Полярный момент инерции сечения относительно некоторой

http://sm.teormex.net
10
Геометрические характеристики плоских сечений
Площадь: F   dF , dF — элементарная площадка.
F
Статический момент элемента площади dF относительно оси 0x — произведение
элемента площади на расстояние "y" от оси 0x: dSx = ydF
y
Просуммировав (проинтегрировав) такие произведения по
всей площади фигуры, получаем статические моменты отноx
dF
сительно осей y и x: S x   ydF ; S y   xdF [см3, м3, т.д.].
xC
C
F
y
F
Sy
Sx
. Статичеx
F
F
ские моменты относительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести сечения) равны нулю. При вычислении статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, с известными площадями Fi
и координатами центров тяжести xi, yi.Статический момент площади всей фигуры =
Координаты центра тяжести: x C 
yC
0
n
; yC 
n
сумме статических моментов каждой ее части: S x   Fi y i ; S y   Fi x i .
i 1
i 1
n
Координаты центра тяжести сложной фигуры: x C 
Sy
F

 Fi x i
i 1
n
 Fi
n
S
; yC  x 
F
 Fi y i
i 1
n
 Fi
i 1
y
x
dF
F

y
i 1
Моменты инерции сечения
Осевой (экваториальный) момент инерции сечения —
сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний до оси.
J x   y 2 dF ; J y   x 2 dF [см4, м4, т.д.].
F
F
Полярный момент инерции сечения относительно некотоx
рой точки (полюса) — сумма произведений элементарных
площадок на квадраты их расстояний от этой точки.
J p    2 dF ; [см4, м4, т.д.]. Jy + Jx = Jp .
0
F
Центробежный момент инерции сечения — сумма произведений элементарных
площадок на их расстояния от двух взаимно перпендикулярных осей. J xy   xydF .
F
Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или
обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.
http://sm.teormex.net
11
Моменты инерции сечений простой формы
Прямоугольное сечение
Круг
y
y1
3
С
2
bh
hb
b h

; J y1 
; J x1y1 
3
3
4
J x1
h
3
y
2
С
x
Jx 
x1
b
bh 3
hb 3
; Jy 
; J xy  0
12
12
r 4 d 4
Jp 

2
32
r 4 d 4
Jx  Jy 

4
64
J xy  0
x
d
Кольцо
y
d 4
J p  H (1  c 4 )
32
x
С
dв
d 4H
Jx  Jy 
(1  c 4 )
64
dн
d
J xy  0; c  B
Прямоугольный
dH
треугольник
y
h
x
С
2/3h
h
С
b
bh 3
hb 3
b2h 2
Jx 
; Jy 
; J xy  
;
36
36
72
J xy  0, если гипотенуза " убывает"
2/3h
x1 на
b
рис. (-).
J x1
Треугольник
равнобедренный
bh 3
hb 3
Jx 
; Jy 
; J xy  0
36
48
x
bh 3
x1 J
x1 
12
y
x0
y0
x
С
bh 3

12
Четверть круга
Jy=Jx=0,055R4
Jxy=0,0165R4
на рис. (—)
Jx0=0,0714R4
Jy0=0,0384R4
y
0,424R
Полукруг
y
J x  0,11  R 4 ;
С
0,424R
x
J y  J x1
x1
J xy  0
R 4

;
8
Моменты инерции относительно параллельных осей:
Jx1=Jx + a2F;
y1
y
Jy1=Jy + b2F;
Моменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента:
Двутавр Швеллер
Уголок
y
y
y
x0
y0
C
C
C x
x
J xy 
z0
=—45о
x
z0
J x 0  J y0
2
sin 2
b
x
С
a
x1
момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс
произведение площади фигуры на квадрат расстояния между
осями. Jy1x1=Jyx + abF; ("a" и "b" подставляют в формулу с учетом их знака).
http://sm.teormex.net
12
Зависимость между моментами инерции при повороте осей:
Jx1=Jxcos2 + Jysin2 — Jxysin2; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 + Jxysin2;
x1
1
Jx1y1= (Jx — Jy)sin2 + Jxycos2 ;
2
 x
С
Угол >0, если переход от старой системы координат к новой
a
происходит против час.стр. Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции —
оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей
совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяю2  J xy
щий положение главных осей: tg 2 0 
, если 0>0  оси поворачиваются
Jy  Jx
y
y1
против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции. МоJx  Jy 1

(J x  J y ) 2  4  J 2xy
менты инерции относительно этих осей: J max 
2
2
min
Jmax + Jmin= Jx + Jy. Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы
перехода к повернутым осям:
1
Jx1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jy1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jx1y1= (Jmax — Jmin)sin2;
2
Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральJy
Jx
; iy 
ных осей инерции. Радиус инерции — i x 
; Jx=Fix2, Jy=Fiy2.
F
F
Если Jx и Jy главные моменты инерции, то ix и iy — главные радиусы инерции. Эллипс, построенный на главных раy
x1
диусах инерции как на полуосях, называется эллипсом
ix
инерции. При помощи эллипса инерции можно графически
С
найти радиус инерции ix1 для любой оси х1. Для этого надо
x
ix1
провести касательную к эллипсу, параллельную оси х1, и
измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относиiy
тельно оси х1: J x1  F  i 2x1 . Для сечений, имеющих более
двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, Jxy=0, эллипс инерции
обращается в круг инерции.
http://sm.teormex.net
13
Моменты сопротивления.
Осевой момент сопротивления — отношение момента инерции относительно оси к
J
расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. Wx  x [см3, м3]
y max
Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:
Jy
Jx  R3
Jx
bh 2
b2h

прямоугольник: Wx 
; круг: Wx=Wy=
,

; Wy 

R
4
h/2
6
b/2
6
3
Jx
  dH

(1   4 ) , где = dН/dB.
трубчатое сечение (кольцо): Wx=Wy=
dH / 2
32
Полярный момент сопротивления — отношение полярного момента инерции к расJp
стоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения: Wp 
.
 max
R3
Для круга Wр=
.
2