Теория групп_обязательный курс_1год (новое окно)

1
Приложение к приказу первого проректора
по учебной и научной работе
от________________№_______________
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Теория групп
Group theory
Язык обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах:
Регистрационный номер рабочей программы: 2014/ Санкт-Петербург
2014
4
2
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
Углубление знаний студентов по теории групп, обучение современным методам теории
групп и связям с другими областями алгебры, геометрией, топологией, теорией чисел и
прочими разделами современной математики.
1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Обучающиеся должны обладать знаниями по алгебре в объеме университетского курса.
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
Знать содержание программы курса и иметь представление о возможностях применения
ее разделов в различных областях математики.
1.4.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
консультация
промежуточная аттестация (зачет
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Период
обучения
(модуль)
лек
ции
се
ми
на
ры
конс
ульт
ации
пр
ак
ти
че
ск
ие
за
ня
ти
я
ла
бо
ра
то
рн
ые
ра
бо
ты
кон
тро
льн
ые
раб
оты
кол
лок
виу
мы
те
ку
щи
й
ко
нт
ро
ль
пром
ежут
очна
я
атте
стац
ия
ит
ог
ов
ая
ат
те
ст
ац
ия
Самостоятельная работа
по
д
ру
ко
во
дс
тв
ом
пр
еп
од
ав
ат
ел
я
в
пр
ис
ут
ст
ви
и
пр
еп
од
ав
ат
ел
я
сам.
раб.
с
исп
ольз
ова
ние
м
мет
оди
чес
ких
мат
ери
ало
в
теку
щий
кон
тро
ль
(сам
.раб
.)
про
меж
уто
чна
я
атте
стац
ия
(сам
.раб
.)
итог
овая
аттес
таци
я
(сам.
раб.)
Объ
ём
акти
вны
хи
инт
ерак
тив
ных
фор
м
уче
бны
х
заня
тий
Трудо
ёмкос
ть
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1год
54
90
4
3
обучения
ИТОГО
54
90
4
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Виды итоговой аттестации
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1 год обучения
Зачет, устно
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Основной курс
Основная траектория
Очная форма обучения
Период обучения (модуль): 1 год обучения
№
п/п
1
2
3
4
Наименование темы (раздела, части)
Теория представлений групп
Простые группы типа Ли
Гомологии групп
Комбинаторная и геометрическая
теория групп
Вид учебных занятий
Количество
часов
лекции
12
По методическим материалам
23
лекции
10
по методическим материалам
14
лекции
12
По методическим материалам
23
лекции
20
По методическим материалам
30
1. Теория представлений групп. Линейные представления групп. Усреднение по
конечной группе, теорема Машке. Унитарные представления. Лемма Шура.
Теорема Ремака—Крулля—Шмидта. Характеры конечных групп, первое
4
соотношение
ортогональности. Разложение
регулярного
представления.
Количество неприводимых представлений. Представления прямых произведений.
Второе соотношение ортогональности. Свойства целостности. Степени
неприводимых
представлений.
Таблицы
характеров.
Индуцированные
представления. Компактная и полная индукция. Индуцированные характеры.
Взаимность Фробениуса. Теорема Макки.
2. Простые группы типа Ли. Конструкции и порядки классических групп.
Исключительные
изоморфизмы.
Системы
корней,
группы
Шевалле,
идентификация с классическими группами. Теорема Ашбахера—Дынкина о
максимальных подгруппах классических групп.
3. Гомологии групп. G-модули, инварианты, коинварианты, комплексы, резольвенты,
гомологии и когомологии группы с коэффициентами в G-модуле. Стандартные
резольвенты, коциклы, кограницы. Интерпретация H_1(G) как абелианизации.
Интерпретация H^1(G,M) на языке дифференцирований. Интерпретация H^2(G,M)
на языке расширений. Короткие точные последовательности G-модулей и длинные
точные последовательности (ко)гомологий. Формула Кюннета. Теорема об
универсальных коэффициентах. Кап-произведение. Умножение Понтрягина в
случае абелевых групп. Гомологии абелевой группы без кручения как внешние
степени. Вторые гомологии абелевой группы как внешний квадрат. Спектральная
последовательность Линдона—Хохшильда—Серра.
4. Комбинаторная и геометрическая теория групп. Преобразования Тице.
Представления подгрупп, метод Рейдемейстера—Шрейера. Подгруппы свободных
групп. Преобразования Нильсена. HNN-расширения и амальгамированные
произведения. Счетные группы и 2-порожденные группы. Исчисление Фокса,
матрицы соотношений, связь с когомологиями. Группы с одним соотношением.
Группы как метрические пространства. Гиперболические группы. Рост групп,
теорема Громова. Теоремы жесткости. Аменабельные группы. Свойство Каждана
(T).
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Зачет проводится в устной форме.
5
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету:
1. Линейные представления групп. Неприводимость, лемма Шура.
2. Усреднение по конечной группе, теорема Машке.
3. Унитарные представления, конечномерные представления конечной группы.
4. Теорема Ремака—Крулля—Шмидта.
5. Характеры конечных групп, первое соотношение ортогональности.
6. Разложение
регулярного
представления.
Количество
представлений. Представления прямых произведений.
7. Второе соотношение ортогональности.
неприводимых представлений.
Свойства
неприводимых
целостности.
Степени
8. Таблицы характеров. Порядок группы, нормальные подгруппы, простота,
коммутант.
9. Индуцированные представления. Компактная и полная индукция.
10. Индуцированные характеры.
11. Взаимность Фробениуса. Теорема Макки.
12. Конструкции и порядки классических групп.
13. Исключительные изоморфизмы.
14. Системы корней, группы Шевалле, идентификация с классическими группами.
15. Теорема Ашбахера—Дынкина о максимальных подгруппах классических групп.
16. G-модули, инварианты, коинварианты, комплексы, резольвенты, гомологии и
когомологии группы с коэффициентами в G-модуле.
17. Стандартные резольвенты, коциклы, кограницы.
18. Интерпретация H_1(G) как абелианизации. Интерпретация H^1(G,M) на языке
дифференцирований.
19. Интерпретация H^2(G,M) на языке расширений.
20. Короткие точные последовательности
последовательности (ко)гомологий.
G-модулей
и
21. Формула Кюннета.
22. Теорема об универсальных коэффициентах.
23. Кап-произведение.
24. Умножение Понтрягина в случае абелевых групп.
25. Гомологии абелевой группы без кручения как внешние степени.
26. Вторые гомологии абелевой группы как внешний квадрат.
длинные
точные
6
27. Спектральная
вычислений.
последовательность
Линдона—Хохшильда—Серра.
Примеры
28. Преобразования Тице.
29. Представления подгрупп, метод Рейдемейстера—Шрейера.
30. Подгруппы свободных групп.
31. Преобразования Нильсена.
32. HNN-расширения и амальгамированные произведения.
33. Счетные группы и 2-порожденные группы.
34. Исчисление Фокса, матрицы соотношений, связь с когомологиями.
35. Группы с одним соотношением.
36. Группы как метрические пространства.
37. Гиперболические группы.
38. Рост групп, теорема Громова.
39. Теоремы жесткости.
40. Аменабельные группы.
41. Свойство Каждана (T).
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных
к проведению учебных занятий
К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень доктора
или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную процедуру
признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора или доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
не требуется
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории
3.3.2 Характеристики
аудиторного
оборудования,
в
том
числе
неспециализированного компьютерного оборудования и программного обеспечения
общего пользования
доска для письма мелом или фломастером
7
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
не требуется
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
не требуется
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел — не менее 1 куска на час лекционных занятий, фломастеры для доски, губка
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. М.И.Каргаполов . Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. - 5-е
изд., стер. – СПб, М. ; Краснодар : Лань, 2009. - 288 с.
2. Wilson R. The finite simple groups. – Springer Science & Business Media, 2009.
Электронный ресурс по подписке СПбГУ: https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-184800-988-2
3. Isaacs I. M. Character theory of finite groups. – Courier Corporation, 2006.
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Fulton W., Harris J. Representation theory. – Springer Science & Business Media, 1991.
2.
К. Браун. Когомологии групп, М. 1987 в 2-томах.
3. Kowalski E. An introduction to the Representation Theory of Groups. – American
Mathematical Society, 2014. https://people.math.ethz.ch/~kowalski/representationtheory.pdf
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
1. Вавилов Николай Александрович, профессор, д.ф.-м.н.,
e-mail: nikolai-vavilov@yandex.ru
2. Иванов Сергей Олегович, к.ф.-м.н., e-mail: sepa_cmd@mail.ru