АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЙ

УДК 517.55+512.71
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЙ
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА
Ефимов Ф.А.
Научный руководитель д-р физ.-мат. наук Цих А.К.
Сибирский федеральный университет
Подготовительная теорема Вейерштрасса (Vorbereitunsatz) возникла в связи с
вопросом о структуре множества нулей голоморфных функций многих комплексных
переменных. Обычно в книгах по комплексному анализу приводится доказательство
этой теоремы, принадлежащее А. Пуанкаре (см., например книгу В.Б. Шабат [1]). Оно
использует формулу логарифмического вычета для степенных сумм корней и
рекуррентные формулы Ньютона.
В настоящей работе приводится алгебраическое доказательство подготовительной
теоремы. Это доказательство было намечено Л. Штикельбергером в 1887г.[2]. В книге
[3] приводится доказательство Штикельбергера при одном дополнительном условии.
Цель настоящей работы привести полное алгебраическое доказательство
подготовительной теоремы на основе идеи Штикельбергера.
Пусть 𝑘 – поле. Через 𝑘[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ] обозначим кольцо многочленов переменных
𝑋1 , … , 𝑋𝑛 с коэффициентами из k. Элементы этого кольца записываются в виде:
𝑃=
∑ 𝑐𝛼 𝑋 𝛼 =
𝛼∈𝐴⊂ℕ𝑛
∑
𝛼
𝛼
𝑐𝛼1 …𝛼𝑛 𝑋1 1 … 𝑋𝑛 𝑛 .
𝛼=(𝛼1 ,…,𝛼𝑛 )∈𝐴
(Здесь ℕ = {0, 1, 2, … } – множество натуральных чисел, включая 0). Очевидны
следующие включения:
𝑘[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ] ⊂ 𝑘⟨𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ⟩ ⊂ 𝑘[[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ]],
где 𝑘⟨𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ⟩ – кольцо сходящихся степенных рядов (т.е. с непустыми областями
сходимости). 𝑘[[𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ]] – кольцо формальных степенных рядов.
Мы предполагаем, что 𝑘 = ℂ – поле комплексных чисел.
Обозначим 𝑘⟨𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ⟩ ≔ 𝐾𝑛 . Тогда 𝐾𝑛+1 ≔ 𝑘⟨𝑋1 , … , 𝑋𝑛 , 𝑌⟩ можно представить в
виде 𝐾𝑛+1 = 𝐾𝑛+1 ⟨𝑌⟩, т.е. в виде кольца степенных рядов от 𝑌, коэффициенты которых
– ряды от 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 . Справедливость такого представления следует из возможности
группирования членов абсолютно сходящегося ряда:
∞
∑
𝛼∈ℕ𝑛+1
𝛼
𝑐𝛼1 … 𝛼𝑛𝛼𝑛+1 𝑋1 1
𝛼
… 𝑋𝑛 𝑛
𝑌
𝛼𝑛+1
= ∑ (
∑
𝛼𝑛+1 =0 (𝛼1 ,…,𝛼𝑛 )∈ℕ𝑛
𝛼
𝛼
𝑐𝛼1 …𝛼𝑛 𝑋1 1 … 𝑋𝑛 𝑛 )𝑌 𝛼𝑛+1 .
𝜈
Теорема. Пусть 𝑔 = ∑∞
𝑔0 (0) = ⋯ = 𝑔𝑏−1 (0) = 0 ,
𝜈=0 𝑔𝜈 𝑌 ∈ 𝐾𝑛 ⟨𝑌⟩ , причем
𝑔𝑏 (0) ≠ 0. Тогда существует обратимый элемент 𝑒 ∈ 𝐾𝑛+1 и многочлен 𝜔 ∈ 𝐾𝑛 [𝑌]
степени 𝑏 такие, что g= 𝑒𝜔.
Доказательство.
Вначале докажем утверждение при g 𝑏 ≡ 1. В этом случае мы можем записать:
g = 𝑌 𝑏 (𝜔 + 1),
𝑤 ≔ 𝑢 + 𝑣,
∞
𝑏−1
𝑢 ≔ ∑ g 𝛽 (𝑥) 𝑌𝛽−𝑏 ,
𝑣 ≔ ∑ g 𝜈 (𝑥) 𝑌 𝜈−𝑏 .
𝛽=0
𝜈>𝑏
Тогда 𝑤 есть ряд Лорана по 𝑌, главная часть которого конечна и равна 𝑢. Поскольку
g 𝑏 (0) = 0 при 0 ≤ 𝛽 < 𝑏, для любого > 0 существует такой набор 𝑡 = (𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) ∈ 𝑅+𝑛 ,
что g 0 , … , g 𝑏−1 являются голоморфными функциями в полицилиндре 𝑍 ≔ {𝑥 =
(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℂ𝑛 : |𝑥1 | < 𝑡1 , … , |𝑥𝑛 | < 𝑡𝑛 } и |g 𝛽 (𝑥)| < 𝜀 для всех 𝑥 ∈ 𝑍, 0 ≤ 𝛽 < 𝑏.
Для каждого 𝜌 > 0 функция
𝑢(𝑥, 𝑦) =
g 0 (𝑥) g1 (𝑥)
g 𝑏−1 (𝑥)
+
+
⋯
+
𝑦𝑏
𝑦 𝑏−1
𝑦
голоморфна как функция на прямом произведении полицилиндра 𝑍 и кругового
𝜌
1
𝜌 𝑏
1
кольца𝑄 ≔ {𝑦 ∈ ℂ: 2 < |𝑦| < 𝜌}. Если 𝜌 < 2 и 𝜀 < 2𝑏 ( 2) , то, очевидно, |𝑢(𝑥, 𝑦)| < 2
𝜈−𝑏
для всех (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍 × 𝑄. При достаточно малых 𝑡 и 𝑝 функция 𝑣(𝑥, 𝑦) = ∑∞
𝜈>𝑏 g 𝜈 (𝑥) 𝑦
также голоморфна в 𝑍 × 𝑄 . При этом, поскольку 𝑣 содержит множитель 𝑦, то 𝑡 и 𝑝
1
можно выбрать так, чтобы |𝑣(𝑥, 𝑦)| < 2 для всех (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍 × 𝑄 . Тогда 𝑤 = 𝑢 + 𝑣
голоморфна в 𝑍 × 𝑄 и |𝑤(𝑥, 𝑦)| < 1. Таким образом, в области 𝑍 × 𝑄 ⊂ ℂ𝑛+1 логарифм
𝑤2 𝑤3
ln(1 + 𝑤) = 𝑤 −
+
−⋯
2
3
является однозначной голоморфной функцией. По теореме Лорана ln(1 + 𝑤)
разлагается в ряд Лорана по 𝑦 с коэффициентами, голоморфными в 𝑍 ; разумеется,
главная часть этого ряда не обязана быть конечной. Напишем
ln(1 + 𝑤) = 𝐴 + 𝐵
где 𝐴 ∈ 𝐾𝑛+1 – тейлоровская часть, B – главная часть по 𝑦. Поскольку
exp(ln(1 + 𝑤)) = 1 + 𝑤,
𝑧𝜈
𝑏
Где exp 𝑧 = ∑∞
0 𝜈! , равенство g = 𝑌 (𝜔 + 1), верное в 𝑍 × 𝑄, принимает вид
g exp(−𝐴) = 𝑦 𝑏 exp(𝐵).
(1)
Здесь в левой части стоит функция, голоморфная в окрестности 0 ∈ ℂ𝑛+1 и,
следовательно, ряд Тейлора по 𝑦 . С другой стороны, ряд Лорана для exp(𝐵) = 1 +
+𝐵 + …, кроме свободного члена 1, содержит лишь отрицательные степени 𝑦. Поэтому
в правой части (1) стоит ряд по убывающим степеням 𝑦, начинающийся с 𝑦 𝑏 . Ввиду
однозначности разложения в ряд Лорана 𝜔 ≔ 𝑦 𝑏 exp(𝐵) есть многочлен степени 𝑏 по 𝑦
с коэффициентами, голоморфными в окрестности точки 0 ∈ 𝑍 , и со старшим
коэффициентом 1. Положим 𝑒 ≔ exp(𝐴). Тогда 𝑒 – обратимый элемент в 𝐾𝑛+1 и g= 𝑒𝜔.
Из равенств
g(0, y) = y b (1 + g b+1 y + ⋯ ) = 𝑒(0, y)(𝑦 𝑏 + ⋯ )
и из того, что 𝑒(0,0) ≠ 0, следует, как и выше, что 𝜔 - многочлен Вейерштрасса.
Пусть теперь g 𝑏 (𝑥) – произвольный степенной ряд с условием g 𝑏 (0) ≠ 0 . Тогда
g 𝑏 (𝑥) ≠ 0 в некоторой окрестности 𝑥 = 0. Поэтому корректно определена дробь:
𝑏−1
∞
𝛽=0
𝜈>𝑏
g 𝛽 (𝑥) 𝛽−𝑏
g
g 𝜈 (𝑥) 𝜈−𝑏
=∑
𝑌
+ 𝑌𝑏 + ∑
𝑌 .
g 𝑏 (𝑥)
g 𝑏 (𝑥)
g 𝑏 (𝑥)
Заметим, что
g𝛽 (0)
g𝑏 (0)
= 0, при 0 ≤ 𝛽 < 𝑏. Тогда с учетом доказанного выше получаем
представление:
g
= 𝑒𝜔,
g 𝑏 (𝑥)
где 𝑒 – обратимый элемент в 𝐾𝑛+1 , 𝜔 – многочлен Вейерштрасса. Отсюда
g = g 𝑏 (𝑥)𝑒𝜔 = 𝑒̃ 𝜔,
где 𝑒̃ = g 𝑏 (𝑥)𝑒 – обратимый элемент в 𝐾𝑛+1 , так как g 𝑏 (0) ≠ 0.
Список литературы.
1. Б.В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть 2. М.: Наука, 1976.
2. L. Stikelberger. Über einen Satz des Herrn Noether//Math. An. 1887, Bd.30, s.401-409.
3. Г. Грауэрт, Р. Реммерт. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.(H.
Grauert, R.Remert. Analytische Stellenalgelren. Springer-Verlag Berlin Heidelberg
New York, 1971).