Как раз с массой. Реальная, земная, грешная пружина

Как раз с массой. Реальная, земная, грешная пружина.
1. Соображение первое.
Предметом обсуждения была следующая ситуация.
Прижимаем горизонтально расположенную пружину торцом (левым, для определенности) к
стене, прикладывая к правому силу F=kx. Эта сила совершает работу, которая переходит в
потенциальную энергию пружины. Эту работу можно вычислить даже без интегрирования
(учитывая линейную связь F и x, можно F заменить на F/2). Здесь применение формулы работы
не вызывает вопросов.
Теперь освобождаем пружину.
Единственной внешней силой, действующей на пружину, является реакция стены, действующая
на левый торец (силу тяжести, понятно, игнорируем в данном контексте). Получит ли пружина
горизонтальное ускорение без этой силы? Нет. Совершает ли эта сила работу? Тоже нет. А
если да, то что принимать за перемещение точки приложения силы?
Я, например, не знаю. Просто применяем закон сохранения энергии. Чем это отличается от
автомобиля, с которого все началось, не понимаю.
2. Соображение второе.
Строгое описание поведения распрямляющейся реальной пружины – реальная задача теории
упругости. Здесь же стоит исключительно механическая задача: понять поведение силы реакции
стены. При этом подразумевается, что масса стены бесконечна, а сама стена, как следствие,
неподвижна. Для наших целей достаточно упростить ситуацию до следующей.
На горизонтальный гладкий стержень, закрепленный на вертикальной стене, насажены две
бусинки, соединенные пружинкой. Массы бусинок – 𝑚1, 𝑚2 ; первая касается стены, вторая через
пружинку расположена справа от неё. Масса пружинки равна нулю, коэффициент жесткости
пружинки – 𝜅, длина недеформированной пружинки – 𝐿, размерами бусинок пренебрегаем. При
желании можно рассмотреть более реалистичную модель однородной массивной пружинки,
разбив её на N маленьких бусинок, соединенных одинаковыми пружинками, но это не добавит
ничего принципиально нового. Координаты пружинок 𝑥1 , 𝑥2 . Координата первой пружинки до
момента её отрыва от стенки совпадает с координатой стенки: 𝑥1 = 0. Правую пружинку сжали
внешней силой, переместив её из точки 𝑥2 = 𝐿 в точку с координатой 𝑥2 = 𝑙 и удерживаем в этом
положении силой, модуль которой равен 𝐹 = 𝜅(𝐿 − 𝑙).
В момент времени 𝑡 = 0 освобождаем правую массу и даем возможность пружинке
распрямляться. Рассмотрим динамику и энергетику системы.
Уравнения движения бусинок:
𝑚1 𝑥̈ 1 = 𝑇 − 𝜅(𝐿 − (𝑥2 − 𝑥1 ))
𝑚2 𝑥̈ 2 = 𝜅(𝐿 − (𝑥2 − 𝑥1 ))
Первая бусинка будет неподвижна до тех пор, пока пружинка не распрямиться до
первоначальной длины 𝐿. При этом сила будет изменяться в соответствии с положением правой
бусинки. Поскольку 𝑥1 = 0, движение правой бусинки легко найти:
𝑥2 = 𝐿 − (𝐿 − 𝑙)𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡,
2
где 𝜔0 =𝜅 ⁄ 𝑚2 . Сила реакции стены равна:
𝑇 = 𝜅(𝐿 − 𝑙)𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡.
1
Через время 𝑡0 = 𝜋⁄2𝜔 сила реакции стенки станет равной нулю, как и сила упругости. В
0
дальнейшем единственной силой, продолжающей действовать на обе массы, останется сила
упругости пружины. За время расширения пружины ни одна из сил, действующих на прижатую к
стене бусинку, работу не совершает. Её энергия остается постоянной. Сила 𝜅(𝐿 − 𝑥2 ), действующая
на правую бусинку, за это время совершит работу
𝐿
𝐴 = ∫𝑙 𝜅(𝐿 − 𝑥2 )𝑑𝑥2 = 1⁄2 𝜅(𝐿 − 𝑙)2 = 𝐸полн
равную, очевидно, работе, совершенной при первоначальном сжатии пружины внешней силой, и
запасенной в форме потенциальной энергии упругой деформации.
Нетрудно определить, что к моменту полного распрямления 𝑡0 = 𝜋⁄2𝜔 правая бусинка уже
0
приобретет скорость
𝑣2 = 𝑥2 = 𝜔0 (𝐿 − 𝑙)sin(𝜔0 𝑡) = 𝜔0 (𝐿 − 𝑙),
и соответствующую кинетическую энергию:
𝐸2 кин = 1⁄2 𝑚𝑣22 = 1⁄2 𝑚𝜔02 (𝐿 − 𝑙)2 = 1⁄2 𝜅(𝐿 − 𝑙)2
В принципе осталось определить, чем же всё это закончится.
В рассматриваемый момент полного распрямления пружины вся энергия заключена в
кинетической энергии правой бусинки, левая бусинка неподвижна. Правая энергия, продолжая
движение, теперь уже растягивает пружину, создавая с её помощью для себя тормозящую силу, а
для левой бусинки силу ускоряющую. Именно эта сила, а не исчезнувшая уже сила реакции стенки
и будет совершать работу над левой пружинкой, ускоряя её, и над правой, замедляя. Все это будет
𝑚 𝑚
2
периодически повторяться с периодом 2𝜋⁄𝜔12 , здесь 𝜔12
= 𝜅⁄𝜇 , 𝜇 = 1 2⁄(𝑚 + 𝑚 −
1
2)
приведенная масса. Бусинки, совершая гармонические колебания, будут двигаться вдоль стержня,
сохраняя постоянной скорость центра масс
𝑚
𝑉цм = 2⁄(𝑚 + 𝑚 ) 𝜔0 (𝐿 − 𝑙).
1
2
При этом кинетическая энергия,
𝑚
𝐸цм= 2⁄(𝑚 + 𝑚 ) 𝐸полн
1
2
связанная именно с движением центра масс, изменяться уже не будет, так как сумма внутренних
сил упругости равна нулю, а стенки уже нет. Кинетическая максимальная энергия, связанная с
колебаниями бусинок около центра масс,
𝑚
𝐸кол кин= 1⁄(𝑚 + 𝑚 ) 𝐸полн
1
2
будет периодически превращаться в потенциальную энергию пружины и обратно.
Реальная пружина именно так и будет себя вести – центр её масс будет двигаться с постоянной
скоростью, а сама она будет совершать колебания.
Если считать, а это совершенно естественно, вся масса пружины сосредоточена в правой бусинке,
то с очевидностью
𝑚
𝐸цм= 2⁄(0 + 𝑚 ) 𝐸полн = 𝐸полн = 1⁄2 𝜅(𝐿 − 𝑙)2
2
Это тот самый закон сохранения, который получен совершенно строго. Работать той самой внешней
силе T совершенно не нужно. За неё работает равная ей сила упругости, приложенная к
движущейся бусинке. Никаких чудес.
2