Пример 3

Сложение и вычитание рациональных дробей
Сложение и вычитание рациональных дробей c одинаковыми
знаменателями
При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями
2
складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например, +
3
7
=
2+3
7
7
5
= .
7
Таким же образом складывают
𝑎
𝑏
𝑎+𝑏
знаменателями: + =
, с0.
𝑐
𝑐
любые
𝑐
𝑐
Пример 1. Сложить дроби
3𝑎−7𝑏
2𝑎+2𝑏
+
15𝑎𝑏
15𝑎𝑏
𝑎2 +9
5𝑎−15
−
6𝑎
5𝑎−15
𝑥 2 −3
𝑥 2 +2𝑥
+
2
𝑎2 +9
5𝑎−15
𝑎2 +9−6𝑎
=
𝑥 2 +2𝑥
−
15𝑎𝑏
одинаковыми
знаменателями
выполняется
5𝑎−15
2𝑥−1
𝑥 2 +2𝑥
=
.
=
15𝑎𝑏
Пример 3. Упростить выражение
Решение.
2𝑎+2𝑏
и
3𝑎−7𝑏+2𝑎+2𝑏
=
15𝑎𝑏
𝑐
3𝑎−7𝑏
Пример 2. Вычесть из дроби
Решение.
с
𝑐
Вычитание дробей с одинаковыми
𝑎
𝑏
𝑎−𝑏
аналогично сложению: − =
, с0.
Решение.
дроби
5𝑎−5𝑏
дробь
=
15𝑎𝑏
6𝑎
5(𝑎−3)
𝑥 2 +2𝑥
+
15𝑎𝑏
=
𝑎−𝑏
3𝑎𝑏
.
Ответ:
𝑎−𝑏
Ответ:
𝑎−3
.
=
𝑎−3
5
2
𝑥 2 +2𝑥
−
2𝑥−1
𝑥 2 +2𝑥
3𝑎
2𝑥−𝑎
5
.
𝑥 2 −3+2−(2𝑥−1) 𝑥 2 −1−2𝑥+1 𝑥 2 −2𝑥 𝑥(𝑥−2) 𝑥−2
=
𝑥 2 +2𝑥
𝑥 2 +2𝑥
=
=
=
𝑥 2 +2𝑥 𝑥(𝑥+2) 𝑥+2
Ответ:
Пример 4. Сложить дроби
3𝑎𝑏
5𝑎−15
(𝑎−3)2
𝑥 2 −3
5(𝑎−𝑏)
=
и
6𝑥
𝑎−2𝑥
𝑥−2
𝑥+2
.
Решение.
Знаменатели
дробей
являются
противоположными
выражениями. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой
6𝑥
6𝑥
дробью. Получим:
=−
. Теперь можно применить правило вычитания
𝑎−2𝑥
2𝑥−𝑎
дробей с одинаковыми знаменателями:
3𝑎
2𝑥−𝑎
−
6𝑥
2𝑥−𝑎
=
3𝑎−6𝑥 −3(2𝑥−𝑎)
2𝑥−𝑎
=
2𝑥−𝑎
= −3.
Ответ: - 3
Задания для самостоятельной работы
1. Выполните сложение или вычитание дробей:
𝑥
𝑦
3
3
1) +
6)
2𝑐−𝑥
𝑏
𝑎
2𝑎
𝑦
𝑦
2) +
−
𝑥
7)
𝑏
𝑚
𝑝
−
𝑥+𝑦
3)
𝑚−𝑝
9
𝑏2
8)
𝑝
2𝑎
𝑥
−
9
3𝑏2
+
𝑎
𝑏
5
5
4) −
9)
2𝑎
2𝑥
3
+
5)
1−𝑥
5𝑏 2
𝑎
10)
3
−
𝑚+𝑞
𝑝
13𝑏2
𝑎
−
𝑚−𝑞
𝑝
2. Выполните действия:
1)
5)
9)
𝑥+5
9
𝑥+2
−
8𝑐+25
6𝑐
2)
9
5−2𝑐
+
17−12𝑥
𝑥
6)
6𝑐
+
10−𝑥
7𝑦−13
10𝑦
2𝑥−3𝑦
10)
𝑥
4𝑥𝑦
−
+
12𝑝−1
3𝑝2
2𝑦+3
3)
10𝑦
11𝑦−2𝑥
7)
4𝑥𝑦
−
𝑎+𝑏
𝑎−2𝑏
−
6
5𝑎+𝑏5
8𝑏
4)
6
−
5𝑎−7𝑏5
8𝑏
8)
11𝑥−5
14𝑥
3𝑥−𝑦 4
4𝑦 5
+
3𝑥−2
14𝑥
𝑦 4 +3𝑥
−
4𝑦 5
1−3𝑝
3𝑝2
3. Выполните действия:
1)
4)
𝑎−2
8𝑎
+
7𝑦−5
12𝑦
2𝑎+5
8𝑎
−
3−𝑎
−
2)
8𝑎
10𝑦−19
12𝑦
+
10−15𝑦
5)
12𝑦
7)
11𝑎−2𝑏
4𝑎
5𝑐−2𝑑
4𝑐
+
2𝑎−3𝑏
4𝑎
3𝑑
−
4𝑐
+
−
𝑎−𝑏
3)
4𝑎
𝑑−5𝑐
6)
4𝑐
8)
9)
3𝑝−𝑞
5𝑝
2𝑎
𝑏
−
4𝑏−2
3𝑏
−
2𝑝+6𝑞
5𝑝
1−6𝑎
𝑏
−
+
2𝑏−1
3𝑏
+
𝑝−4𝑞
5𝑝
13−8𝑎
𝑏
+
1
3𝑏
10)
4. Упростите выражение:
1)
5)
9)
16
𝑥−4
−
𝑥−3
𝑥 2 −64
𝑥2
2)
𝑥−4
11
+
𝑥 2 −64
𝑥 2 +25
10𝑥
(𝑥−5)
(5−𝑥)3
+
3
6)
3𝑎−1
3𝑏−1
𝑎2 −𝑏
𝑎2 −𝑏2
−
2
𝑥2
(𝑥−5)
10)
−
2
𝑥2
𝑥 2 −16
3)
25
7)
(5−𝑥)2
−
2𝑎+𝑏
2𝑏−5𝑎
(𝑎−𝑏)
(𝑎−𝑏)2
+
2
64−2𝑎𝑏
(𝑎−8)2
+
2𝑎𝑏−𝑎2
4)
25
𝑎+5
8)
(8−𝑎)2
8(𝑥−2)
𝑥 2 −16
5. Найдите значение выражения:
1)
3)
5)
𝑥 2 +1
𝑥−3
−
𝑎2 −43
𝑎−6
9𝑏−1
𝑏2 −9
10
𝑥−3
+
−
при х=97
7
𝑎−6
при а=10,25
6𝑏−10
𝑏2 −9
при b=3,5
2)
4)
6)
𝑦+7
𝑦 2 −25
𝑎2 −12𝑏
𝑎2 −3𝑎𝑏
2𝑦+2
𝑦 2 −25
−
𝑥 2 −2𝑦
𝑥 2 +𝑥𝑦+2𝑥
7)
8)
9)
10)
6. Упростите выражение:
−
при у= - 51
3𝑎𝑏−4𝑎
𝑎2 −3𝑎𝑏
−
при а= - 0,8; b= - 1,75
4−𝑥𝑦
𝑥 2 +𝑥𝑦+2𝑥
при х=20, у=22,5
−
𝑎2
𝑎+5
1)
5)
9)
5𝑝
+
2𝑞−𝑝
𝑎
𝑎2 −9
+
𝑎
2𝑎−𝑏
+
10𝑞
2)
𝑝−2𝑞
3
6)
9−𝑎2
3𝑎−𝑏
𝑎2 +16
𝑎−4
2𝑚
𝑚−𝑛
10)
𝑏−2𝑎
+
𝑦2
𝑦−1
8𝑎
+
3)
4−𝑎
2𝑛
7)
𝑛−𝑚
10𝑝
𝑝−𝑞
3𝑝
+
4)
𝑞−𝑝
𝑥 2 +9𝑦 2
𝑥−3𝑦
+
6𝑥𝑦
8)
3𝑦−𝑥
𝑥−3
𝑥−1
5𝑎
𝑎−𝑏
2
−
1−𝑥
+
5𝑏
𝑏−𝑎
1
+
1−𝑦
7. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:
1)
6)
𝑥 2 +𝑦 2
2)
𝑥4
𝑦+𝑧 2
7)
𝑧
2𝑥−𝑦
3)
𝑏
𝑎2 −2𝑎+4
8)
𝑎
𝑎2 +1
4)
2𝑎
5𝑛−12
9)
𝑚
𝑎2 −3𝑎𝑏
5)
𝑎3
36−𝑎2
𝑥+2
10)
𝑎2
𝑥
𝑏2 +3𝑏−6
𝑏
Сложение и вычитание рациональных дробей c разными знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями сводится к
сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями.
𝑎
𝑐
Пусть нужно сложить дроби
и . Приведем эти дроби к общему
𝑏
𝑑
знаменателю bd. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на
𝑎
𝑎𝑑 𝑐
d, а числитель и знаменатель второй дроби умножим на b. Получим: = , =
𝑐𝑏
𝑑𝑏
𝑏
.
Теперь можно воспользоваться правилом
𝑎
𝑐
𝑎𝑑
𝑐𝑏
𝑎𝑑+𝑐𝑏
одинаковыми знаменателями: + = + =
.
𝑏
𝑎
𝑏
𝑏𝑑 𝑑
𝑑
𝑏𝑑
𝑑𝑏
сложения
дробей
с
𝑑𝑏
Аналогично поступают при вычитании дробей с разными знаменателями:
𝑎𝑑
𝑐𝑏
𝑎𝑑−𝑐𝑏
− = − =
.
𝑐
𝑑
𝑏𝑑
𝑑𝑏
𝑑𝑏
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями часто
удается найти более простой общий знаменатель, чем их произведение.
Пример 1. Сложить дроби
𝑥
4𝑎3 𝑏
и
5
6𝑎𝑏4
.
Решение. Общий знаменатель дробей равен 12𝑎3 𝑏4 . Дополнительные
множители равны 3𝑏 3 и 2𝑎2 .
𝑥
4𝑎3 𝑏
+
5
6𝑎𝑏4
=
𝑥∙3𝑏3 +5∙2𝑎2
12𝑎3 𝑏4
=
3𝑥𝑏3 +10𝑎2
12𝑎3 𝑏4
.
Ответ:
Пример 2. Преобразуйте выражение
Решение.
=
3𝑏+3𝑎
𝑎𝑏(𝑎+𝑏)
=
𝑎+3
𝑎2 +𝑎𝑏
−
3(𝑏+𝑎)
𝑏−3
𝑎𝑏+𝑏2
=
=
𝑎+3
𝑎(𝑎+𝑏)
−
𝑎+3
𝑎2 +𝑎𝑏
𝑏−3
𝑏(𝑎+𝑏)
=
−
𝑏−3
𝑎𝑏+𝑏2
3𝑥𝑏3 +10𝑎2
12𝑎3 𝑏4
.
(𝑎+3)𝑏−(𝑏−3)𝑎
𝑎𝑏(𝑎+𝑏)
=
𝑎𝑏+3𝑏−𝑎𝑏+3𝑎
𝑎𝑏(𝑎+𝑏)
=
3
𝑎𝑏(𝑎+𝑏) 𝑎𝑏
Ответ:
3
𝑎𝑏
Пример 3. Упростите выражение 𝑎 − 1 −
Решение. 𝑎 − 1 −
𝑎2 −3
𝑎−1
=
𝑎+1
𝑎2 −3
−
1
𝑎+1
=
𝑎2 −3
.
𝑎+1
(𝑎−1)(𝑎+1)
−
𝑎+1
𝑎2 −3
𝑎+1
=
𝑎2 −1−𝑎2 +3
𝑎+1
2
=
.
𝑎+1
Ответ:
2
𝑎+1
Задания для самостоятельной работы
1. Выполните сложение или вычитание дробей:
𝑥
𝑦
2
3
1) +
6)
17𝑦
24𝑐
𝑎
𝑏2
𝑏
𝑎
𝑞
𝑝
𝑝
𝑞
2) −
25𝑦
−
7) +
36𝑐
3)
8)
5𝑥
8𝑦
𝑎
5𝑐
+
+
𝑥
𝑐
𝑑
4
12
4) −
4𝑦
3𝑎
9)
4𝑐
5𝑎
−
18𝑏
5)
7𝑎
3
2𝑥
10)
45𝑏
−
𝑚
2
3𝑥
−
𝑝
𝑞
3𝑝
2. Выполните сложение или вычитание дробей:
1)
6)
5𝑦−3
6𝑦
7𝑥+4
8𝑦
+
−
𝑦+2
2)
4𝑦
3𝑥−1
𝑏+2
15𝑏
−
3𝑐−5
3)
45𝑐
7)
6𝑦
3𝑥+5
35𝑥
+
𝑥−3
4)
21𝑥
8)
8𝑏+𝑦
40𝑏
−
6𝑦+𝑏
5)
30𝑦
9)
15𝑎−𝑏
12𝑎
−
𝑎−4𝑏
9𝑎
10)
3. Выполните действия:
1)
5)
9)
𝑥−𝑦
𝑥𝑦
−
3𝑚−𝑛
3𝑛𝑚2
𝑐 2 +𝑥 2
𝑐 2𝑥5
𝑥−𝑧
2)
𝑥𝑧
−
−
2𝑛−𝑚
2𝑚𝑛2
𝑐+𝑥
6)
𝑝−𝑞
𝑝+𝑞
𝑝3 𝑞
𝑝2 𝑞 3
2𝑥−7𝑦
2𝑥 2 𝑦
10)
𝑐 3𝑥4
−
2
−
𝑎2 −𝑎+1
𝑎3 𝑥
3)
5𝑦−8𝑥
7)
5𝑥𝑦 2
−
3𝑏+2𝑐
−
9𝑏2 𝑐
2𝑐−5𝑏
3𝑏2 −5𝑏−1
𝑏2𝑦
4)
6𝑏𝑐 2
+
5𝑏−3
8)
𝑏𝑦
𝑎−2𝑏
3𝑏
−
𝑏−2𝑎
3𝑎
1+𝑐
𝑐 3 +𝑦 4
𝑐 3𝑦
𝑐 2𝑦8
−
4
𝑥 2 −1
𝑎𝑥 3
4. Преобразуйте в дробь выражение:
1) 𝑥 +
1
2) 3𝑎 −
𝑦
6) 5𝑏 −
2
7) 2𝑝 −
𝑏
𝑎
3)
4
4𝑝2 +1
2𝑝
𝑎2 +𝑏
𝑎
8) 𝑐 −
−𝑎
4)
(𝑏+𝑐)2
(𝑎−𝑏)2
+𝑏
2𝑎
9) 5𝑦 2 −
2𝑏
15𝑦 2 −1
3
1
5) − 𝑎
𝑎
10) 𝑎 + 𝑏 −
𝑎−3
3
5. Представьте в виде дроби:
𝑎
1) 1 − −
5
5) 3 −
9) 𝑥 −
𝑏
4
2𝑥−𝑦
4
9
𝑥−3
2)
+
𝑥+4𝑦
−3
12
𝑎−2
2
−1−
3
5
𝑥
𝑥
6) − 2 −
10) 𝑎2 −
6. Представьте в виде дроби:
𝑎−3
𝑎4 +1
𝑎2 −1
3
3) 4𝑎 −
7)
+1
6𝑎−4𝑏
5
𝑎−1
4
−
−
𝑎+2
𝑏+7𝑎
3
3
−2
4) 𝑥 −
𝑥−𝑦
2
+
𝑥+𝑦
1
1
𝑎
𝑏
8) 12 − −
4
1)
6)
𝑏−𝑐
+
𝑏
𝑝
3𝑝−1
𝑏
2)
𝑏+𝑐
𝑝
−
7)
3𝑝+1
𝑚
𝑚−𝑛
𝑎+𝑏
−
−
2𝑎
𝑛
3)
𝑚+𝑛
𝑏
𝑎
−
𝑎+2
𝑎
4)
𝑎−2
8)
𝑥+1
𝑥−2
−
𝑥+3
5)
𝑥
9)
2𝑎
2𝑎−1
−
1
2𝑎+1
10)
𝑎+𝑏
7. Выполните действия:
1)
6)
1
2𝑎
4−2𝑎3
+
7
2)
𝑎10
2𝑥𝑦−1
−
4𝑥 3
3𝑦−𝑥
7)
6𝑥 2
2𝑎−3𝑏
𝑎2 𝑏
1−𝑏2
+
3𝑎𝑏
4𝑎−5𝑏
+
3)
𝑎𝑏2
3𝑏3 −1
1−𝑥
+
𝑥3
1
4)
𝑥2
8)
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
+
𝑎2
𝑥−2𝑦
5)
𝑎𝑏
9)
𝑥𝑦 2
−
2𝑦−𝑥
𝑥2𝑦
10)
6𝑎𝑏2
8. Представьте в виде дроби:
1)
1
𝑎𝑏
+
1
𝑎𝑐
+
1
2)
𝑏𝑐
5)
𝑏−𝑎
+
𝑎𝑏
𝑐−𝑏
−
𝑏𝑐
𝑐−𝑎
3)
𝑎𝑐
6)
9)
7)
𝑎𝑏−𝑏
𝑎
𝑎𝑏−𝑎
−
𝑏
3𝑎𝑏+2𝑏2
𝑎𝑏
−
𝑎2 −𝑏2
−
4)
𝑎𝑏
𝑎+2𝑏
+
𝑎
𝑎−2𝑏
8)
𝑏
10)
9. Преобразуйте в дробь выражение:
1)
5)
9)
3𝑥
2𝑦
−
5(𝑥+𝑦)
𝑎2
3(𝑥+𝑦)
𝑏2
−
5(𝑎−𝑏)
𝑏2 −4𝑏𝑦
2𝑎2 −𝑏𝑦
2)
6)
4(𝑎−𝑏)
−
4𝑦
3
𝑎𝑥−𝑎𝑦
13𝑐
2
3)
𝑏𝑦−𝑏𝑥
12𝑏
−
𝑏𝑚−𝑏𝑛
10)
𝑏−2𝑦
+
7)
𝑐𝑛−𝑐𝑚
4𝑦
3𝑥 2 +2𝑥𝑦
−
𝑎
2𝑥+4
𝑝
2𝑥+1
−
−
𝑎
3𝑥+6
𝑝
3𝑥−2
𝑝
4)
7𝑎−14
𝑎2
8)
𝑎𝑥−𝑥 2
+
+
1
2−𝑎
𝑥
𝑥−𝑎
9𝑥
3𝑥𝑦+2𝑥
10. Преобразуйте выражение:
1)
𝑎2 +3𝑎
𝑎𝑏−5𝑏+8𝑎−40
−
𝑎
𝑏+8
4)
2)
𝑦
3𝑥−2
−
3𝑦
6𝑥𝑦+9𝑥−4𝑦−6
5)
7)
3)
6)
8)
𝑥2
3𝑎𝑥−2−𝑥+6𝑎
3𝑥
2𝑦+3
+
−
𝑥
3𝑎−1
𝑥 2 +3𝑥
4𝑥𝑦−3−2𝑦+6𝑥
9)
10)
Дополнительные задания
1. Преобразуйте в дробь выражение:
1)
5)
𝑏−6
4−𝑏2
+
𝑎+4
𝑎2 −2𝑎
2
2𝑏−𝑏2
−
𝑎
𝑎2 −4
2)
6)
𝑥−12𝑎
𝑥 2 −16𝑎2
(𝑎+𝑏)2
𝑎2 +𝑎𝑏
−
+
4𝑎
4𝑎𝑥−𝑥 2
(𝑎−𝑏)2
𝑎2 −𝑎𝑏
3)
7)
𝑏
𝑎𝑏−5𝑎2
4−𝑥 2
16−𝑥 2
−
−
15𝑏−25𝑎
𝑏2 −25𝑎2
𝑥+1
𝑥+4
4)
8)
𝑎−30𝑦
𝑎2 −100𝑦 2
𝑥+1
𝑥 2 −𝑥
−
−
10𝑦
10𝑎𝑦−𝑎2
𝑥+2
𝑥 2 −1
9)
3
+
2𝑏+1
𝑏+7
10)
1−4𝑏2
𝑎+3
𝑎2 −1
−
1
𝑎2 +𝑎
2. Выполните действия:
1)
5)
9)
𝑎2 +𝑏2
𝑎3 +𝑏
1
−
3
1
2𝑥−𝑏
+
2𝑦 2 +16
𝑦 3 +8
2)
𝑎+𝑏
6𝑏𝑥
+
𝑎2 −𝑎+1
𝑎2
3)
𝑎3 +1
6)
𝑏3 −8𝑥 3
−
1−𝑎
2
1
𝑝−𝑞
−
3𝑝𝑞
4)
𝑝3 −𝑞 3
7)
6𝑎3 +48𝑎
𝑎3 +64
3𝑎2
−
𝑎2 −4𝑎+16
8)
10)
𝑦+2
3. Преобразуйте в дробь выражение:
1)
4)
7)
4
𝑦+2
3
−
1
2𝑏−2𝑎
+
𝑦−2
1
+
𝑥−𝑦
𝑥 2 +𝑥𝑦+𝑦
12
2𝑏+2𝑎
−
2
2)
𝑦 2 −4
+
3𝑥𝑦
𝑥 3 −𝑦
𝑎2
𝑎2 𝑏−𝑏3
+
3
1
𝑥−𝑦
5)
8)
2𝑎+𝑏
2𝑎2 −𝑎𝑏
𝑎
𝑎−6
−
−
16𝑎
4𝑎2 −𝑏2
3
𝑎+6
2𝑎2 +7𝑎+3
𝑎3 −1
+
−
−
2𝑎−𝑏
2𝑎2 +𝑎𝑏
𝑎2
6)
36−𝑎3
1−2𝑎
𝑎2 +𝑎+1
3)
−
3
𝑎−1
9)
𝑥−2
𝑥 2 +2𝑥+4
1
(𝑎−3)2
1
𝑎−4𝑏
−
−
−
6𝑥
𝑥 3 −8
2
+
𝑎2 −9
1
𝑎+4𝑏
−
+
1
𝑥−2
1
(𝑎+3)2
2𝑎
16𝑏2 −𝑎2
10)
4. Докажите тождество:
1)
6𝑥
𝑥+3
=6−
18
2)
𝑥+3
𝑎𝑥
𝑥+𝑏
5)
6)
9)
10)
=𝑎−
𝑎𝑏
3)
4)
7)
8)
𝑥+𝑏
5. При каком значении а тождественно равны выражения:
1)
5)
9)
2𝑥
𝑥+3
2𝑥
3−𝑥
𝑥
𝑥−5
и2+
и
𝑎
3−𝑥
и1+
𝑎
2)
𝑥+3
𝑥+2
5−𝑥
и
𝑎
5−𝑥
−1
6)
−2
𝑎
3)
4)
7)
8)
10)
𝑥−5
6. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
1)
6)
𝑥 2 −3𝑥+6
𝑥−3
−2𝑥
𝑥−1
2)
7)
𝑦 2 +5𝑦−8
𝑦+5
2𝑥
5−𝑥
3)
8)
𝑎2 +7𝑎+2
𝑎+6
𝑥−3
2−𝑥
4)
9)
3𝑏2 −10𝑏−1
𝑏−3
5)
5𝑥
𝑥+2
10)