу.
Пример 3. Построить график функции 𝑦 = √8 − 4𝑥.
Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию: 𝑦 =
2√2 − 𝑥.
Шаги построения:
1) 𝑦 = √𝑥 (на рисунке обозначен голубым цветом)
2) 𝑦 = √−𝑥 – отображение симметрично оси Оу в левую полуплоскость
(красная линия);
3) 𝑦 = √−(𝑥 − 2) – смещение вдоль оси Ох вправо на две единицы
(зеленая линия);
4) 𝑦 = 2√2 − 𝑥 – увеличение коэффициента роста в два раза (фиолетовая
линия).
Пример 4. Построить график функции 𝑦 = |
Решение. D(f)=( - ∞; - 1)( - 1; +∞).
𝑥+2
𝑥+1
|.
Преобразуем функцию 𝑦 = |
(𝑥+1)+1
𝑥+1
| = |1 +
1
𝑥+1
|.
1
Данный график может быть получен из графика функции 𝑦 =
𝑥
следующими преобразованиями:
1) 𝑦 =
1
𝑥+1
– смещение вдоль оси Ох на единицу влево (красная линия);
1
2) 𝑦 = 1 +
– смещение вдоль оси Оу вверх на единицу (зеленая
𝑥+1
линия);
1
3) 𝑦 = |1 +
| – отображение части графика, которая расположена ниже
𝑥+1
оси Ох, в верхнюю полуплоскость (фиолетовая линия).
Упражнения
1. На рисунке изображен график функции f:
функции:
. Постройте график
1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 1
2) 𝑦 = 2𝑓(𝑥)
3) 𝑦 = −𝑓(𝑥)
5) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2)
6) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 1
7) 𝑦 =
9) 𝑦 = |𝑓(𝑥)| − 1
4) 𝑦 = 1 − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
8) 𝑦 = |𝑓(𝑥)|
2
10) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1)
2. На рисунке изображен график функции f:
функции:
. Постройте график
1) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2)
2) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 1)
3) 𝑦 = 𝑓(−𝑥)
4) 𝑦 = −𝑓(−𝑥)
5) 𝑦 = 𝑓(|𝑥|)
6) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 2)
7) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1)
8) 𝑦 = −𝑓(𝑥)
9) 𝑦 = |𝑓(𝑥)|
10) 𝑦 = 𝑓(1 − 𝑥)
3. Параллельный перенос переводит начало координат в точку А(4; - 3).
Найдите образ точки М и прообраз точки N, если:
1) 𝑀(−1; 5), 𝑁(−3; 4)
2)
3)
4) 𝑀(2; −7), 𝑁(−3; 4)
5) 𝑀(2; −7), 𝑁(8; −6)
6)
7)
8) 𝑀(−1; 5), 𝑁(8; −6)
9)
10)
4. Параллельный перенос переводит точку А(2; - 5) в точку В( - 6; 1). Найдите
образ точки М и прообраз точки N, если:
1) 𝑀(0; 6), 𝑁(−2; 3)
2)
3)
4) 𝑀(8; −1), 𝑁(−2; 3)
5) 𝑀(0; 6), 𝑁(5; −4)
6)
7)
8) 𝑀(8; −1), 𝑁(5; −4)
9)
10)
5. Постройте график функции:
1) 𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥 + 2
2)
3)
4) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 2𝑥
5)
6)
8)
9)
1
7) 𝑦 = (𝑥 − 2)3 + 4
3
10)
6. Постройте график функции:
2)
3)
4) 𝑦 = 1 + √𝑥
2
5)
6)
7) 𝑦 = −3 − √−𝑥
8)
9)
1) 𝑦 = 2√𝑥 + 4
1
10) 𝑦 = 4 − √1 − 2𝑥
7. Постройте график функции:
1
1) 𝑦 = −| + 4|
𝑥
4) 𝑦 = |
7) 𝑦 =
2𝑥
2𝑥+2
|−1
𝑥 2 −4
|𝑥−2|
10) 𝑦 = |𝑥 2 − 4𝑥 + 3| − 2
2)
3)
1
5) 𝑦 = 2 − |𝑥 + 5|
6)
8) 𝑦 = −|1 − 𝑥| + 3
9) 𝑦 =
2
𝑥 2 −|𝑥|−2
𝑥−1