АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЙ

advertisement
УДК 517.55+512.71
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЙ
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА
Ефимов Ф.А.
Научный руководитель д-р физ.-мат. наук Цих А.К.
Сибирский федеральный университет
Подготовительная теорема Вейерштрасса (Vorbereitunsatz) возникла в связи с
вопросом о структуре множества нулей голоморфных функций многих комплексных
переменных. Обычно в книгах по комплексному анализу приводится доказательство
этой теоремы, принадлежащее А. Пуанкаре (см., например книгу В.Б. Шабат [1]). Оно
использует формулу логарифмического вычета для степенных сумм корней и
рекуррентные формулы Ньютона.
В настоящей работе приводится алгебраическое доказательство подготовительной
теоремы. Это доказательство было намечено Л. Штикельбергером в 1887г.[2]. В книге
[3] приводится доказательство Штикельбергера при одном дополнительном условии.
Цель настоящей работы привести полное алгебраическое доказательство
подготовительной теоремы на основе идеи Штикельбергера.
Пусть  – поле. Через [1 , … ,  ] обозначим кольцо многочленов переменных
1 , … ,  с коэффициентами из k. Элементы этого кольца записываются в виде:
=
∑    =
∈⊂ℕ
∑


1 … 1 1 …   .
=(1 ,…, )∈
(Здесь ℕ = {0, 1, 2, … } – множество натуральных чисел, включая 0). Очевидны
следующие включения:
[1 , … ,  ] ⊂ 〈1 , … ,  〉 ⊂ [[1 , … ,  ]],
где 〈1 , … ,  〉 – кольцо сходящихся степенных рядов (т.е. с непустыми областями
сходимости). [[1 , … ,  ]] – кольцо формальных степенных рядов.
Мы предполагаем, что  = ℂ – поле комплексных чисел.
Обозначим 〈1 , … ,  〉 ≔  . Тогда +1 ≔ 〈1 , … ,  , 〉 можно представить в
виде +1 = +1 〈〉, т.е. в виде кольца степенных рядов от , коэффициенты которых
– ряды от 1 , … ,  . Справедливость такого представления следует из возможности
группирования членов абсолютно сходящегося ряда:
∞
∑
∈ℕ+1

1 … +1 1 1

…  

+1
= ∑ (
∑
+1 =0 (1 ,…, )∈ℕ


1 … 1 1 …   ) +1 .

Теорема. Пусть  = ∑∞
0 (0) = ⋯ = −1 (0) = 0 ,
=0   ∈  〈〉 , причем
 (0) ≠ 0. Тогда существует обратимый элемент  ∈ +1 и многочлен  ∈  []
степени  такие, что g= .
Доказательство.
Вначале докажем утверждение при g  ≡ 1. В этом случае мы можем записать:
g =   ( + 1),
 ≔  + ,
∞
−1
 ≔ ∑ g  () − ,
 ≔ ∑ g  ()  − .
=0
>
Тогда  есть ряд Лорана по , главная часть которого конечна и равна . Поскольку
g  (0) = 0 при 0 ≤  < , для любого > 0 существует такой набор  = (1 , … ,  ) ∈ + ,
что g 0 , … , g −1 являются голоморфными функциями в полицилиндре  ≔ { =
(1 , … ,  ) ∈ ℂ : |1 | < 1 , … , | | <  } и |g  ()| <  для всех  ∈ , 0 ≤  < .
Для каждого  > 0 функция
(, ) =
g 0 () g1 ()
g −1 ()
+
+
⋯
+

 −1

голоморфна как функция на прямом произведении полицилиндра  и кругового

1
 
1
кольца ≔ { ∈ ℂ: 2 < || < }. Если  < 2 и  < 2 ( 2) , то, очевидно, |(, )| < 2
−
для всех (, ) ∈  × . При достаточно малых  и  функция (, ) = ∑∞
> g  () 
также голоморфна в  ×  . При этом, поскольку  содержит множитель , то  и 
1
можно выбрать так, чтобы |(, )| < 2 для всех (, ) ∈  ×  . Тогда  =  + 
голоморфна в  ×  и |(, )| < 1. Таким образом, в области  ×  ⊂ ℂ+1 логарифм
2 3
ln(1 + ) =  −
+
−⋯
2
3
является однозначной голоморфной функцией. По теореме Лорана ln(1 + )
разлагается в ряд Лорана по  с коэффициентами, голоморфными в  ; разумеется,
главная часть этого ряда не обязана быть конечной. Напишем
ln(1 + ) =  + 
где  ∈ +1 – тейлоровская часть, B – главная часть по . Поскольку
exp(ln(1 + )) = 1 + ,


Где exp  = ∑∞
0 ! , равенство g =  ( + 1), верное в  × , принимает вид
g exp(−) =   exp().
(1)
Здесь в левой части стоит функция, голоморфная в окрестности 0 ∈ ℂ+1 и,
следовательно, ряд Тейлора по  . С другой стороны, ряд Лорана для exp() = 1 +
+ + …, кроме свободного члена 1, содержит лишь отрицательные степени . Поэтому
в правой части (1) стоит ряд по убывающим степеням , начинающийся с   . Ввиду
однозначности разложения в ряд Лорана  ≔   exp() есть многочлен степени  по 
с коэффициентами, голоморфными в окрестности точки 0 ∈  , и со старшим
коэффициентом 1. Положим  ≔ exp(). Тогда  – обратимый элемент в +1 и g= .
Из равенств
g(0, y) = y b (1 + g b+1 y + ⋯ ) = (0, y)(  + ⋯ )
и из того, что (0,0) ≠ 0, следует, как и выше, что  - многочлен Вейерштрасса.
Пусть теперь g  () – произвольный степенной ряд с условием g  (0) ≠ 0 . Тогда
g  () ≠ 0 в некоторой окрестности  = 0. Поэтому корректно определена дробь:
−1
∞
=0
>
g  () −
g
g  () −
=∑

+  + ∑
 .
g  ()
g  ()
g  ()
Заметим, что
g (0)
g (0)
= 0, при 0 ≤  < . Тогда с учетом доказанного выше получаем
представление:
g
= ,
g  ()
где  – обратимый элемент в +1 ,  – многочлен Вейерштрасса. Отсюда
g = g  () = ̃ ,
где ̃ = g  () – обратимый элемент в +1 , так как g  (0) ≠ 0.
Список литературы.
1. Б.В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть 2. М.: Наука, 1976.
2. L. Stikelberger. Über einen Satz des Herrn Noether//Math. An. 1887, Bd.30, s.401-409.
3. Г. Грауэрт, Р. Реммерт. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.(H.
Grauert, R.Remert. Analytische Stellenalgelren. Springer-Verlag Berlin Heidelberg
New York, 1971).
Скачать