Лекция № 6 Общая топология ,... x

Лекция № 6
Общая топология
Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т.д.
Определение 1. Последовательность x1 , x2 ,...,xn ,... точек то-
пологического пространства T называется сходящейся к точке x  T ,
если любая окрестность точки x содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой.
Однако в топологических пространствах понятие сходимости не
играет той фундаментальной роли, которая ему принадлежит в метрических пространствах. Дело в том, что в метрическом пространстве R
точка x есть точка прикосновения множества M  R в том и только
том случае, когда в M существует последовательность, сходящаяся к x
(см. теорему 2, лекция № 2). В топологических пространствах, вообще
говоря, это не так. Из того, что точка x есть точка прикосновения для
M , не вытекает существования в M последовательности, сходящейся
к x.
Пример 1. На отрезке [0,1] назовем открытыми те его подмножества (наряду с пустым множеством), которые получаются из него выбрасыванием любого конечного или счетного числа точек. Эта система
множеств есть топология. Действительно, пустое множество и весь отрезок открыты. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств есть такие же множества.
В этом пространстве сходящимися будут только стационарные
последовательности, т.е. такие, элементы которых, начиная с некоторого
номера, совпадают: xn , xn 1 ,..., xn  k ,...  ( x; xn  x ) . (Докажите
это!). С другой стороны, если мы возьмем в качестве M полусегмент
(0,1] (с топологией, указанной выше!), то точка 0 будет для M точкой
прикосновения, но никакая последовательность точек из M не сходится
к 0 в нашей топологии.
Однако если мы будем рассматривать не произвольные топологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности,
т.е. если у каждой точки x  T существует счетная определяющая система окрестностей, то в этом случае каждая точка прикосновения x
83
произвольного множества M  T может быть представлена как предел
некоторой последовательности точек из M .
Действительно, пусть { On } – счетная определяющая система
окрестностей точки x . Можно считать, что On 1  On (иначе мы замеn
нили бы On на  Oi ). Пусть x k – произвольная точка из M , содерi 1
жащаяся в Ok , k  1,2,3,... . Ясно, что такое x k существует, иначе x не
была бы точкой прикосновения для M . Последовательность { x k } ,
очевидно, сходится к x .
Замечание 1. Первой аксиоме счетности удовлетворяют все метрические пространства. Именно поэтому мы смогли все такие понятия, как замыкание, точка прикосновения и т.д., сформулировать для метрических пространств в терминах сходимости
последовательностей.
Непрерывные отображения.
Определение 2. Пусть X и Y – два топологических пространства. Отображение f : X  Y пространства X в пространство Y
называется непрерывным в точке x0  X , если для любой окрестности
V y0 точки f ( x0 )  y0  Y найдется такая окрестность U x 0 точки x0 ,
что f ( U x0 )  V y 0 . Отображение f : X  Y называется непрерывным
(всюду в X !), если оно непрерывно в каждой точке x  X .
В частности, непрерывное отображение топологического пространства X в числовую прямую называется непрерывной функцией.
Данное нами определение непрерывности отображений носит
«локальный» характер, т.е. непрерывность отображения f на всем пространстве X определяется через непрерывность f в каждой точке.
Оказывается, что понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах
открытых множеств, т.е. в терминах топологии этих пространств.
Теорема 1. Для того чтобы отображение f : X  Y топологического пространства X в топологическое пространство Y было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз U  f
1
(V )
любого открытого множества V  Y был открыт в X .
Необходимость. Пусть отображение f непрерывно всюду в
X в смысле определения 2 и пусть V – открытое множество в Y . До84
кажем, что множество U  f
1
( V ) открыто в X . Пусть x – произвольная точка множества U и y  f ( x ) . Тогда V служит окрестностью точки y , так как y V и V открыто. По определению
непрерывности f найдется окрестность U x точки x такая, что
f ( U x )  V , т.е. U x  U . Иначе говоря, для любой точки x U существует окрестность U x этой точки, содержащаяся в U . Но это и означает, что U открыто. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть прообраз любого открытого множества
из Y открыт в X . Докажем, что тогда отображение f непрерывно в
смысле определения 2. Рассмотрим произвольную точку x  X . Пусть
y  f ( x ) и V y – произвольная окрестность точки y . Тогда прообраз
U  f 1( V y ) открытого множества V y  Y открыт в X и x U . Таким образом,  x  U и для каждой окрестности точки y  f ( x ) мы
указали окрестность точки x такую, что ее образ лежит в окрестности
точки y . Теорема доказана.
Утверждение 1. Пусть имеется отображение (произвольных
множеств!)
f : X Y ,
и пусть V – произвольное подмножество множества Y , т.е. V  Y .
Тогда справедливо равенство
f 1( Y \ V )  X \ f 1( V ) .
Доказательство. Пусть x  f
цепочку эквивалентных утверждений:
1
( Y \ V ) . Имеем следующую
x  f 1( Y \ V )  f ( x )  Y \ V  f ( x )  V  x  f 1( V )  x  X \ f 1( V )
Таким образом, f
1
( Y \ V )  X \ f 1( V ) и X \ f 1( V )  f 1( Y \ V ) ,
1
1
откуда и следует, что f ( Y \ V )  X \ f ( V ) . Утверждение доказано.
Как следствие, получаем теорему, двойственную теореме 1.
Теорема 1’. Для того чтобы отображение f : X  Y топологического пространства X в топологическое пространство Y было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого
замкнутого множества из Y был замкнут (в X ).
85
Для непрерывных отображений справедлива теорема, аналогичная хорошо известной из анализа теореме о непрерывности сложной
функции.
Теорема 2. Пусть X , Y и Z – топологические пространства, и
пусть
f : X Y и g :Y  Z
есть непрерывные отображения соответственно X в Y и Y в Z . Тогда
отображение

 : X  Z , т.е. x  g( f ( x ))
есть непрерывное отображение пространства X в пространство Z .
Доказательство этой теоремы очевидно в силу теоремы 1.
Гомеоморфизм. Два топологических пространства X и Y
называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное и
взаимно непрерывное отображение пространства X на всё пространство Y : f : X  Y .
Гомеоморфные пространства обладают одними и теми же топологическими свойствами и с топологической точки зрения их можно
рассматривать просто как два экземпляра одного и того же пространства. Топологии в двух гомеоморфных пространствах служат образами и
прообразами друг друга.
Отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно; поэтому совокупность всех топологических пространств распадается на классы (непересекающиеся!) гомеоморфных между собой
пространств.
Замечание 2. Пусть X и Y – произвольные множества, и f : X  Y есть
отображение X в Y . Если в множестве Y задана некоторая топология  (т.е. система
множеств, содержащая пустое множество и всё Y и замкнутая относительно взятия любых объединений и конечных пересечений), то прообраз топологии
всех множеств вида
f
1
( G ) , где G   ) будет топологией в X

(т.е. совокупность
.
Для доказательства достаточно вспомнить теоремы о прообразе объединения и
1
пересечения множеств. Обозначим эту топологию через f (  ) .
Замечание 3. Метрические свойства двух гомеоморфных между собой метрических пространств могут быть различны; так одно из них может быть полно, а другое – нет.
Например, интервал
(  2, 2 , )
гомеоморфизм можно задать функцией
гомеоморфен числовой прямой: соответствующий
x  tg( x ) . Но при этом прямая – это полное
пространство, а интервал – нет.
86
Замечание 4. Метрика пространства R однозначно определяет его топологию,
но не наоборот: одну и ту же топологию в R  ( X ,  ) можно получить, задавая в X
различные метрики.
Аксиомы отделимости. Хотя многие понятия теории метрических пространств легко переносятся на произвольные топологические
пространства, все же топологические пространства есть объект слишком
общий с точки зрения задач анализа. Здесь возникают ситуации, существенно отличающиеся от того, что может иметь место в метрических
пространствах.
Пример 2. Связное двоеточие. Пусть T состоит из двух точек
a и b , причем открытыми, т.е. топологией  , считаем множества
,{ a ,b },{ b } . В этом пространстве замкнуты следующие множества:
T ,  и { a } . Замыкание одноточечного множества { b } есть всё T .
Мы видим также: конечное множество точек (даже одна точка b ) в топологическом пространстве может быть не замкнутым.
Среди топологических пространств можно выделить пространства более близкие по своим свойствам к метрическим пространствам.
Для этого к аксиомам 10 ) и 2 0 ) топологии надо присоединить дополнительные условия.
Такими дополнительными условиями были, например, аксиомы счетности.
Первая аксиома счетности. Говорят, что точка x топологического простран-
{ O n } , если для любого
открытого множества G , содержащего точку x , найдется некоторая окрестность Ok из
{ On } такая, что x  Ok  G . Если это верно для каждой точки пространства T , то
ства
T
имеет счетную определяющую систему окрестностей
оно называется пространством с первой аксиомой счетности.
Вторая аксиома счетности. Совокупность B открытых множеств называется
базой топологического пространства T , если всякое открытое множество в T может
быть представлено как объединения (конечного или бесконечного) числа множеств из
Пространства, обладающие хотя бы одной счетной базой
B
.
B  { Bn } , называются про-
странствами со второй аксиомой счетности.
Аксиомы счетности позволяют изучать топологию пространства на основе понятия сходимости.
Другой важный тип дополнительных условий составляют требования иной природы – так называемые аксиомы отделимости.
87
Первая аксиома отделимости (аксиома T1 ). Для любых двух
различных точек x и y топологического пространства T существуют
окрестности O x точки x , не содержащая точку y , и окрестность O y
точки y , не содержащая точку x .
В таких пространствах любая точка есть замкнутое множество.
Действительно, если x  y , то существует окрестность O y точки y , не
содержащая x , т.е. y  [ x ] . Поэтому [ x ]  x . Следовательно, в T1 –
пространстве замкнуто любое множество, состоящее из конечного числа
точек.
Примером топологического пространства, не удовлетворяющего
первой аксиоме отделимости, является связное двоеточие.
Утверждение 2. Если в топологическом пространстве T замкнуты все множества, состоящие из конечного числа точек, то в нем
выполнена первая аксиома отделимости.
Доказательство. Пусть x , y  T , x  y . Тогда точка x имеет
окрестность O x  T \ { y } , не содержащую y , и точка y имеет окрестность O y  T \ { x } , не содержащую x . Утверждение доказано.
Как обычно, точка x  T называется предельной точкой множества M  T , если для любой окрестности U точки x пересечение
U  ( M \ { x }) не пусто. В пространствах, не удовлетворяющих первой
аксиоме отделимости, предельные точки могут быть даже у множеств,
состоящих только из конечного числа точек.
Пример 3. Пусть T – связное двоеточие с топологией, состоящей из множеств  ,{ a ,b },{ b } . Тогда точка a является предельной
для множества M  { b } . Действительно, любая окрестность точки a в
этой топологии есть множество { a ,b } . Тогда { a ,b }  ( M \ { a }) 
 { a ,b }  { b }   , т.е. точка a есть предельная точка множества
M  {b} .
В пространствах с первой аксиомой отделимости такого не может быть.
Утверждение 3. Для того чтобы точка x была предельной для
множества M в топологическом пространстве T с первой аксиомой
отделимости, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность U
этой точки содержала бесконечно много точек из M .
88
Доказательство. Достаточность этого условия очевидна. Действительно, если любая окрестность U точки x содержит бесконечное
число точек из M , то множество U  ( M \ { x }) не пусто. Установим
его необходимость. Пусть x – предельная для M . Предположим, что
существует такая окрестность, которая содержит только конечное число
точек из множества M . Пусть x1 , x 2 ,...,x n – все эти точки, кроме самой x (если она принадлежит M ). Тогда V  U \ { x1 , x 2 ,...,x n } является
x (V
окрестностью точки
открытое множество и
V  ( M \ { x })   ), а это противоречит тому, что x – предельная точка для M .
Всякое метрическое пространство заведомо удовлетворяет первой аксиоме отделимости. Поэтому за определение предельной точки
множества в метрическом пространстве можно принять свойство, указанное в утверждении 3.
Усилением первой аксиомы отделимости является
Вторая аксиома отделимости (аксиома T2 ). Любые две различные точки x и y топологического пространства T имеют непересекающиеся окрестности O x и O y . Пространства, удовлетворяющие
этой аксиоме, называются хаусдорфовыми топологическими пространствами.
Всякое хаусдорфово пространство автоматически удовлетворяет
первой аксиоме отделимости, но не наоборот.
Пример 4. Также как и в примере 1, рассмотрим отрезок [ 0 ,1 ]
и будем считать в нем открытыми пустое множество и все множества,
получающиеся из отрезка выбрасыванием не более счетного числа точек. Полученная таким образом топология удовлетворяет первой аксиоме отделимости, но не удовлетворяет второй.
Докажем эти утверждения. Пусть x и y – две различные точки
отрезка [ 0 ,1 ] . Тогда окрестность O x  [ 0 ,1 ] \ { y } точки x не содержит точки y , и окрестность O y  [ 0 ,1 ] \ { x } точки y не содержит
точки x . Первая аксиома отделимости выполнена. Но для этих точек
нельзя указать окрестности O x и O y такие, что O x  O y   , т.к. они
(окрестности!) должны получаться из отрезка выбрасыванием не более
счетного множества точек, а отрезок имеет мощность континуума.
89
Третья аксиома отделимости (аксиома T3 ). Любая точка и не
содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
При этом окрестностью множества M в топологическом пространстве T называют всякое открытое множество U такое, что
M U .
Задача 1. Докажите, что в топологическом пространстве T аксиома T3 выполнена если и только если любая окрестность U произвольной точки x содержит меньшую окрестность той же точки,
входящую в U вместе со своим замыканием.
Как мы уже видели, в произвольном топологическом пространстве точка может быть не замкнутым множеством. Но в пространствах с
первой аксиомой отделимости точка – всегда замкнутое множество. Поэтому аксиома T3 интересна только для пространств с аксиомой T1 . Топологические пространства, удовлетворяющие обеим аксиомам T1 и T3 ,
называются регулярными. Всякое регулярное пространство, очевидно,
хаусдорфово.
Пример 5. Рассмотрим отрезок [0,1], в котором окрестности
всех точек, кроме точки 0 , определяются обычным способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуинтервалы [0,  ), из которого выкинуты точки вида 1 n , n  1,2,.... Получается хаусдорфово
пространство, в котором точка 0 и последовательность { 1 n } – непересекающиеся замкнутые множества, но они неотделимы друг от друга
непересекающимися окрестностями. Докажите это.
Четвертая аксиома отделимости (аксиома T4 ). T1 – пространство называется нормальным, если в нем всякие два непересекающихся
замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.
Утверждение 4. Любое метрическое пространство нормально.
Доказательство. Не вызывает сомнения тот факт, что в метрическом пространстве выполнена аксиома T1 . Пусть теперь X и Y – два
непересекающихся замкнутых множества в метрическом пространстве
R . Каждая точка x  X имеет окрестность O x , непересекающуюся с
Y и, следовательно, находится от Y на некотором положительном расстоянии  x . Аналогично, расстояние каждой точки y  Y от X есть
положительная величина  y . Рассмотрим открытые множества
90
y

и
V   B( y ,
),
U   B( x , x )
2
2
yY
xX
содержащие X и Y соответственно, и покажем, что их пересечение
пусто. Допустим, что z  U  V . Тогда в X существует такая точка
x0 , что  ( x0 , z )   x0 2 , а в Y – такая точка y 0 , что
 ( z , y0 )   y0 2 . Пусть для определенности  x0   y0 . Тогда
 ( x0 , y0 )   ( x0 , z )   ( z , y0 ) 
 x0
2

 y0
2
  y0 ,
т.е. x0  B( y0 ,  y0 ) , но это противоречит определению  y0 . Утверждение доказано.
Всякое подпространство метрического пространства само является метрическим пространством и поэтому всегда обладает свойством
нормальности. В топологических пространствах это, вообще говоря, не
так: подпространство нормального пространства не обязано быть нормальным. Но мы не будем углубляться в эту тему.
Различные способы задания топологии. Прямой способ задать топологию в пространстве – это указать те множества, которые мы
считаем открытыми (например, связное двоеточие). Набор этих мно0
0
жеств должен удовлетворять аксиомам 1 ) и 2 ) топологии. Равносильный этому двойственный способ – указать набор замкнутых
множеств, удовлетворяющий требованиям 11 ) и 21 ) . Однако эти способы редко могут быть применены. Так, например, даже на плоскости
вряд ли можно дать непосредственное описание всех открытых множеств, как это удалось сделать на прямой (см. лекцию № 3, теорема 3).
Распространенный способ задания топологии состоит в выборе
некоторой базы. Фактически именно так и вводится топология в метрических пространствах, где мы, опираясь на метрику, задаем базу – совокупность открытых шаров.
Еще один способ задать топологию в пространстве – это ввести
в нем понятие сходимости. Однако за пределами метрических пространств это неприемлемо, поскольку не всегда переход от множества к
его замыканию можно описать в терминах сходящихся последовательностей, как мы это видели в начале этой лекции.
Можно ввести в пространстве топологию, определив в нем аксиоматически операцию замыкания. Именно, говорят, что в множестве
91
X задана операция замыкания, если каждому множеству A  X поставлено в соответствие некоторое множество [ A ]  X , называемое
замыканием A , причем операция перехода от A к [ A ] обладает свойствами 1) – 4) теоремы 2, лекция № 5. Определив затем замкнутые множества как те, для которых [ A ]  A , можно показать, что этот класс
множеств удовлетворяет условиям 11 ) и 21 ) , т.е. действительно определяет в X топологию.
Задание метрики – один из важнейших способов введения топологии, хотя и не универсальный.
Компактность в топологических пространствах. Фундаментальная роль в анализе принадлежит следующему факту, известному как
лемма Гейне-Бореля:
Из любого покрытия отрезка [ a ,b ] числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Это утверждение останется справедливым, если вместо интервалов (т.е. открытых множеств
вида (  ,  ) ) рассматривать любые открытые множества: из любого
открытого покрытия отрезка [ a ,b ] числовой прямой можно выделить конечное подпокрытие.
Определение 3. Топологическое пространство T называется
компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное
подпокрытие.
Компактное топологическое пространство, удовлетворяющее
аксиоме отделимости Хаусдорфа, называется компактом.
Определение 4. Назовем некоторую систему подмножеств { A }
n
множества T центрированной, если любое конечное пересечение  Ai
i 1
членов этой системы не пусто.
Из сформулированного определения компактности и соотношений двойственности вытекает следующая
Теорема 3. Для того чтобы топологическое пространство T
было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло
условию:
( R ) Каждая центрированная система его замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
Пояснение. Пусть { F } – центрированная система замкнутых
подмножеств топологического пространства T . По определению это
92
означает, что любая конечная подсистема { Fi } системы { F } имеет
n
непустое пересечение:  Fi   . Условие ( R ) означает, что тогда и
i 1
 F   . Теперь приступим к доказательству теоремы 3.

Доказательство. Необходимость. Нам надо доказать, что если
T – компактное топологическое пространство, то в нем выполнено
условие ( R ) . Действительно, пусть { F } – центрированная система
замкнутых подмножеств из T . Множества G  T \ F открыты.
Утверждается, что никакая конечная подсистема из системы { G } не
образует покрытия T . Действительно, для любой конечной подсистемы
{ Gi } имеем:
n
n
i 1
i 1
n
 Gi   ( T \ Fi )  T \  Fi ,
i 1
n
и так как { F } центрирована, то  Fi   . Поэтому { Gi } не обраi 1
зует покрытия T . Но тогда и { G } не образует покрытия пространства T , так как иначе по определению компактности T мы могли бы из
этого открытого покрытия выделить конечное подпокрытие. Но тогда
T \ (  G )   F   , т.е. условие ( R ) выполнено.


Достаточность. Пусть в топологическом пространстве T выполнено условие ( R ) и пусть { G } – открытое покрытие пространства
T.
Положим
F  T \ G .
Тогда
 F   ,

так
как
 F   ( T \ G )  T \ (  G )   ( T   G !). Отсюда делаем за



ключение, что { F } – не центрирована, так как по условию ( R ) тогда
было бы  F   . Тогда существуют такие F1 , F 2 ,...,F n , что

n
 Fi   . Но тогда соответствующие G i  T \ F i образуют конеч-
i 1
ное подпокрытие покрытия { G } , т.е. мы показали, что если в топологическом
пространстве
T
выполнено
93
условие
( R),
то
из
произвольного покрытия его открытыми множествами можно выделить
конечное подпокрытие, а это значит, что условие ( R ) равносильно
компактности пространства T . Теорема доказана.
Теорема 4. Если T – компактное топологическое пространство,
то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
Доказательство. Если некоторое множество X  T не имеет
ни одной предельной точки, то любое его подмножество Y  X также
не имеет ни одной предельной точки, так как в противном случае предельная точка множества Y  X была бы предельной и для X .
Тогда, если топологическое пространство T содержит бесконечное множество X , не имеющее ни одной предельной точки, то в нем
можно взять счетное множество X 1  { x1 , x2 ,...,xn ,...} , также не имеющее ни одной предельной точки. Множества X n  { xn , xn 1 ,...} , вопервых, замкнуты, так как не имеют ни одной предельной точки, вовторых, образуют центрированную систему. Но их пересечение  X n
n
пусто, т.е. T не компактно. Противоречие доказывает теорему.
Теорема 5. Замкнутое подмножество компактного пространства
компактно.
Доказательство. Пусть F – замкнутое подмножество компактного пространства T , и { F } – произвольная центрированная система замкнутых подмножеств подпространства F  T . Тогда каждое
F замкнуто и в T , т.е. { F } – центрированная система замкнутых
множеств и в T . Следовательно  F   . В силу теоремы 4 отсюда

следует компактность F . Теорема доказана.
Так как подпространство хаусдорфова пространства само хаусдорфово, то справедливо
Следствие 1. Замкнутое подмножество компакта есть компакт.
Теорема 6. Компакт замкнут в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве.
Доказательство. Пусть K – компактное множество в хаусдорфовом пространстве T , и пусть y  K . Тогда для любой точки x  K
существуют окрестность U x точки x и окрестность V y точки y такие,
что U x  V y   . Окрестности U x образуют открытое покрытие мно-
94
жества K . В силу компактности K из него можно выделить конечное
n
подпокрытие U x1 ,U x 2 ,...,U x n . Положим V y  V yi . Здесь V yi
–
i 1
окрестность нашей точки y , соответствующая точке xi . Тогда V y не
n
пересекается с  U xi  K . Отсюда следует замкнутость K . Теорема
i 1
доказана.
Теоремы 5 и 6 показывают, что в классе хаусдорфовых пространств компактность есть внутреннее свойство пространства, т.е. всякий компакт остается компактом, в какое бы более широкое
хаусдорфово пространство мы его не включали.
Теорема 7. Всякий компакт представляет собой нормальное
пространство.
Доказательство. Пусть X и Y – два непересекающихся замкнутых подмножества компакта K . Повторив рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 6, легко убедиться в том, что  y  Y
существует такая окрестность U y точки y и такое открытое множество
Oy  X , что U y  O y   . Тем самым доказано, что компакт регулярен.
Пусть теперь y пробегает множество Y . Выберем из покрытия
{ U y } множества Y конечное подпокрытие U y1 ,U y 2 ,...U y n . Тогда
открытые множества
O( 1 )  O y1  ...  O y n и O( 2 )  U y1  ...  U y n
будут удовлетворять условиям
O( 1 )  X , O( 2 )  Y и O( 1 )  O( 2 )   ,
что означает нормальность. Теорема доказана.
95