УДК 735.29 ЗАВИСИМОСТЬ ЧИСЛА МАРАНГОНИ ОТ

УДК 735.29
ЗАВИСИМОСТЬ ЧИСЛА МАРАНГОНИ ОТ ФИЗИЧЕСКИХ И
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
Магденко Е. П.,
научный руководитель д-р физ.-мат. наук, проф. Андреев В. К.
Сибирский федеральный университет
Часто возникает ситуация, когда в контейнере цилиндрической формы хранятся
две несмешиваемые теплопроводные жидкости, образующие двухслойную систему. В
результате в сосуде имеется поверхность раздела двух различных фракций. При определённых температурах на основаниях цилиндра жидкости начинаются смешиваться. В
докладе рассматривается задача о возникновении конвекции в такой системе.
Обозначим через Ω1 = (0, 𝑎) × (0, 2𝜋) × (−ℎ1 , 0) и
(0, ℎ2 ) области, занятые жидкостями (рис.1)
Ω2 = (0, 𝑎) × (0, 2𝜋) ×
Рис. 1. Схема области конвекции
Равновесное состояние системы в рамках модели Обербека-Буссинеска в цилиндрической системе координат 𝑟, 𝜑, 𝑧 в состоянии покоя описывается уравнениями
(1)
∇𝑝̅𝑗 = −𝜌0𝑗 𝒈𝛽𝑗 𝜃𝑗 ,
𝜕 2 𝜃𝑗
𝜕𝑟 2
1 𝜕𝜃
1 𝜕 2 𝜃𝑗
+ 𝑟 𝜕𝑟 + 𝑟 2
𝜕𝜑 2
+
𝜕 2 𝜃𝑗
𝜕𝑧 2
= 0,
(2)
где 𝑝̅𝑗 = 𝑝𝑗 + 𝜌0𝑗 𝑔𝑧, а ∇𝑝𝑗 = 𝜌0𝑗 𝑔𝒆(1 − 𝛽𝑗 𝜃𝑗 ), 𝒆 = (0,0, −1), 𝛽𝑗 − коэффициент теплового расширения жидкости, 𝑗 = 1,2 − номер слоя жидкости. На основаниях и боковых
стенках цилиндров задаётся температура
𝜃1 (𝑟, 𝜑, −ℎ1 ) = 𝜃01 (𝑟, 𝜑),
𝜃2 (𝑟, 𝜑, ℎ2 ) = 𝜃02 (𝑟, 𝜑),
𝜃𝑗 (𝑎, 𝜑, 𝑧) = 𝜃̃𝑗 (𝜑, 𝑧). (3)
На границе раздела 𝑧 = 0 имеем условия
𝜃1 = 𝜃2 ,
𝑘1
𝜕𝜃1
𝜕𝑧
1
= 𝑘2
𝜕𝜃2
𝜕𝑧
,
(4)
(−𝑝̅2 + 𝑝̅1 + 𝜌02 𝑔𝑧 − 𝜌01 𝑔𝑧)𝒏 = ∇г 𝜎,
(5)
где ∇г − поверхностный градиент; условия (4), представляют собой равенство температур и потоков тепла, а (5) − баланс всех сил; предполагаем, что поверхностное натяжение линейно зависит от температуры 𝜎 = 𝜎(𝜃) = 𝜎 0 − 𝜘𝜃, где в силу равенства (4)
𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 , а значит
𝜎𝑟 = −𝜘𝜃𝑟 ,
(6)
𝜎𝜑 = −𝜘𝜃𝜑 .
Имеем 𝒏 = (0,0,1), 𝒆𝑟 = (1,0,0), 𝒆𝜑 = (0,1,0), поэтому уравнение (5) примет вид
(𝑝̅1 − 𝑝̅2 )(0,0,1) = 𝛼1 𝒆𝑟 + 𝛼2 𝒆𝜑 = (𝛼1 , 𝛼2 , 0), а это выполняется тогда и только тогда,
когда
(7)
𝑝̅1 = 𝑝̅2 , 𝛼1 = 𝛼2 = 0
𝛼1 = ∇𝜎 ∙ 𝒆𝑟 = 𝜎𝑟 ,
𝛼2 = ∇𝜎 ∙ 𝒆𝜑 = 𝜎𝜑 .
(8)
Таким образом, с учётом (6) − (8) следует, что при 𝑧 = 0 𝜃𝑟 = 𝜃𝜑 = 0. Далее предполагаем, что и внутри цилиндров это равенство верно, а в (3) функции 𝜃01 , 𝜃02 , 𝜃̃𝑗 не зависят от 𝑟, 𝜑. Тогда из уравнений (2) получим представления для температур
𝜃𝑗 = 𝜃𝑗 (𝑧) = 𝑎𝑗 𝑧 + 𝑏𝑗 .
(9)
Коэффициенты 𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 находятся из граничных условий (3), (4)
𝑎1 =
𝑘(𝜃02 −𝜃01 )
ℎ2 +𝑘ℎ1
,
𝑎2 =
𝜃02 −𝜃01
ℎ2 +𝑘ℎ1
𝑏1 = 𝑏2 =
,
𝑘ℎ1 𝜃02 +ℎ2 𝜃01
ℎ2 +𝑘ℎ1
,
𝑘 = 𝑘1 ⁄𝑘2
(10)
Уравнения для возмущений таковы
∇𝑃𝑗 + 𝛽𝑗 𝒈𝑇𝑗 + 𝜌0𝑗 𝑼𝑗𝑡 = 𝜌0𝑗 ∆𝑼𝑗 ,
(11)
𝑑𝑖𝑣𝑼𝑗 = 0,
(12)
𝑇𝑗𝑡 + 𝑼𝑗 ∙ ∇𝜃𝑗 = 𝜒𝑗 Δ𝑇𝑗 ,
(13)
где 𝑃𝑗 , 𝑇𝑗 − возмущение основного решения 𝑝̅𝑗 , 𝜃𝑗 . Граничные условия в областях Ω𝑗 на
поверхности раздела имеют вид
𝑇1 +
𝜕𝜃1
𝜕𝑧
𝑅 = 𝑇2 +
𝜕𝜃2
𝜕𝑧
(14)
𝑅,
(15)
𝑼1 = 𝑼2 ,
−[𝑃]Г + 2 [𝜂
𝜕𝑊
𝜕𝑊
𝜕𝑝̅
1
𝜕𝑈
Г
𝜕𝜃
[𝜂 ( 𝜕𝑟 + 𝜕𝑧 )] = −𝜘 [( 𝜕𝑧1 𝑅) +
Г
1 𝜕𝑊
1
] = {[ 𝜕𝑧 ] + [𝜌0 ]Г 𝒈 ∙ 𝒏} 𝑅 + 𝜎 (𝑅𝑟𝑟 + 𝑟 𝑅𝑟 + 𝑟 2 𝑅𝜑𝜑 ),
𝜕𝑧 Г
𝑟
𝜕𝑉
𝜕𝜃
𝜕𝑇1
𝜕𝑟
[𝜂 (𝑟 𝜕𝜑 + 𝜕𝜑)] = −𝜘 [( 𝜕𝑧1 𝑅) +
Г
𝜑
(17)
],
𝜕𝑇1
𝜕𝜑
𝜕𝑇
[𝑘 𝜕𝑧 ] + [𝑘∇𝜃]Г ∙ 𝒏𝟏 = 𝜘𝜃∇г ∙ 𝑼,
(16)
],
(18)
(19)
Г
2
(20)
𝑅𝒕 = 𝑊𝟏 ,
где 𝑅 = 𝒏 ∙ 𝑿, 𝑿 − вектор смещения частиц жидкости, 𝒏𝟏 − вектор возмущения нормали; [𝑓]Г = 𝑓2 − 𝑓1 – скачок величины 𝑓 на поверхности Г. Будем искать решение задачи
(11) − (20) в виде
(𝑼𝑗 , 𝑃𝑗 , 𝑇𝑗 , 𝑅) = (𝑼𝑗 (𝑟, 𝑧), 𝑃𝑗 (𝑟, 𝑧), 𝑇𝑗 (𝑟, 𝑧), 𝑁)𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝑚𝜑 − 𝐶𝑡)],
(21)
где С = С𝑟 + 𝑖𝐶𝑖 комплексный декремент.
Рассмотрим осесимметрическую краевую задачу (11) − (20) (𝑚 = 0, 𝑉𝑗 = 0) с
учётом (21).
𝑈
1
𝑃𝑗𝑟 − 𝑖𝐶𝜌0𝑗 𝑈𝑗 = 𝜂𝑗 (𝑈𝑗𝑟𝑟 + 𝑟 𝑈𝑗𝑟 + 𝑈𝑗𝑧𝑧 − 𝑟 2𝑗 ),
(22)
1
(23)
𝑃𝑗𝑧 + 𝛽𝑗 𝑔𝑇𝑗 − 𝑖𝐶𝜌0𝑗 𝑊𝑗 = 𝜂𝑗 (𝑊𝑗𝑟𝑟 + 𝑟 𝑊𝑗𝑟 + 𝑊𝑗𝑧𝑧 ),
1
(24)
𝑈𝑗𝑟 + 𝑟 𝑈𝑗 + 𝑊𝑗𝑧 = 0,
1
(25)
−𝑖𝐶𝑇𝑗 + 𝑎𝑗 𝑊𝑗 = 𝜒𝑗 (𝑇𝑗𝑟𝑟 + 𝑟 𝑇𝑗𝑟 + 𝑇𝑗𝑧𝑧 ).
Граничные условия (14) − (20) упрощаются до следующих
𝑇1 + 𝑎1 𝑁 = 𝑇2 + 𝑎2 𝑁,
(26)
𝑼1 = 𝑼2 ,
(27)
−[𝑃]Г + 2 [𝜂
𝜕𝑊
𝜕𝑊
𝜕𝑝̅
1
] = {[ 𝜕𝑧 ] + [𝜌0 ]Г 𝒈 ∙ 𝒏} 𝑁 + 𝜎 (𝑁𝑟𝑟 + 𝑟 𝑁𝑟 ),
𝜕𝑧
Г
Г
𝜕𝑈
[𝜂 ( 𝜕𝑟 + 𝜕𝑧 )] = −𝜘[𝑎1 𝑁𝑟 + 𝑇1𝑟 ],
(29)
Г
𝜕𝑇
(28)
1
[𝑘 𝜕𝑧 ] = 𝜘𝑏1 (𝑈1𝑟 + 𝑟 𝑈1 ),
(30)
−𝑖𝐶𝑁 = 𝑊𝟏 .
(31)
Г
Задача (22) − (31) допускает разделение переменных, именно
1
𝑈𝑗 = 𝑟 𝑅(𝑟)𝐹𝑗𝑧 (𝑧),
1
𝑊𝑗 = − 𝑟 𝑅𝑟 (𝑟)𝐹𝑗 (𝑧),
1
𝑇𝑗 = 𝑟 𝑅𝑟 (𝑟)𝐺𝑗 (𝑧)
(32)
где
𝛿
𝛿
𝑅 = 𝑅𝑘 (𝑟) = 𝑟 [𝐼1 (𝛿𝑘 )𝐽1 ( 𝑎𝑘 𝑟) − 𝐽1 (𝛿𝑘 )𝐼1 ( 𝑎𝑘 𝑟)],
(33)
а 𝛿𝑘 , 𝑘 = 1,2, … есть решение уравнения
𝐽1 (𝛿)𝐼1′ (𝛿) − 𝐼1 (𝛿)𝐽1′ (𝛿) = 0,
(34)
первые корни, которого, равны 𝛿1 = 4.611, 𝛿2 = 7.799, 𝛿3 = 10.958, 𝛿4 = 14.109, 𝛿5 =
17.256. Из (33), (34) выводим равенства 𝑅𝑘 (𝑎) = 0 и 𝑅𝑘𝑟 (𝑎) = 0. Таким образом,
условия на боковой поверхности для скоростей и температуры заведомо выполнены.
3
Используя метод (32), мы получим обыкновенное дифференциальное однородное уравнение с постоянными коэффициентами со сложными граничными условиями.
Далее предположим, что система находится в состоянии невесомости (𝑔 = 0); поверхность раздела не деформируема (𝑁0 = 0); возмущения монотонны (𝐶 = 0). В результате решение нашего уравнения будет определяться с точностью до двенадцати постоянных, которые находятся из двенадцати граничных условий. Полученная из этих условий система, будет являться алгебраической относительно постоянных. Нетривиальное
решение системы уравнений существует тогда и только тогда, когда её определитель,
составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Это даёт возможность
найти критические числа Марангони. Аналитические вычисления в системе Maple показывают, что
𝑀=
4𝑚2 (𝑘𝜇𝑆1 𝐶2 𝑀1 (𝑚2 −𝑆12 )(𝑚2 ℎ2 −𝑆22 )+𝑐ℎ𝑖𝑠𝑙)
𝑧𝑛𝑎𝑚
,
где
𝑐ℎ𝑖𝑠𝑙 = 2(𝑘𝑆2 𝐶1 + 𝑆1 𝐶2 )(𝑚3 ℎ2 𝜇 + 𝑚3 ℎ − 𝑚2 𝑆2 𝐶2 − 𝑚2 ℎ2 𝜇𝑆1 𝐶1 − 𝑚ℎ𝑆12 − 𝑚𝜇𝑆22 +
+𝜇𝑆1 𝑆22 𝐶1 + 𝑆12 𝑆2 𝐶2 );
𝑧𝑛𝑎𝑚 = 𝜇(𝑚5 ℎ3 𝜒𝑆1 𝐶12 𝐶2 − 𝑚3 ℎ3 𝜒𝑆13 𝐶2 + 𝑚3 𝑆23 𝐶1 + 𝑚2 ℎ2 𝑆13 𝐶2 − 𝑚5 ℎ2 𝑆2 𝐶1 −
+𝑚2 𝜒𝑆1 𝑆22 + 𝜒𝑆13 𝑆23 − 𝑆13 𝑆23 );
ℎ = ℎ1 ⁄ℎ2 ; 𝑚 = 𝛼𝛿𝑘 ; 𝛼 = ℎ2 ⁄𝑎 ; 𝑘 = 𝑘2 ⁄𝑘1 ; 𝜇 = 𝜇2 ⁄𝜇1 ; 𝜒 = 𝜒2 ⁄𝜒1 ; 𝑀1 = 𝜘 2 𝑏1 ⁄𝑘2 𝜇2 ;
𝑆1 = 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑚); 𝐶1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚); 𝑆2 = 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑚ℎ); 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚ℎ).
Рассмотрим конкретные жидкости, когда в верхней части цилиндра расположена
муравьиная кислота, а в нижней – трансформаторное масло. Тогда соотношения их физических параметров таковы 𝑘 = 2.44021473, 𝜇 = 0.09203717913, 𝜒 = 1.404958678.
Так же 𝜘 = 0.0022 Н⁄мК, ℎ = 0.5, 𝛿𝑘 = 4.611.
Для случая, когда имеется однослойная жидкость (ℎ2 = 0) с верхней свободной
границей, на которой задан теплообмен с окружающей средой, находим
𝑀=
8𝑚(𝐵𝑆1 + 𝑚𝐶1 )(𝑚 − 𝑆1 𝐶1 )
,
𝑆13 − 𝑚3
где 𝑚 = 𝛼𝛿𝑘 ; 𝛼 = ℎ1 ⁄𝑎; 𝐵 = 𝛾ℎ1 ⁄𝑘1 . Отметим, что при 𝑚 → ∞ 𝑀~ − 8𝑚2 , а при 𝑚 → 0
𝑀~ − 8(𝐵 + 1).
4