Критерий Сильвестра

advertisement
25. Положительно определенные квадратичные формы.
Критерий Сильвестра.
Определение. Квадратичная функция k ( x) на линейном пространстве L называется положительно
определенной, если x  L, x  0, k ( x)  0 ; отрицательно определенной, если
x  L, x  0, k ( x)  0 .
Пусть в некотором базисе квадратичная функция записана в виде квадратичной формы
k ( x)  b11 x12  ...  bnn xn2  2

1i  j  n
bij xi x j (1)
с матрицей B  (bij )
Лемма. Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда
она приводится к диагональному виду
n
 z
i 1
2
i i
,  i  0, i  1,..., n (2)
⇔
n
к каноническому виду k ( y )   yi2 . (3)
i 1
Замечание. От вида (2) к каноническому виду (3) можно перейти в результате замены
yi  i zi , i  1,..., n .
Доказательство леммы. То, что диагональная форма со всеми положительными коэффициентами
n
или каноническая форма k ( y )   yi2 является положительно определенной, ясно.
i 1
Обратно, допустим, что данная положительно определенная квадратичная форма k ( x) имеет
p
канонический вид k   yi2 
i 1
pq
y
i  p 1
2
i
. Если, вопреки доказываемому, p  n  k (0,..., 0,1)  0 , что
противоречит положительной определенности. 
Теорема (Критерий Сильвестра).
Для положительной определенности квадратичной формы k ( x) в Rn необходимо и
достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы B, имеющие вид
b11
 m  det
b12
... b1m
b21 b22 ... b2 m
... ... ... ...
bm1 bm 2 ... bmm
, m  1,
n (bij  b ji , i, j ) ,
были положительными.
Доказательство критерия Сильвестра.
Достаточность: дано, что все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны,
надо доказать, что она является положительно определенной.
Воспользуемся методом математической индукции и леммой.
Для n  1 достаточность очевидна.
Допустим, что n  1 и из положительности главных миноров матрицы квадратичной
формы порядка до n 1 включительно следует возможность приведения квадратичной
формы от n  1 переменных x1 ,
n 1
, xn1 к виду k ( x )   xi2 .
i 1
Покажем, что в этом случае достаточность будет иметь место и для квадратичной
формы, зависящих от n переменных.
В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных x1 ,
слагаемые, содержащие xn :
n 1 n 1
n 1
j 1 i 1
j 1
, xn1 , xn , выделим
k ( x)   b ji x j xi  2 b jn x j xn  bnn xn2 .
n 1 n 1
Двойная сумма  b ji x j xi  k *( x1 ,
, xn1 ) в правой части этого равенства есть квадратичная
j 1 i 1
форма k  ( x) , зависящая от n  1 переменной, причем главные миноры её матрицы совпадают с
главными минорами k ( x) до порядка n  1 включительно, которые, по условию, положительны.
Отсюда следует, по предположению индукции, что квадратичная форма k  ( x) положительно
определенная и для неё существует невырожденная замена переменных
n 1
x j    ji yi ;
j  1,
, n 1 ,
i 1
n 1
приводящая её к каноническому виду: k  ( x )   yi2 .
i 1
Запишем квадратичную форму k ( x) в новых переменных:
n 1
n 1
i 1
i 1
k   yi2  2 bin yi xn  bnn xn2
и выделим полные квадраты по y1 ,
, yn1 :
n 1
n 1
n 1
i 1
i 1
i 1
 xn2 ,
k   ( yi2  2bin yi xn  bin 2 xn2 )  (nn   bin 2 ) xn2   zi2  bnn
n 1
  bnn   bin 2 ; zi  yi  bin xn ;
где bnn
i  1,
n  1 . ( xn пока не заменяли)
i 1
В матричном виде эту замену переменных можно записать как
z1
z2
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
b1, n
b2, n
y1
y2
1
0
bn1,n
1
yn 1
xn

zn 1
xn
0
0
и поскольку определитель ее матрицы отличен от нуля, то эта замена невырожденная.
Наконец, вспомним, что определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при
замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной функции в исходном базисе
положительный, поскольку этот определитель является главным минором порядка n. Но из
выражения для k ( x) в конечном базисе мы получаем, что определитель матрицы квадратичной
 xn , в результате чего
 . Поэтому bnn
  0 и можно ввести переменную zn  bnn
формы k равен bnn
получаем канонический вид квадратичной формы
n
k   zi2 .
i 1
Следовательно, квадратичная функция k ( x) положительно определена.
Достаточность доказана.
Необходимость.
Дано, что квадратичная функция положительно определенна, и надо доказать положительность
главных миноров ее матрицы. Снова применим индукцию по числу переменных n.
Для n  1 это ясно.
Пусть n  1 и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.
Поскольку квадратичная форма k  ( x) из доказательства достаточности также является
положительно определенной (ее значения – это значения k ( x) при xn  0 ), то по предположению
индукции ее главные миноры, совпадающие с главными минорами матрицы B до порядка n  1 ,
положительны. А определитель самой матрицы B, который является главным минором порядка n,
n
положителен, поскольку k ( x) приводится к каноническому виду k   zi2 , и определитель
i 1
матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и
определитель матрицы B.
Теорема полностью доказана. 
Следствие. (Критерий отрицательной определенности). Для отрицательной определенности
квадратичной формы k ( x) в Rn необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её
матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса, т.е. (1) m  m  0, m  1,..., n .
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму k ( x)  0 с матрицей B '   B  (bij ) : для
нее, по критерию Сильвестра,
b11 b12 ... b1m
 'm  det
b21 b22 ... b2 m
 (1) m  m  0
...
... ... ...
bm1 bm 2 ... bmm
, m  1,
n , ч.т.д.
Скачать