Решение исследовательских задач по теме «Квадратичная функция» Цели и задачи урока:

Решение исследовательских задач по теме «Квадратичная функция»
Урок систематизации и обобщения знаний
Цели и задачи урока:
1)образовательные: повторение и обобщение знаний учащихся о квадратичной
функции; углубление ранее полученных знаний; более глубокое усвоение
геометрического смысла коэффициентов в формуле, задающей квадратичную
функцию, умение анализировать условия, заданные как аналитически, так и
графически
2)воспитательные: воспитывать умение правильно оценивать свои возможности,
результаты учебной деятельности, воспитывать трудолюбие, развивать
самостоятельность;
3)развивающие: развитие интеллектуальных способностей, развитие умения кратко и
четко формулировать свои мысли,умения переносить знания в новые ситуации,
развитие мышления и интереса к предмету у учащихся в процессе решения
проблемных ситуаций.
Используемое оборудование: мультимедийный проектор, компьютер; раздаточные
материалы.
Применяемые технологии: ИКТ, проблемного обучения.
Использование вышеперечисленных современных образовательных технологий
позволяет повысить эффективность учебного процесса, помогают достигать лучшего
результата в обучении математике, повышают познавательный интерес к предмету.
Ход урока
1. Организационный момент.
Одним из важных видов функций, рассматриваемых в математике, являются
квадратичные функции. Сегодня мы посмотрим, как знание свойств квадратичной
функции можно использовать при решении различных заданий, в т.ч.и заданий с
параметром, рассмотрим более глубже геометрический смысл коэффициентов в
формуле, задающей квадратичную функцию.
2. Устная работа
В программе GeoGebra рисунок №1:
 Какой формулой задается квадратичная функция?
 Как влияют коэффициенты a,b,c на расположение и вид параболы?
 В какой точке квадратичная функция принимает наименьшее (наибольшее)
значение?
 Каким уравнением задается ось симметрии параболы?
 Как найти координаты вершины параболы?
Слайд №1:
Может ли парабола на рисунке быть
графиком функции у=ах2-ах+b?
у
1
1
3
х
−а
1
Решение: найдем абсциссу вершины параболы х0= − = , как мы видим, найденное
2а 2
значение не соответствует рисунку, значит, ответ: нет.
Слайд №2.
Может ли парабола на рисунке быть
графиком функции у=ах2+bх+а?
у
х
Решение: для функции у=ах2+bх+а у(0)=а, по рисунку а>0, но ветви параболы
направлены вниз, значит, должно быть а< 0. Ответ: нет.
Слайд №3.
График какой из указанных ниже функции
изображен на рисунке?
у
1) y  2 x 2  4 x
2) y   x  2 x
2
2
3) y  2 x 2  4 x
4) y   x 2  2 x
х
0
2
Ответ: 3.
3.Проверочная работа
1 вариант
№1.На рисунке изображен график функции
y  ax 2  bx  c
Определите знаки коэффициентов a , b и c.
№2. По графику функции найдите:
а) уравнение оси симметрии параболы
б) множество значений функции
в) Знак D
№3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
2 вариант
№1.На рисунке изображен график функции
y  ax 2  bx  c
Определите знаки коэффициентов a , b и c.
№2. По графику функции найдите:
а) уравнение оси симметрии параболы
б) множество значений функции
в) Знак D
№3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
4.Решение заданий с параметрами.
№1. При каких значениях параметра k вершина параболы y=kx² ̶ 7x+4k лежит во
второй четверти?
Решение:х0<0, у0>0.
№1. При каких значениях параметра k
вершина параболы y=kx² ̶ 7x+4k лежит во
второй четверти?
7
<0
𝑘<0
𝑘
{
;{
; − 1,75 < 𝑘 < 0
49 − 4 ∙ 𝑘 ∙ 4𝑘
−1,75 < 𝑘 < 1,75
−
>0
4𝑘
Ответ: −1,75 < 𝑘 < 0
№2. При каких значениях p вершины парабол y=x² ̶ 2px ̶ 1 и y= ̶ x²+4px +p
расположены по разные стороны от оси х?
№2. При каких значениях p вершины
парабол y=x² ̶ 2px ̶ 1 и y= ̶ x²+4px +p
расположены по разные стороны от оси
х?
Решение: Вершины парабол будут находиться по разные
стороны от оси , если ординаты их вершин имеют разные
знаки. Два сомножителя имеют разный знак, когда их произведение отрицательно (Координата ув вершины находится
подстановкой хв в уравнение параболы).
(р2–2р2–1)(–4р2+8р2+р)
О т в е т : (–∞;–0,25)(0;+∞)
2 способ: Ординату вершины параболы можно найти по формуле
и.т.д.
№3.Постройте график функции у
=
х3 +4х2 +5х+2
х+1
и определите, при каких
значениях k прямая у=kx+5 имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Найдите координаты этой точки.
Решение: у=х² +
̶ 3х+2, х≠ –1
График функции у=х² +
̶ 3х+2, х≠ –
1должен иметь с прямой у=kx+5 ровно
одну общую точку. Найдем, сколько
корней имеет уравнение х² +
̶ 3х+2= kx+5
в зависимости от k.
х2+(3–k)х–3=0, D= k2–6k+21при всех k
больше нуля, т.е. график функции
у=х² +
̶ 3х+2, х≠ –1и прямая у=kx+5 будут
иметь только одну общую точку только в
том случае, когда эта прямая проходит
через выколотую на параболе точку, т.е.
через точку с координатами (–1; 0).
0=k∙(–1)+5, k=5.
y=5x+5
Найдем координаты обшей точки :
х² +
̶ 3х+2= 5x+5, х =3 или х= –1.Условию
задачи удовлетворяет значение х=3
у(3)=5∙3+5=20
Ответ: k=5 ;(3;20).
№3.Постройте график функции
и определите, при каких значениях k прямая
у=kx+5 имеет с графиком функции ровно
одну общую точку. Найдите координаты
этой точки.
Самостоятельно решить:
№4. При каких значениях n парабола y= ̶ x²+(n ̶ 1)x+n целиком расположена ниже
прямой у=1?
Решение: Ветви параболы направлены вниз,
наибольшее значение должно быть меньше 1
№4. При каких значениях n парабола
(ордината вершины параболы меньше 1).
y= ̶ x²+(n ̶ 1)x+n целиком расположена ниже
прямой у=1?
(𝑛−1)2 +4𝑛
< 1 ,n2+2n–3<0 , (n+3)(n–1)<0
Ответ: (–3;1)
4
Подведение итогов урока
Рефлексия
Я могу определять по графику функции y  ax  bx  c знаки коэффициентов а, b и с.
Я знаю, каким уравнением задается ось симметрии параболы.
Я умею находить координаты вершины параболы.
Я могу определить аналитически, сколько общих точек имеет парабола и прямая.
Домашнее задание мне кажется……легким/трудным
2
Домашнее задание:
1) При каких значениях m парабола y=x2+(m+1)x+m целиком расположена выше прямой у= –4?
2) При каких значениях m вершины парабол y=–x2–6mx+m и y=x2–4mx–2 расположены по одну
сторону от оси х ?
3)Постройте график квадратичной функции y=x²–4x+c, если ее наименьшее значение равно 1.
4) Квадратичная функция задана формулой y=ax²–(а+2)x+3.Найдите а, если ось симметрии графика–
прямая х= –0,5.
5) Постройте график функции
фиком ровно одну общую точку?
. При каких значениях m прямая у=m имеет с гра-
Использованная литература
 Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9
класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. М. ,2008-…
 Сборник задач по алгебре: учеб. пособие для 8-9 кл. с углублен. изучением
математики. Галицкий М.Л. и др. М.,2001-…
 ГИА 2013. Математика. Сборник заданий. Кочагин В.В., Кочагина М.Н.
М.,2012
 ОГЭ 2015. Математика. Семенов А.В., Трепалин А.С. и др. М. 2014