задание 19

Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2015 по математике.
Задача №1. Нахождение количества лет выплаты кредита.
1. Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей.
Погашение кредита происходит раз в год равными платежами
(кроме, может быть, последней) после начисления процентов.
Процентная ставка- 10% годовых. На какое минимальное
количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные
выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Решение. Т.к. нужно найти минимальное количество месяцев, то для
погашения кредита необходимо выбрать максимальные ежемесячные
выплаты, т.е. 350 тысяч рублей в месяц, тогда
1) В конце первого года долг составит:
1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб)
2) В конце второго года долг составит:
1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб)
3)В конце третьего года долг составит:
1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб)
4)В конце четвертого года долг составит:
838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб)
5)В конце пятого года долг составит:
571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб)
6) В конце шестого года долг составит:
278900 ∙ 1,1 =306878 (руб)
Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет.
Ответ: 6 лет
2. Андрей Владимирович взял в банке кредит в 1,1 миллиона рублей.
Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего
месяца банк начисляет 3 % на оставшуюся сумму долга (т.е.
увеличивает долг на 3%), затем А.В. переводит в банк платеж.
На какое минимальное количество месяцев может А.В. взять
кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тысяч
рублей?
Решение: Пусть А0 (млн. рубл)– сумма кредита
1) А1= А0+ 0,03Ао= 1,03А0 = 1,03∙1,1 = 1,133 (млн.рублей)= 1133000
(рублей) – сумма долга по истечении первого месяца с учетом месячного
процента.
Т.к. нужно найти минимальное количество месяцев, то для погашения
кредита необходимо выбрать максимальные ежемесячные выплаты, т.е.
220 тысяч рублей в месяц.
После начисления процентов банком, А.В. переводит ежемесячный
платеж, т.е. 1 133 000 – 220 000 = 913 000 (рублей) – сумма долга через 1
месяц.
2) А2= А1+ 0,03А1= 1,03А1 = 1,03∙913000 = 940390 (рублей) – сумма долга
по истечении второго месяца с учетом месячного процента.
После начисления процентов банком, А.В. переводит ежемесячный
платеж, т.е. 940390 – 220 000 = 720390 (рублей) – сумма долга через 2
месяца.
3) А3= А2+ 0,03А2= 1,03А2 = 1,03∙720 390 = 742001,7 (рублей) - сумма
долга по истечении третьего месяца с учетом месячного процента.
После начисления процентов банком, А.В. переводит ежемесячный
платеж, т.е. 742001,7 – 220 000 = 522001,7 (рублей) – сумма долга через 3
месяца.
4) А4= А3+ 0,03А3= 1,03А3 = 1,03∙522001,7 = 537661,75 (рублей) - сумма
после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два
знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.
Годы
Долг до выплаты
(тыс. руб)
Долг после выплаты
(тыс. руб)
1
1540
1210
2
1331
1001
3
1101,1
771,1
платеж, т.е. 537661,75 – 220 000 = 317661,75 (рублей) – сумма долга
4
848,21
518,21
через 4 месяца.
5
570,03
240,03
6
264,03
0
долга по истечении четвертого месяца с учетом месячного процента.
После начисления процентов банком, А.В. переводит ежемесячный
5) А5= А4+ 0,03А4= 1,03А4 = 1,03∙317661,75 = 327191,6 (рублей) - сумма
долга по истечении пятого месяца с учетом месячного процента.
После начисления процентов банком, А.В. переводит ежемесячный
платеж, т.е. 327191,6 – 220 000 = 107191,6 (рублей) – сумма долга через 5
месяцев.
6) А6= А5+ 0,03А5= 1,03А5 = 1,03∙107191,6 = 110407,35 (рублей) - сумма
долга по истечении шестого месяца с учетом месячного процента.
После начисления процентов банком, А.В. переводит ежемесячный
платеж, т.е. 110407,35 – 110407, 35 = 0 (рублей) – сумма долга через 6
месяцев.
Ответ: 6 месяцев
3. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять
кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
Решение.
Ясно, что чем больше годовые выплаты, тем быстрее будет выплачен
долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты
составляют 330 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой
будем указывать долг после начисления процентов, а во втором — долг
Заметим, что в последний год выплата составит менее 330 тыс. руб.
Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 лет.
О т в е т : 6 лет.
4. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн
рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся
сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество
месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение.
Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами. Каждый месяц долг
увеличивается не более, чем на 1 100 000 · 0,01 = 11 000 рублей. Значит,
за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1
100 000 + 5 · 11 000 = 1 155 000 рублей, что менее чем 5 · 275 000 = 1 375
000 рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.
О т в е т : 5.
2.Задача №2. Вычисление процентной ставки по кредиту.
3.Задача №3 Нахождение суммы кредита.
31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит.
31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в
Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого
кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму
декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий
оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2928200
выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз
рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг
Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000
четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?
рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?
Решение. Пусть S – сумма кредита.
Решение. Пусть а - процентная ставка по кредиту.
1)В конце первого года долг составит: (1,1х – 2928200) рублей
1)В конце первого года долг составит:
2) В конце второго года долг (в рублях) составит:
1000000 ∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а
(1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х –
2) В конце второго года долг составит:
6149220
(340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000.
3) В конце третьего года долг (в рублях) составит:
По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем
(1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 =
уравнение: (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0;
=1,331х – 9692342
а2 + 134∙а – 1440 = 0
4) В конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей:
Решая уравнение, получаем, что а = 10.
Ответ: 10%
(1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200;
1,4641х – 10661576 = 2928200;
1,4641х = 13589776;
х = 9281999,8.
Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.
Ответ: 9282000 руб
Задача №4. Нахождение ежегодного транша.
2. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9930000 рублей в
1. 31 декабря 2014 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит
кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31
под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря
декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем
сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман
Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.
переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы
Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей
Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Решение.
Решение: Пусть А0 =9930000 руб – сумма кредита
1)В конце первого года долг составит:
8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х
2) В конце второго года долг составит:
(9802860 - Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х
3) В конце третьего года долг (в рублях) составит:
(11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х.
Составим уравнение:
12739796 – 3,4396∙Х= 0
Х=3703860 рублей
Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.
А
0
А1 = А0 + 100
∙ 10 = 1,1А0 = 9930000 ∙ 1,1 = 10923000 рублей -
сумма долга по истечению 1 года с учетом годового процента.
Пусть х (рублей) – сумма ежегодного платежа.
А1 − х = 10923000 – х (рублей) – сумма долга после первой выплаты
А2 = 1,1 ∙ (А1 − х) = 1,1 ∙(10923000 – х)= 12015300- 1,1х (рублей) –
сумма долга по истечении 2 года с учетом годового процента.
А2 – х = 12015300 – 2,1х ( рублей) – сумма долга после второй выплаты.
А3 = 1,1 ∙ (А2 – х) = 1,1 ∙ (12015300 – 2,1х) = 13216830 – 2,31х (руб) – сумма
долга с учетом годового процента по истечении 3 года.
А3 – х = 13216830 – 3,31х, по условию, Сергей выплатил долг за три года,
т.е. А3 – х = 0. Решаем уравнение: 13216830 – 3,31х= 0,
3,31 х = 13216830, х = 3993000 рублей.
Ответ: 3993000 рублей.
3. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в
кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31
декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем
Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х,
4. 31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6 951 000 рублей в
чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то
кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31
есть за 4 года)?
декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
Решение:
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем
Пусть А0 =9282000 руб – сумма кредита
Алексей переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3
А1 = А0 +
А0
100
∙ 10 = 1,1А0 = 9282000 ∙ 1,1 = 10210200 рублей -
сумма долга по истечению 1 года с учетом годового процента.
Пусть х (рублей) – сумма ежегодного платежа.
равных платежа. На сколько рублей он отдал бы меньше банку, если
бы выплатил кредит за 2 равных платежа.
Решение: Пусть А0 =6 951 000 руб – сумма кредита
А
А1 − х = 10210200 – х (рублей) – сумма долга после первой выплаты
0
А1 = А0 + 100
∙ 10 = 1,1А0 = 6 951 000 ∙ 1,1 = 7 646 100рублей -
А2 = 1,1 ∙ (А1 − х) = 1,1 ∙(10210200 – х)= 11231220- 1,1х (рублей) –
сумма долга по истечению 1 года с учетом годового процента.
сумма долга по истечении 2 года с учетом годового процента.
Пусть х (рублей) – сумма ежегодного платежа.
А2 – х = 11231220 – 2,1х ( рублей) – сумма долга после второй выплаты.
А1 − х = 7 646 100 – х (рублей) – сумма долга после первой выплаты
А3 = 1,1 ∙ (А2 – х) = 1,1 ∙ (11231220 – 2,1х) = 12354342 – 2,31х (руб) – сумма
А2 = 1,1 ∙ (А1 − х) = 1,1 ∙(7 646 100 – х)= 8410710- 1,1х (рублей) –
долга с учетом годового процента по истечении 3 года.
сумма долга по истечении 2 года с учетом годового процента.
А3 – х = 12354342 – 3,31х ( руб) - сумма долга после третьей выплаты
А2 – х = 8410710 – 2,1х ( рублей) – сумма долга после второй выплаты.
А4 = 1,1∙( А3 –х) = 1,1 ∙ (12354342 – 3,31х) = 13589776,2- 3,641х (руб)- сумма
А3 = 1,1 ∙ (А2 – х) = 1,1 ∙ (8410710 – 2,1х) = 9251781 – 2,31х (руб) – сумма
долга с учетом годового процента по истечении 4 года.
долга с учетом годового процента по истечении 3 года.
А4 – х = 13589776,2- 4,641х (руб)- сумма долга после четвертой выплаты
А3 – х = 9251781 – 3,31х, по условию, Сергей выплатил долг за три года,
по условию, Сергей выплатил долг за четыре года, т.е. А4 – х = 0. Решаем
т.е. А3 – х = 0. Решаем уравнение: 9251781 – 3,31х= 0,
уравнение: 13589776,2- 4,641х = 0,
3,31 х = 9251781, х = 2795100 рублей – ежегодный платеж Федора, если он
4,641 х = 13589776,2
выплатит кредит за 3 равных платежа. Т.е. за три равных платежа он
х = 2928200 рублей
выплатит: 2795100 ∙3 = 8385300 ( рублей)
Ответ: 2928200 рублей
Если бы Федор расплатился за два равных платежа, то можно найти
Или: (((9282000∙1,1-х)∙1,1 – х)∙1,1 – х)∙1,1 – х = 0
ежегодный платеж: 8410710 – 2,1х= 0 ,
2,1х = 8410710, х = 4005100. Т.е. за два платежа он бы выплатил:
4005100 ∙2 = 8010200.
Найдем на сколько рублей он отдал бы меньше банку: 8385300 –
(рублей).
8010200 = 375100 (рублей)
Ответ: 375100 рублей.
Значит, 3X−2Y = 806400.
5. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в
кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы
смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой половины выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
После третей выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию тремя выплатами Тимофей погасил кредит полностью,
поэтому
откуда
Рассуждая аналогично, находим, что если бы Тимофей гасил долг
двумя равными выплатами, то каждый год он должен был бы выплачивать
рублей. Значит, он отдал банку на
При S = 7 007 000 и a = 20, получаем: b = 1,2 и
больше.
(рублей).
О т в е т : 806400.