Document 4527175

09.02.2016 ЕН.01 Математика
Задание
Выполнить первую часть практической работы № 1 (под своим вариантом), отправить по
эл. адресу z23061958@gmail.com в файле со своей фамилией и номером группы.
Для этого выполните:
1. Конспект по теории пределов и способами раскрытия неопределенностей.
Смотри Приложения 1 и 2.
Задания для самостоятельной работы:
I вариант
II вариант
Первая часть
5х  2
а) lim
х 4 2 х  3
а)
3  2х
х 1
б)
б)
lim
х 
в)
2
х 0
3x  8
4x  2
а)
lim
3x  5
2x  7
б)
х 2
в)
х 6
г) lim
lim
х 
 36
lim хх  6
sin 2 x
x
lim
х5
г)
III вариант
x5
x
lim
х 0
2
 25
x
sin 3 x
lim
х3
4х  2
5х  1
lim 14 х 8 х5
х 
в)
lim хх 39
2
х3
г)
lim sinx5x
х 0
Приложения 1
Практическая работа №1
“ Вычисление пределов различными способами ”
Цель работы:
На конкретных примерах научиться вычислять пределы различными способами.
Содержание работы:
Типы неопределенностей и методы их раскрытия
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение
теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о
пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти
теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
0
I. Неопределенность вида
0
Пример 1. Вычислить предел lim
x5
х5 x 2  25
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается
0
неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на
0
2
множители: х -25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5), на который можно
сократить дробь. Заданный предел примет вид: lim
1
х
х5  5
результат: lim
x5
х5 x  25
2
х5
= lim
х5 х  25
2
1
х5 х  5
= lim
=
. Подставив х=5, получим
1
10
2
 5х  6
Пример 2. Вычислить предел lim х 2
х3
х 9
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается
0
неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на
0
множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел,
знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот
предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.
2
( x  3)( x  2)
x  2 3 2 1
х  5х  6 
lim ( x  3)( x  3)  lim x  3  3  3  6
2
x3
х3
x3
х 9
lim
Пример 3. Вычислить предел lim
х0
sin 2 x
sin 3x
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается
0
неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным
0
sin x
x
 1 и его следствием lim
 1 . После чего предел легко
х0 x
х0 sin x
пределом lim
вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.
sin 2 x
sin 2 x
3x
2
2
2
 lim (

 )  11 
lim
2 x sin 3x 3
3 3
x0
х0 sin 3x
I I. Неопределенность вида


1  8х
х  4х  5
Пример 4. Вычислить предел lim
Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности (  ) видим, что получается

неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на

наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:
1 8х

1  8х
= lim 4х х х5
lim
х  4х  5 х 

х
х
1
8
= lim x 5  0  8   8  2 , т.к. величины 1 , 5 являются
40
4
x x
х  4 
x
бесконечно малыми и их пределы равны 0.
Приложения 2
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
Приведём без доказательства основные теоремы о пределах функций,
полагая, что lim f ( x ) и lim g( x ) существуют.
xa
xa
Теорема 1. Предел константы равен самой этой константе: lim c  c .
x a
Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim (k  f ( x ))  k  lim f ( x ) .
x a
x a
Теорема 3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности)
пределов этих функций: lim (f ( x )  g( x ))  lim f ( x )  lim g( x ) .
x a
x a
x a
Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению
пределов этих функций: lim (f ( x )  g( x ))  lim f ( x )  lim g( x ) .
x a
x a
x a
Теорема 5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций, если предел знаменателя не равен 0 :
f (x)
f ( x ) lim
x a
,
lim

lim g( x )  0 .
x a g ( x )
x a
lim g( x )
x a
Сформулированные теоремы справедливы и в случае, когда x   .
Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.
3  2x
.
x 4 x 2  4
Применяя теоремы 1-5, находим
lim (3  2x )
lim 3  2 lim x
3  2x
3 24 5
1
lim 2
 x 4 2
 x 4 2 x 4 

 .
x 4 x  4
16  4
20
4
lim ( x  4)
lim x  lim 4
Пример 1. Найти lim
x 4
x 4
x 4
x 2 1
Пример 2. Найти lim 2
.
x 1 x  2x  3
lim ( x 2  1)
lim x 2  lim 1
x 2 1
x 1
x 1
x 1
lim 2


 0.
2
2
x 1 x  2 x  3
lim ( x  2x  3) lim x  2 lim x  lim 3
x 1
7x  8
.
x 11  x 2
Пример 3. Найти lim
x 1
x 1
x 1
Так как
lim (1  x 2 )  0 , то мы не можем воспользоваться теоремой 5.
x 1
Заметим, однако, что знаменатель данной дроби при x  1 не равен нулю, а
стремится к нему, то есть неограниченно уменьшается по абсолютной
величине, оставаясь отличным от нуля. При этом lim (7 x  8)  1 . Таким
x 1
образом, чем ближе значение x к (-1), тем большей становится абсолютная
7x  8
7x  8
величина дроби
, поэтому lim
 .
2
x  11  x 2
1 x
f (x)
Пусть lim f ( x )  lim g( x )  0 . В данном случае о пределе частного lim
x a
x a
xa g ( x )
ничего определённого сразу сказать нельзя. Этот предел зависит от закона
изменения функций f ( x ) и g ( x ) . Если, например, f ( x )  x 4 , g( x )  x 2 ,
f (x)
x4
 lim 2  lim x 2  0 .
a  0 , то lim
x 0 g ( x )
x 0 x
x 0
f (x)
2x
 lim
 2.
Если же f (x)  2x , g( x )  x , то lim
x 0 g ( x )
x 0 x
f (x)
x
1
lim
 lim 2  lim   .
Или при f ( x )  x , g( x )  x 2 , получаем
x 0 g( x )
x 0 x
x 0 x
Таким образом, знание пределов функций f ( x ) и g ( x ) не позволяет
судить о поведении их отношения: необходимо знать сами функции и
непосредственно исследовать отношение. Поэтому говорят, что когда
lim f ( x )  lim g( x )  0 , выражение lim f ( x ) / g( x )  представляет
xa
x a
xa
0
неопределён-ность вида   .
0
x 2  25
Пример 4. Найти lim 2
.
x 5 x  6 x  5
Так как
lim (x 2  25)  lim (x 2  6x  5)  0 ,
x 5
x 5
0
то данный предел является неопределённостью вида   , и мы не можем
0
воспользоваться теоремой 5.
Однако при x  5 данную дробь можно сократить:
x 2  25
( x  5)( x  5) x  5


.
x 2  6x  5 ( x  1)( x  5) x  1
Поэтому
x  5 10 5
x 2  25
0
  .
=   = lim
lim 2
x 5 x  6 x  5
 0  x 5 x  1 4 2
Пример 5. Найти lim
x 1
3 x 2
.
x 1
0
  . Но,
0
в отличие от примера 4, данную дробь нельзя сразу сократить на ( x  1) .
Поэтому предварительно преобразуем функцию, умножив числитель и
знаменатель на ( 3  x  2 ) - выражение, сопряжённое числителю.
Получим
( 3  x  2)( 3  x  2)
x 1
.

( x  1)( 3  x  2)
( x  1)( 3  x  2)
Так как при рассмотрении данного предела x  1 , то
3 x  2 0
1
1
lim
    lim
 .
x 1
x 1
 0  x 1 3  x  2 4
Этот предел, как и в примере 4, является неопределённостью вида
3x 2  2
Пример 6. Найти lim 2
.
x  x  4x  5
При x   значение x неограниченно возрастает, поэтому и числитель,
и знаменатель дроби неограниченно увеличиваются, т. е.
lim (3x 2  2)  lim (x 2  4x  5)   .
x 
x 

В этом случае говорят, что предел является неопределённостью вида  

.
Так же, как и в рассмотренных выше примерах, ничего определённого о
f (x)
пределе частного lim
сразу сказать нельзя, если lim f ( x )  lim g( x )  
x 
x 
x  g ( x )
.
Чтобы вычислить данный предел (или, как говорят, раскрыть
неопределённость), разделим числитель и знаменатель дроби на x 2 старшую степень аргумента:
2
3 2
2
3x  2
x

.
2
4 5
x  4x  5
1  2
x x
1
1
Так как lim  lim 2  0 , то, используя теоремы 1,2,3,5, получаем
x  x
x  x
2
)
2
3
x 
3x  2
x
lim 2

=  3.
x  x  4 x  5
4 5
1
lim (1   2 )
x 
x x
2
100 x  195
Пример 7. Найти lim
.
x 
x3 1

Этот предел также является неопределённостью вида   . Чтобы

раскрыть её, разделим числитель и знаменатель дроби на x 3 - старшую
степень аргумента:
100 195
100 195
 3
lim (
 3)
2
100 x  195
x 
x
x
x
x  0  0.
lim

lim

x 
x 
1
1
1
x3 1
1 3
lim (1  3 )
x 
x
x
4
2
x  4x  x
Пример 8. Найти lim 2
.
x  2 x  5 x  7
x 4 - старшая степень аргумента, поэтому
4
1
1 2  3
4
2
x  4x  x
x
x .
lim 2
 lim
x  2 x  5x  7
x  2
5
7
 3 4
2
x
x
x
Так как
1
lim   0 при всех   0 ,
x  x
то
4
1
2
5
7
lim (1  2  3 )  1, lim ( 2  3  4 )  0 .
x 
x  x
x
x
x
x
Однако подчеркнём, что знаменатель не равен нулю, а лишь стремится к нему,
неограниченно уменьшаясь по абсолютной величине с ростом x .
Поэтому
4
1
1 2  3
4
2
x  4x  x
x
x  .
lim 2
 lim
x  2 x  5x  7
x  2
5
7


x2 x3 x4
2
lim (3 