Правительство Российской Федерации

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет мировой экономики и мировой политики
Кафедра международных валютно-финансовых отношений
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
На тему изменение уровня эффективности рынка в зависимости от режима
волатильности.
Студент группы № М26МФ
Азнаурова М.В.
Научный руководитель
Преподаватель,
Корженевский Н.И.
Консультант
Зав.кафедрой МВФО, профессор,
Евстигнеев В.Р.
Москва, 2014 г.
1
Оглавление
Введение. ....................................................................................................................... 4
Глава 1. .......................................................................................................................... 8
1.1 Информационная эффективность рынка .......................................................... 8
1.1.1. Предпосылки Гипотезы Эффективного Рынка (ГЭР) .............................. 8
1.1.2. Гипотеза Эффективного Рынка (ГЭР) ..................................................... 10
1.1.3. Связь информационной эффективности рынка с другими рыночными
показателями. ....................................................................................................... 12
1.1.4. Доказательства и опровержения ГЭР ...................................................... 15
1.2. Волатильность рынка. ..................................................................................... 18
1.2.1. Понятие и виды волатильности. ............................................................... 18
1.2.2. Свойства волатильности. .......................................................................... 21
1.2.3. Причины волатильности. .......................................................................... 22
3. Волатильность и эффективность рынка в научной литературе. ..................... 24
Глава 2. ........................................................................................................................ 29
2.1. Сбор и обработка данных для исследования ................................................ 29
2.2. Кластеризация волатильности. ....................................................................... 30
2.3. Информационное расстояние Кульбака-Лейблера....................................... 35
2.4. Регрессионный анализ ..................................................................................... 42
2.5. Прогнозирование доходности на американском рынке акций ................... 44
2.5.1. Прогнозирование рынка с помощью имеющихся в текущем периоде
данных о границах кластеров. ............................................................................ 44
2
2.5.2. Прогнозирование рынка с помощью имеющихся в предыдущем
периоде данных о границах кластеров. ............................................................. 51
2.5.3. Тест на принадлежность выборок одной совокупности. .................... 53
Заключение. ................................................................................................................ 55
Список использованной литературы........................................................................ 57
3
Введение.
Участников рынка интересует не только направление движения рынка, но
и скорость этого движения. Показателем такой скорости выступает стандартное
отклонение цены актива или волатильность цены. 1
Волатильность
финансовых
временных
рядов
является
ключевой
переменной в моделировании финансовых рынков. Основная трактовка понятия
волатильность тесно связана с оценкой рисков. В общем случае это
неопределенность, связанная с экономическими, политическими факторами,
чрезвычайными ситуациями и т.д.2 Кроме политических и экономических
факторов,
ожидаемая
волатильность
может
зависеть
от
исторической
волатильности (чем выше она была в прошлом, тем выше ожидания по поводу
будущей волатильности), дня недели, пробития важных технических уровней.
Неоспоримым является тот факт, что внутридневная волатильность тесно
связана с изменениями объемов торгов и бид-аск спрэдов.3 Поэтому
волатильность представляется ключевой переменной как в прогнозировании
рынка, так и в построении различных моделей, на основании которых в
дальнейшем строятся торговые правила.
Уровень волатильности, наблюдаемый в конкретный момент, помогает
участникам рынка принять решение об инвестировании в тот или иной актив.
Такое решение принимается на основании ожиданий участников о прибыли,
которую можно получить, приняв на себя риск в той или иной степени.
Возможность получения дополнительной прибыли при дополнительном риске
описывается гипотезой эффективного рынка, которая гласит, что при полной
эффективности вся информация на рынок поступает незамедлительно и во всем
1
Н.В. Демич, О.В. Демич. Методы анализа волатильности финансовых рынков. // Вестник Астраханского
государственного технического университета, 2010, стр. 19-21.
2
Poon, Clive. Forecastina Volatility in Financial Markets: a Review. // Journal of Economic Literature, Vol. XLI, 2003, pp.
478-539.
3
Torben G. Andersen, Tim Bollerslev. Intraday periodicity and volatility persistence in financial markets. // Journal of
Empirical Finance, 1997, pp. 115-158.
4
объеме отражается в ценах. Абсолютно эффективный рынок предполагает, что
невозможно получить больше прибыли, чем ожидается рынком. Однако, многие
исследователи пришли к выводу о том, что абсолютно эффективного рынка в
природе не существует, поэтому можно говорить лишь о большей или меньшей
эффективности, а, значит, и о большей или меньшей возможности получения
прибыли.
В разные времена исследователи изучали вопросы эффективного рынка и
волатильности вместе и отдельно, применительно к разным странам, но нами не
было найдено работы, которая была бы посвящена вопросу о том, какому
уровню волатильности соответствует определенный уровень эффективности
рынка. При этом данный вопрос представляется нам достаточно важным для
изучения, т.к. при определенном уровне наблюдаемой волатильности участники
рынка ожидают ту или иную степень рыночной эффективности и могут
выстраивать на этом основании торговые стратегии. Это и определило
актуальность данного исследования.
Объектом
выпускной
квалификационной
работы
выступает
волатильность финансового рынка. Предметом – связь уровней волатильности
рынка с рыночной эффективностью.
Целью
выпускной
квалификационной
работы
является
изучение
волатильности и ее влияние на эффективность рынка. В рамках данной цели
были поставлены следующие задачи:
1. Кластеризовать волатильность, обозначив тем самым 3 режима: режим
низкой волатильности, режим средней волатильности и режим высокой
волатильности;
2. Использовать относительную энтропию (расстояние Кульбака-Лейблера)
как меру определения эффективности рынка;
5
3. Построить регрессионную зависимость расстояния Кульбака-Лейблера от
режима волатильности;
4. С учетом проведенных исследований построить модель с переключением
режима, когда каждому уровню волатильности будет соответствовать
своя модель или торговое правило. Режим волатильности в периоде t при
этом необходимо определять на основании уже имеющихся данных за
периоды t-n – t-1.
Дальнейшие исследования. В продолжении данной темы представляется
логичным включить в полученную модель прогнозирование волатильности,
чтобы определять режим не на основании наблюдаемых значений (т.к.
граничные значения режимов могут кардинально меняться), а на основании
прогнозных.
Теоретической и методологической базой исследования являются
работы отечественных и зарубежных экономистов по изучаемой проблематике.
Например,
большая
часть
исследований
в
отношении
волатильности
финансовых рынков была проведена Шиллером, а основы эффективного рынка
заложил Фама. Труды этих двух авторов являются основными в теоретической
части работы. С практической точки зрения в ВКР использовались статьи таких
авторов, как X.Xu, S.J.Taylor, M. Mecagni, M.S. Sourial. В основном, в работах
используется сравнение моментов распределений с моментами нормального
распределения для определения информационной эффективности рынка
(аболютная
эффективность
соответствует
нормальному
распредлению).
Большое значение уделяется прогнозированию волатильности с помощью
модели ARCH и ее различных модификаций. В данной же работе проблема
волатильности и рыночной эффективности будет рассмотрена с другой точки
зрения: главным в анализе будет являться не волатильность или ее
прогнозирование (хотя данный шаг может являться усовершенствованием
6
исследования), а их связь, при этом эффективность рынка будет определяться не
моментами
распределения,
а
информационным
расстоянием
Кульбака-
Лейблера. Именно это и определяет новизну данной работы.
Информационную базу исследования составили материалы специальной
периодической печати и сети Интернет по указанной проблематике.
В работе были использованы следующие методы исследования: анализ
литературы, изучение и обобщение зарубежной практики, классификация,
моделирование, прогнозирование, исторический и сравнительный методы.
Структура работы. Цель и задачи исследования предопределили
структуру работы, которая состоит из введения, двух глав и заключения. В
первой главе проводится обзор теоретических материалов по выбранной
проблематике. Во второй главе проводится описание построения модели,
включающей в себя все этапы, обозначенные раннее в качестве задач
исследования.
Выпускная квалификационная работа представлена на 60 страницах
машинописного текста и включает 4 таблицы, 17 рисунков. Библиографический
список насчитывает 41 наименование.
7
Глава 1.
1.1 Информационная эффективность рынка
1.1.1. Предпосылки Гипотезы Эффективного Рынка (ГЭР)
Концепция рыночной эффективности начала активно разрабатываться в
начале 20 века в докторской диссертации Башелье (1900). Он делает вывод о
том, что прошлая, настоящая и даже дисконтированная будущая информация
отражается в рыночных ценах, однако чаще всего не связана очевидным
образом с изменением цены. Такое определение эффективности рынка приводит
Башелье к новому выводу: если рынок, с точки зрения его эффективности, не
предсказывает колебания, он может определять их как более или менее
вероятные, и эта вероятность может быть оценена математически.
Позже, в 1933 году Альфред Коулз III показал, что нет видимого
доказательства того, что рынок может быть предугадан. После этого, в 1944, он
провел подтверждающее его мнение исследование для большого числа
прогнозов на больших выборках. Однако уже в 40-ых данная позиция была
опровергнута в пользу существования слабой и сильной форм рыночной
эффективности, хотя тогда эти понятия еще не были введены.
В 50-ых исследователи смогли впервые использовать электронную
технику для изучения данного вопроса и пришли к выводу, что возможно
анализировать экономические временные ряды путем извлечения из всего
массива данных длительного движения или тренда для отдельного изучения, а
после этого брать в расчет краткосрочные колебания и случайные движения
рынка (Кендалл, 1953).
Когда Кендалл исследовал 22 ценовых процесса британских акций,
результат получился прямо противоположным. Он сделал заключение, что для
рядов цен закрытия разница между двумя соседними уровнями так велика, что
8
любой систематический эффект, который может существовать на рынке,
нивелируется. Так появилась теория случайных блужданий на финансовых
рынках.
Если цены изменяются случайным образом, то возникает существенная
проблема для прогнозирования рынка. В 1959 году Робертс показал, что
временные ряды, сгенерированные последовательностью случайных чисел,
незначительно отличались от цен акций на американском рынке – базы для
прогнозирования будущего ценового процесса.
Однако, несмотря на появляющиеся доказательства того, что ценовой
процесс случаен, на рынке появилось аномальное поведение цен на акции,
которые начали следовать прогнозам.
Позже было доказано, что автокорреляционная зависимость может быть
результатом использования усредненных по времени цен акций. Уоркинг в 1960
и Александр в 1961 независимо друг от друга сделали такое заключение. Если
доходности основываются на ценах конца периода, доходности будут
колебаться случайным образом.
Поворотным моментом в исследовании эффективных рынков стали
исследования Фамы.
С большим пониманием ценообразования на конкурентных рынках
пришло и осознание того, что модель случайных блужданий может
рассматриваться
как
набор
наблюдений,
что
согласуется
с
моделью
эффективного рынка. Переключение внимания началось с работы Самуэльсона
в 1965. Он писал, что на конкурентном рынке найдется покупатель для каждого
продавца. Если кто-то был бы уверен в росте цены, она бы уже выросла. Он
сделал вывод, что конкурентные цены должны отражаться изменения цен,
9
которые в свою очередь отражают случайные блуждания, а смещение
невозможно спрогнозировать. 4
1.1.2. Гипотеза Эффективного Рынка (ГЭР)
В какой степени исторические данные ценных бумаг могут быть
использованы для сколько-нибудь значимого прогнозирования рынка? Этот
вопрос многие годы являлся предметом рассуждений ученых. Ответы на этот
вопрос давали с одной стороны чартистские теории, с другой – теории
случайных блужданий. Хотя существует множество чартистских теорий, в
основе их всех лежит одно и то же предположение: историческая динамика
ценной бумаги определяет будущее поведение цены. С другой стороны, теория
случайных блужданий говорит, что будущее поведение ценового процесса не
зависит ни от времени, ни от предыдущего шага. В терминах статистики,
ценовой процесс – независимые случайные величины, имеющие одинаковое
распределение. То есть, исторические данные никак не могут повлиять на
прогнозирование рынка.5
В поисках ответа на этот вопрос Ю. Фама в своей работе «Efficient Capital
Markets: a Review of Theory and Empirical Work» сформулировал гипотезу
эффективного рынка. 6
Гипотеза эффективного рынка (ГЭР) – гипотеза, согласно которой вся
поступающая на рынок информация немедленно и в полной мере отражается в
цене актива.
Существует три формы рыночной эффективности: слабая, средняя и
сильная.
4
E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998,
pp. 91-103.
5
Fama E. F. The Behavior of Stock-Market Prices. // Yje Journal of Business, Vol. 38, No.1, 1965, pp. 34-105.
6
Fama Eugene F.. Efficient capital markets: a review of theory and empirical work // Journal of Finance, Vol. 25, 383417.
10
Слабая форма рыночной эффективности не предполагает, что все
экономические агенты являются рациональными, но при этом возможным
является
тот
факт,
что
на
рынке
существует
группа
инвесторов,
устанавливающая цены на ценные бумаги, основываясь на интуиции или в
условиях недостатка информации. Пока неинформированные и иррациональные
инвесторы действуют в произвольном порядке, их действия в общем итоге
сбалансируются и цены на рынке установятся на том же уровне, на каком они
были бы, если бы все агенты действовали абсолютно рационально. При данной
форме
рыночной
эффективности
инвесторам
доступна
лишь
прошлая
информация (в первую очередь это курсовая динамика).
Средняя форма рыночной эффективности характеризуется доступностью
как прошлой, так и публичной информации. Это переходная форма между
сильной и слабой формами. Исследования средней формы рыночной
эффективности
начались
с
тестирования
скорости
отражения
ценами
поступающей информации. Используя модель CAPM, была изучена степень
реакции цен на данные о сплитах акций и сообщениях об их доходности. В
обоих случаях рынок предвидит поступившую информацию, и цены в своем
большинстве практически полностью адаптируются к информации до тех пор,
пока она не отразится на рынке. Как только поступившая информация выходит
на рынок, не адаптировавшаяся к ценам часть восполняется быстро и точно.
В исследовании Шоулза (1972), который изучал вторичный рынок в том
случае, когда продавец обладает непубличной информацией, указано, что в
среднем цены акций падают на такую величину, которая в точности отражает
значимость информации. 7
Сильная форма эффективности предполагает, что все экономические
агенты полностью осведомлены обо всех событиях на рынке и являются
7
E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998,
pp. 91-103.
11
абсолютно рациональными. Если все они могут располагать историческими
данными (например, о ценах, экономических переменных, политических
событиях и т.д.), то все они придут к определенному заключению о реальном
положении дел и сформируют цены путем дисконтирования ожидаемых
будущих
денежных
потоков,
т.к.
цена
ценной
бумаги
зависит
от
неопределенности и приверженности к риску игроков на рынке. Таким образом,
рыночная цена включает в себя всю доступную на рынке информацию, а рынки
становятся информационно эффективными. Все ценные бумаги оценены
справедливо, а дополнительная прибыль (сверх безрисковой процентной
ставки) является справедливой компенсацией дополнительного риска. Так,
сильная форма эффективности предполагает, что инвесторам доступна не
только историческая и публичная информация, но и внутренняя. Все это делает
невозможным получить сверхприбыль.
1.1.3. Связь информационной эффективности рынка с другими рыночными
показателями.
Многие исследователи связывают концепцию эффективного рынка с его
ликвидностью. Это, например, Субрахаманям (1991), Тэйссен (2000), Чордиа,
Ролл, Субрахаманям (2008), Смит (2008).
В своем исследовании Эрик Тэйссен провел эксперименты с 18 рынками с
целью сопоставить созываемый рынок, дилерский рынок и непрерывный
рынок-аукцион. Цены сделок на созываемом рынке и непрерывном рынкеаукционе гораздо эффективнее цен на дилерском рынке. Созываемый рынок, в
свою очередь, демонстрирует недостаточную реакцию на вновь поступившую
информацию. Стоимость оформления сделки ниже всего на созываемом рынке
и выше всего – на дилерском. Объем торгов и оценка сериальной ковариации
Ролла не являются подходящими мерами для изучения стоимости оформления
сделки. В данной работе была проанализирована связь между отдельными
12
сигналами, торговыми решениями и прибылью. Замысел включал в себя
асимметрию информации, но при этом гарантировал, что предполагаемое
количество отдельных сигналов каждого трейдера одинаково. Было определено,
что цены открытия на созываемом рынке ближе к действительным ценам
актива, чем цены на дилерском рынке или непрерывном рынке-аукционе. Таким
образом, может быть оправдана практика многих бирж начинать торги с
созываемого рынка. Отдельные цены сделок на созываемом рынке и
непрерывном рынке-аукционе, в общем, более эффективны, чем цены на
дилерском рынке. На дилерском рынке цены передают высококачественную
информацию, но по цене высоких транзакционных издержек. Однако
созываемый рынок показывает систематическую тенденцию недореакции на
новую информацию. Анализ рыночной ликвидности привел автора к
заключению, что стоимость сделки минимальна на созываемом рынке, а
максимальна – на дилерском.
Точность сигналов, которые получают трейдеры, влияет на состав
индивидуальных портфелей и объемы торгов. Связь между качеством сигнала и
прибылью была найдена лишь на дилерском рынке. Данный результат не
противоречит понятию эффективного рынка на созываемом рынке и
непрерывном рынке-аукционе. 8
В 2007 году было проведено исследование Чордиа, Роллом и
Субрахаманямом. Прогнозирование доходности на коротком интервале из
потока заказов является обратным индикатором рыночной эффективности. Они
определили, что такое прогнозирование
ослабевает, когда бид-аск спрэд
меньше. Тесты на дисперсионное отношение показывают, что цены очень
близки к отражению модели случайного блуждания при высокой ликвидности
рынка. Это позволяет сделать вывод, что ликвидность стимулирует арбитраж,
8
Theissen E. Market Structure, Informational Efficiency and Liquidity: an Experimental Comparison of Auction and
Dealer Markets. // Journal of Financial Markets, 3, 2000, pp.333-363.
13
который, в свою очередь, увеличивает эффективность рынка. Кроме того, они
делают вывод о том, что при режиме высокой ликвидности рынка повышается
степень отображения информации в ценах.
эффективном
предыдущей
рынке
прогнозирование
доступной
информации
Авторы указывают, что на
доходности
должно
в
быть
зависимости
от
минимальным
и
краткосрочным. 9
Грэхэмом Смитом была проверена гипотеза о том, что рыночный индекс
следует модели случайных блужданий. Протестировано это предположение
было на фондовых рынках 11 африканских стран, используя показатель
совместной дисперсии за 6 лет. Автором указывается, что ключевую роль в
исследовании сыграла ликвидность, которая является важным фактором
в
определении следования рынком модель случайных блужданий.
Причиной данного исследования явилась статья Кендалла (1953). Он
показал, что любая корреляция между ценами на британской бирже была так
ничтожна, что их нельзя было использовать для прогнозирования. Британский
рынок был определен как рынок со слабой эффективностью. В свою очередь
Фама (1970) доказал то же самое на американском рынке. Существуют
исследования, показывающие, что на формирующихся рыках цены чаще
следуют модели случайного блуждания (Азия, Латинская Америка). Смит же
проверил эту гипотезу для африканских рынков.
Ликвидность на рынке
содействует формированию цен; чем чаще заключаются сделки, тем больше
вероятность того, что цены изменяются в результате отражения поступившей на
рынок информации. В результате, во всех 11 случаях гипотеза о том, что цены
на фондовых рынках следуют модели случайного блуждания, были отвергнуты
(т.е. рынок неэффективен). Неэффективность африканского рынка объясняется
9
Tarum Chorida, Richard Roll, Avanidhar Subrahmanyam. Liquidity and Market Efficiency. // Journal of Financial
Economics, 87, 2008, pp. 249-268.
14
низкой ликвидностью, не позволяющей совершать сделки с необходимой
частотой. 10
Боэмер и Келли изучили связь информационной эффективности рынка и
степени присутствия на нем институциональных инвесторов. В статье
исследованы цены акций NYSE за период с 1983 по 2004 гг. В результате был
сделан
вывод,
что
чем
больше
средств
сосредоточено
в
руках
институциональных инвесторов, тем выше эффективность рынка. От активного
участия институциональных инвесторов выигрывают все, т.к. рынок с высокой
информационной эффективностью является благом для всех. 11
1.1.4. Доказательства и опровержения ГЭР
Рынок должен быть эффективным по нескольким причинам. Во-первых,
на рынке действует большое количество агентов. Во-вторых, вся релевантная
информация доступна. В-третьих, информация попадает на рынок случайным
образом. В-четвертых, инвесторы стремятся в кратчайшие сроки привести цены
к определенному уровню в зависимости от располагаемой информации.
Однако Стиглицем и Гроссманом было доказано, что совершенный с
точки зрения информационной эффективности рынок невозможен. Сам
парадокс заключается в следующем. Если рынок эффективен, и вся доступная
информация заложена в ценах, а для получения информации необходимы
ресурсы (такие как время, деньги и т.д.), то ни один агент не имеет достаточно
стимулов, чтобы приобрести информацию, в соответствии с которой
устанавливаются цены. Поэтому было предложено другое определение
эффективного рынка. Рынок информационно эффективен, если текущие цены
отражают всю доступную информацию до тех пор, пока предельные издержки
10
Graham Smith. Liquidity and the Informational Efficiency of African Stock Markets. // South African Journal of
Economics, Vol. 76:2, 2008, pp. 161-175
11
Ekkehart Boehmer, Eric K. Kelly. Institutional Investors and the Informational Efficiency of Prices. //
http://libgen.org/scimag6/10.1093/rfs%252Fhhp028.pdf
15
на
получение
ценообразующей
информации
больше
выгоды
от
ее
приобретения.
Как заметил профессор Шарп в ответ на одно из первых исследований
ГЭР Фамы, прогнозирование на рынке, информация на который попадает
мгновенно и бесплатно (т.е. информационно эффективном рынке), является
практически бесполезным. Однако, нетривиальным эффективный рынок делает
то, что он предопределен как рынок, участники которого хоть и не получают
всю доступную информацию бесплатно, действуют так, как если бы
действительно располагали всей имеющейся информацией без затрат.
Вопрос, почему рынок может вести себя эффективно, несмотря на тот
факт, что информация, даже публично доступная, не является бесплатной как
для приобретения, так и для обработки, привел к тому, что были
сформулированы модели рыночных механизмов. Эти модели при тщательно
определенных обстоятельствах могут привести к тому, что агенты начнут вести
себя так, будто информация достается им бесплатно, хотя это и не так. И, хотя
эти модели являются убедительными, все они разнятся в вопросе получения
рынком эффективных цен. Отсутствие единого ценообразующего механизма
ставит под сомнение ГЭР.
Кроме
опровергавших
того,
ГЭР.
было
Басу
проведено
(1977)
множество
подтвердил
исследований,
значение
P/E
прямо
ratio
в
прогнозировании рынка. В исследовании, включавшем более 1400 фирм за
периоды с 1956 по 1971, указывается, что ценные бумаги с низким P/E
превосходят акции с высоким P/E более, чем на 7% в год. Несмотря на то, что
результаты можно было интерпретировать исходя из того, что за основу
исследования была взята модель CAPM, Басу объяснил это в терминах
эффективности. По его мнению, некоторые ценные бумаги на рынке
16
переоценены по отношению к бумагам со схожей доходностью, поэтому
появляются возможности аномальных доходностей. 12
Помимо прочего, исследователи доказали, что рынок по-разному
реагирует на разную информацию: какая-то информация может мгновенно
отразиться в ценах, а однородная по эффективности, но разнородная по области
– не иметь никакого воздействия. 13
Резервный
Банк
Австралии
провел
исследование
рыночной
эффективности на предмет соответствия теоретических основ ГЭР эмпирике и
получил следующие результаты:
1. Основываясь на ГЭР, цены на финансовые активы изменяются в
соответствии с законом случайного блуждания. Данная характеристика
эффективного рынка является отчасти верной, хотя на рынках
существует небольшая автокорреляция на небольших отрезках, а на
больших наблюдается тенденция возврата цен к равновесию.
2. Новая информация в кратчайшие сроки отражается в ценах, а текущие
цены не могут быть использованы для прогнозирования. Да, новая
информация действительно отражается в ценах, но не полностью и не
однородно.
3. Технический анализ не дает трейдеру никакой полезной информации.
Несмотря
на
техническому
диаметрально
анализу,
его
противоположные
распространение
отношения
говорит
о
к
его
эффективности.
4. Цены на финансовые активы всегда соответствуют фундаментальным
факторам ценообразования. На практике же, цены почти никогда не
12
E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998,
pp. 91-103.
13
Ronald J. Gilson and Reinier H. Kraakman. The Mechanisms of Market Efficiency. //Virginia Law Review, 1984, pp.
549-644
17
соответствуют
этим
факторам и
значительно
отклоняются от
равновесных значений. 14
1.2. Волатильность рынка.
1.2.1. Понятие и виды волатильности.
Колебания цен известны на всех спекулятивных рынках, будь то рынок
акций, облигаций, недвижимости, валюты и т.д. Иногда цены изменяются
сильно, иногда – нет. Мерой изменчивости цены в статистике и финансах
является волатильность (англ. изменчивость). Это важнейший финансовый
инструмент
в
управлении
рисками,
поскольку
именно
волатильность
представляет собой меру риска того или иного актива.
В некоторых случаях волатильность ведет себя непредсказуемо. В статье
Роберта Шиллера «Причины изменения волатильности на финансовых рынках»
приведен пример волатильности 1929-1933 гг. и 1987 года.
На рисунке 1 представлена волатильность американского рынка (индекс
S&P) за период с 1871 по 1987гг. Как видно, волатильность во времена великой
депрессии была гораздо выше волатильности, соответствующей кризису,
порожденному черным понедельником 1987 (более, чем в 3 раза). Кроме
прочего, необходимо обратить внимание, что в истории существует множество
моментов, в которые волатильность была примерно на том же уровне, что и в
1987 году при сравнительно спокойной экономической ситуации.
14
Beechey M. Gruen D. Vickery J. The Efficient Market Hypothesis: a Survey. // Reserve Bank of Australia Research
Discussion Paper №2000-2001, January 2000, p.4.
18
Рис. 1. Уровень волатильности американского рынка (S&P) за период
1871-1987гг.
Источник: http://www.kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill.pdf
В этой же статье указывается, что волатильность на разных рынках
внутри одной страны за одинаковые периоды может значительно разниться. На
рисунке 2 представлены рынок акций, товарный рынок, валютный рынок и
рынок облигаций США за периоды 1948-1988 гг. Когда волатильность на одном
рынке высока, волатильность на другом рынке может показывать минимальное
значение. И наоборот. Например, на товарном рынке цены демонстрировали
очень высокую волатильность в самом начале исследуемого периода, низкую
волатильность практически на всем отрезке 1950-1960 гг. и повышенную
волатильность в конце 70-ых. Все это не связано с волатильностью на рынке
акций. Хотя, такая связь не является обязательной. На связанных рынках
волатильность одного рынка приводит к волатильности на другом.15
15
Robert J. Shiller. Causes of Market Volatility. http://www.kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill.pdf
19
Рис. 2. Волатильность на различных рынках США: рынок акций, товарный
рынок, валютный рынок, рынок облигаций.
Источник: http://www.kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill.pdf
Различают историческую волатильность и вмененную волатильность.
Историческая
волатильность
прямо
пропорциональна
стандартному
отклонению доходности инструмента и обратно пропорциональна квадратному
корню
временного
периода.
При
расчете
вмененной
волатильности
исторические данные не используются; это волатильность, которую рынок
ожидает в будущем. Вмененную волатильность находят из модели БлэкаШоулза при известных ценах опционов на актив, для которого рассчитывается
волатильность. Однако, вмененная волатильность неодинакова для опционов с
различными параметрами: возникает улыбка волатильности, называемая так изза характерной выпуклой формы графика зависимости волатильности от цены
исполнения опциона. Ожидаемая волатильность зависит от нескольких
20
факторов, в их числе историческая волатильность, ликвидность, а также
политические и экономические факторы.
1.2.2. Свойства волатильности.
Волатильность
обладает
некоторыми
общими
свойствами
–
«стилизованными фактами». К этим свойствам относятся:
 Избыточная волатильность. Зачастую наблюдаемый на рынке
уровень волатильности зависит не только от фундаментальных
экономических факторов, т.е. уровень изменчивости цен нельзя
объяснить лишь поступлением на рынок той или иной информации;
 Отсутствие линейной корреляции доходностей. Доходности акций,
взятые за довольно длинные временные промежутки, линейно не
коррелированы;
 Кластеризация волатильности и свойство памяти.
понятия
кластеризации
волатильности
В финансах
было
введено
Мандельбротом в 1963 году: на рынке «за сильными изменениями в
настоящем обычно следуют сильные изменения (любого знака) в
будущем, а за небольшими изменениями следуют небольшие
изменения». Это свойство привело к использованию модели
GARCH в прогнозировании волатильности и прогнозированию цен
на производные финансовые инструменты. Автокорреляционная
функция убывает медленно, поэтому периоды высокой и низкой
волатильности бывают продолжительными.
 Связь с объемом торгов. Волатильность цен положительно
коррелирована с показателем объема торгов.
 «Толстые»
хвосты.
Распределение
дневных
доходностей
характеризуется «толстыми» хвостами.
21
 Фома вероятностных распределений. На форму вероятностных
распределений влияет интервал, за который
рассчитывается
доходность. Например, логарифмические доходности за длительные
периоды времени имеют распределение, близкое к нормальному,
тогда как распределение доходности за короткие временные
промежутки характеризуется «толстыми» хвостами. 16
1.2.3. Причины волатильности.
Главным вопросом в исследовании изменений рыночных цен является
причина каждодневных движений ценового процесса. Можно ли соотнести эту
динамику
с
фундаментальными
шоками,
технологическими шоками, предпочтениями
природными
ресурсами,
монетарной
влияющими
на
экономику,
потребителей, демографией,
политикой
или
другим
рычагом
государства? Или такая динамика связана с психологическим фактором, т.е.
изменения цен на рынке происходят в зависимости от энтузиазма спекулянтов
или других аспектов их мировоззрения, шоков, которые в основном происходят
из человеческого воображения?
Однозначным ответом на поставленные вопросы является тот факт, что
вне зависимости от основной причины, цены на рынке изменяются, потому что
изменилось видение ситуации инвесторами.
К причинам волатильности можно отнести следующее:
1. Ликвидность рынка. Чем выше ликвидность той или иной ценной
бумаги, тем больше у держателя шансов купить или продать ее в
определенный момент, а значит, бумага менее рискованная. Т.к.
волатильность является индикатором рискованности ценной бумаги, то
16
Субботин А.В. Моделирование волатильности: от условной гетероскедастичности к каскадам на
множественных горизонтах. // Прикладная эконометрика, 2009, стр. 91-138.
22
в этом случае волатильность будет ниже, чем в случае с менее
ликвидными бумагами. И наоборот.
2. Определенность рыночной ситуации. К этому пункту относятся,
например, экономические и политические события: выступления глав
центральных банков, заявления официальных лиц по поводу ситуации
в стране, смена правления, войны и т.д. Большой интерес в данном
вопросе представляет смена власти, т.к. это может привести к
изменению всего курса страны. Однако не обязательно смена власти
сопровождается высокой волатильностью на рынке. Исследования,
включающие анализ ситуации в нескольких странах Европы и в США,
показывают, что в некоторых ситуациях выборы президента не
оказывают никакого влияния на динамику цен. 17
3. Ожидания участников рынка. В зависимости от тех выводов, которые
делает для себя каждый участник рынка, формируется рыночная мода,
ведь
на
практике
индивиды
не
всегда
принимают
решения
обособленно. Шиллер называет эту причину одной из главных причин
волатильности на финансовых рынках. Направление моды, в котором
движется одна страна, может не совпадать с направлением в другой
стране. Правдоподобным кажется тот факт, что восприятие возможной
прибыли и есть отображение моды. Цены на рынке сильно подвержены
социальным движениям. Мы можем принять этот факт на основании
наблюдений за участниками рынка и человеческой натурой в
литературе по психологии, социологии и маркетингу. Исследования
истории рынка акций США в поствоенный период показывает, что
17
Азнаурова М.В. Влияние президентских выборов на фондовые рынки. Электронный сборник по итогам
конференции «Ломоносов-2012». http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/index.htm
23
различные социальные движения шли полным ходом, а это оказало
сильный эффект на совокупный спрос.18
3. Волатильность и эффективность рынка в научной литературе.
На сегодняшний момент множество исследователей использовали такую
меру, как волатильность спекулятивных инструментов для доказательств того,
что модель рыночной эффективности не работает. Объяснением такой позиции
послужило предположение, что цены слишком изменчивы, чтобы отражать
случайное поступление информации о фундаментальных составляющих
ценообразования. Впервые волатильность была использована в качестве меры,
отражающей рынок, ЛеРоем и Портером в 1981 году по отношению к рынку
акций и Шиллером в 1979 году по отношению к доходности краткосрочных и
долгосрочных облигаций. 19
Большинство моделей, связанных с волатильностью рынка, используют
либо
прошлые
доходности,
либо
фактическую
волатильность
для
прогнозирования меры изменчивости цен. В исследовании С. Р. Харви и Р. Е.
Уэйли динамика рыночной волатильности оценивалась на основании вмененной
волатильности опциона на индекс S&P 100. Авторами были протестированы и
отвергнуты гипотезы о непредсказуемости изменений волатильности. Кроме
того, в работе было сделано предположение о связи изменяющейся во времени
волатильности и рыночной эффективности. Большое внимание в работе было
уделено способам оценки вмененной волатильности.
Спецификация модели включала в себя дамми переменные для
понедельника и для пятницы. Т.к. понедельник – это день, когда многие
18
Robert J. Shiller. Causes of Market Volatility. http://www.kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill.pdf
19
ROBERT J. SHILLER. The Use of Volatility Measures in Assessing Market Efficiency.// The Journal of Finance,
1981, pp. 291-314.
24
трейдеры
открывают
позиции
на
неделю,
на
рынке
наблюдается
дополнительное давление в виде повышенного спроса и чрезмерной, по
отношению к другим дням, покупки бумаг; в то же время, пятница – это день,
когда трейдеры закрывают позиции
за неделю и на рынке наблюдается
повышенное предложение, в результате чего появляется чрезмерная продажа
бумаг. Такое давление может сказываться на рынке в виде повышенной или
пониженной вмененной волатильностью. В регрессию были включены также
доходности индекса с лагом. Многие исследователи (Блэк (1976), Кристи (1982),
Шверт (1990), Нельсон (1991)) показывали в своих работах отрицательную
зависимость между ценой и уровнем волатильности. Поэтому в данной модели
ожидания о связи между доходностью и изменением волатильности также были
отрицательными. Для того, чтобы наблюдать автокорреляцию в изменении
волатильности,
в
регрессию
были
добавлены
изменения
вмененной
волатильности опционов пут и колл с двумя лагами (тот факт, что
исследователи включили в модели и пут, и колл опционы, объясняется
желанием использовать максимум имеющейся информации и возможностью в
дальнейшем прогнозировать изменения волатильности как пута, так и колла).
Помимо прочего, в модель были включены процентные ставки, цены на
фьючерсные контракты S&P.
Т.к. прогноз волатильности на основании регрессионной модели точен со
статистической точки зрения, а колебания прогнозируемых изменений
недостаточно
велики,
чтобы
допустить
получение
ненормальных
скорректированных на риск прибылей после уплаты минимальных издержек по
заключению сделки, нулевая гипотеза о том, что рынок опционов на индекс
S&P 100 является эффективным, не может быть отвергнута.20
20
Campbell R. Harvey, Robert E. Whaley. Markket Volatility Prediction and the Efficiency of the S&P 100 index Option
Market. Journal of Financial Economics, 31, 1992, pp. 43-73.
25
Одной из работ, посвященной изучению проблем связи волатильности и
рыночной эффективности, явилась работа
M. Mecagni, M.S. Sourial «The
Egyptian Stock Market: Efficiency Test and Volatility Effects»
Целью данной работы явилось изучение поведения доходностей на
египетском фондовом рынке, информационной эффективности рынка и связи
между волатильностью и доходностью. Исследование было проведено в
основном в виду того факта, что хорошо функционирующий фондовый рынок
оказывает влияние на повышение нормы накопления, рост инвестиций и
экономический рост.
Суть
данной работы сводилась к использованию модели GARCH.
Данный подход позволил эмпирически оценить связь между риском и
доходностью в конфигурации, согласующейся с такими характеристиками, как
эксцесс, превышающий показатель нормального распределения и кластеризация
волатильности, наблюдающейся при изучении временных рядов доходностей
египетского фондового рынка.
Эмпирический анализ показал, что доходности египетского фондового
рынка характеризуются распределением, далеким от нормального, а также
высокой степенью корреляции с изменениями волатильности. Все индексы
египетского
рынка
значительно
автокоррелированны,
что
предполагает
существование отклонения от эффективного рынка в ценообразовании бумаг.
Этот результат может являться отражением нескольких факторов,
которые оказывают влияние на обработку новой информации. К этим факторам
можно отнести стабильно высокое количество неактивно торгующихся акций и
все еще ограниченную роль фондов и
профессионально управляемых
организаций. Отвержение гипотезы эффективного рынка подразумевает, что
изучение
проблем
торговли,
своевременное
публичное
раскрытие
и
распространение информации о деятельности компаний, имеющих листинг,
26
являются ключевыми элементами стратегии по развитию Египетского
фондового рынка. 21
Похожее исследование с точки зрения цели и методов было проведено
X.Xu, S.J.Taylor в отношении американского рынка валютных опционов.
Работа посвящена проверке гипотезы об информационной эффективности
валютных опционов на фондовой бирже Филадельфии, используя модель
ARCH. Было обнаружено, что прогнозирование волатильности с помощью
опционов пут и колл включает инкрементную информацию, связанную со
стандартной спецификацией модели ARCH для вмененной волатильнсоти, в
которой используется лишь информация о прошлый доходностях. Данный факт
был подтвержден как для фунта, так и для марки, франка и йены (исследование
было проведено в 1995 г.). Кроме того, при прогнозировании волатильности на
один шаг вперед, гипотеза о том, что прошлые доходности не содержат в себе
никакой дополнительной информации, вдобавок к той, которая содержится в
рыночных ценах, не может быть отвергнута для всех валют, кроме йены. Т.е. в
случае с фунтом, франком и маркой рынок является информационно
эффективным. Помимо прочего, было отмечено, что рыночные агенты являются
рациональными в их ожиданиях будущей волатильности.
Таким образом, в работе был сделан вывод об информационной
эффективности
филадельфийской
фондовой
биржи
ценообразованию и ожиданиям волатильности рынка.
по
отношению
к
22
Основным направлением в исследованиях является волатильность и ее
прогнозирование, а не связь с рыночной эффективностью. В качестве
инструментов в моделях используются модели ARCH и их различные
модификации, а для оценки эффективности используются отклонения второго,
21
Mauro Mecagni, Maged Shawky Sourial. The Egyptian Stock Market: Efficiency Tests and Volatility Effects. IMF
Working Paper, 1999.
22
Xinzhong Xu, Stephen J. Taylor. Conditional Volatility and the Informational Efficiency of the PHLX currency options
Market. // Jounal of Banking and Finance, 1995, pp. 803-821.
27
третьего и четвертого моментов от моментов нормального распределения.
Кроме того, выводы делаются на основании оценки рациональности участников
рынка в отношении их ожиданий.
В данной же работе проблема волатильности и рыночной эффективности
будет рассмотрена с другой точки зрения: главным в анализе будет являться не
волатильность или ее прогнозирование (хотя данный шаг может являться
усовершенствованием исследования), а их связь, при этом эффективность рынка
будет определяться
не моментами распределения, а информационным
расстоянием Кульбака-Лейблера. Именно это и определяет новизну данной
работы.
28
Глава 2.
2.1. Сбор и обработка данных для исследования
В данной главе будет проведена кластеризация волатильности, на этом
основании будет определена эффективность рынка при различных режимах, а
также построена стратегия с переключением режима в зависимости от уровня
волатильности.
Данные для исследования взяты с сайта Yahoo Finance.23 В их число
входят исторические ряды индекса волатильности VIX и индексa S&P 500. Все
данные были разделены на 3 группы: с 1970 по 1990гг., с 1990 по 2000 гг., с
2000 по 2014 гг. Данные по индексу волатильности доступны лишь со 2 января
1990 года, тогда как ряд S&P гораздо длиннее, и взять данные с 1970 года
оказалось возможным. Для выравнивания рядов была рассчитана историческая
волатильность за период с 1970 по 1990 гг. по следующей формуле:
24
Тогда формула для расчета исторической волатильности для того, чтобы
получить недельные данные будет выглядеть следующим образом:
𝜎ист =
𝑠𝑡. 𝑑𝑒𝑣.5
,
√5⁄252
где 𝜎ист – искомая историческая волатильность, 𝑠𝑡. 𝑑𝑒𝑣.5 – стандартное
отклонение, рассчитанное на 5 днях (чтобы привести данные к недельному
виду).
Для поиска исторической волатильности был использован ряд дневных
значений индекса S&P с 1970 по 1990 гг.
23
24
Finance.yahoo.com
http://en.wikipedia.org/wiki/Volatility_(finance)
29
Таким образом, были получены ряды значений индекса и волатильности
длиной 1043 значения для первой группы, 532 – для второй и 720 для третей.
Все данные являются недельными.
2.2. Кластеризация волатильности.
Первым этапом решения задачи является кластеризация волатильности
(исторической и индекса VIX). Кластеризация производится методом kсредних.
Идея кластеризации заключается в объединении данных в группы в
соответствии с каким-либо признаком схожести, при этом множество объектов
должно быть разбито на группы так, чтобы каждый i-тый объект принадлежал
одному и только одному подмножеству разбиения, элементы в одном кластере
были схожи, а элементы из разных кластеров – не схожи между собой. 25
Основные
усилия
в
развитии
методов
кластерного
анализа
и
классификации данных были направлены на построение методов, основанных
на минимизации внутригрупповых сумм квадратов. Эти методы могут быть
выражены
в
терминах
евклидовой
метрики
и
называются
методами
минимальной дисперсии. Такие методы исследовали Соренсен, Мак-Нотон и
Смит, Ворд, Сокал и Миченер, Болл и Холл, МакКуин и другие. Наиболее
популярным является метод МакКуина (1967г.) – метод k-средних (k-means
clustering).26
Кластерный анализ данных посредствам метода k-средних относится к
методам неиерархической итеративной кластеризации. В результате анализа все
данные делятся на заданное количество кластеров k, причем k задается в
зависимости от предыдущих исследований, на теоретическом основании
касательно предмета исследования или интуитивно. Одним из главных
25
K.Wagstaff, C.Cardie, S.Rogers, S.Schroedl. Constrained K-means Clustering with Background Knowledge.
Proceedings of the Eighteenth International Conference on Machine Learning, 2001, p. 577-584.
26
B. Duran, P.Odell. Cluster Analysis. Springer-Verlag. Berlin-Heilelberg-New York. 1974.
30
недостатков данного метода является чувствительность к выбросам: чаще всего
они попадают в отдельный кластер, который может содержать в n раз меньше
наблюдений, чем все остальные кластеры. Вторым недостатком является
медленная работа алгоритма на больших объемах данных.
Алгоритм кластеризации методом k-средних заключается в следующем.
На первом этапе выбирается число k и центры кластеров. Центры кластеров
можно выбрать несколькими способами: это может быть как случайное
разбрасывание точек, так и выбор первых k наблюдений или любой другой
способ: последующие этапы переместят первоначальные центроиды так, что их
выбор на начальном этапе не будет играть значительной роли. На втором этапе
рассчитывается расстояние от каждой точки до центроидов, выбирается
наименьшее расстояние. Если наименьшим является расстояние от точки А до
центроида k1, то точка А принадлежит к первому кластеру. После того, как все
точки принадлежат какому-либо кластеру, вычисляется его центр: это будет
новый центроид. На следующем шаге расстояние пересчитывается. Процесс
повторяется столько раз, сколько итераций ему было задано изначально. Чаще
всего ста итераций бывает достаточно для того, чтобы процесс сошелся, т.е.
центры кластеров перестали меняться. 27
Выбор количества кластеров является сложной задачей, поэтому, в том
случае, когда предположений о количестве кластеров нет, И. М. Нейский
советует попробовать поочередно разделить имеющиеся данные на 2 кластера,
затем на 3, 4, 5 и т.д. и сравнить полученные результаты.
2829
Однако, такой
способ может быть эффективен лишь при небольшом количестве данных и
небольшом количестве кластеров. Например, в случае, когда количество данных
27
MacQueen J.B. Some Methods for Classification and analysisof multivariate observations. http://wwwm9.ma.tum.de/foswiki/pub/WS2010/CombOptSem/kMeans.pdf
28
Филлипович Ю. Н. Интеллектуальные Технологии и Системы. НОК «CLAIM», M.2006, Стр. 135-136
29
J.A. Hartigan, M.A.Wong. A k-means Clustering Algorithm. // The Journal of the Royal Statistical Society, 1979, pp.
100-108
31
равно 8, а количество кластеров равно 4,
количество вариантов составит
больше 1700. То есть существует больше 1700 способов разбить 8 значений на 4
кластера.
В тех случаях, когда кластеров много, а априорных соображений по
поводу их точного количества нет, пользуются таблицей Фортьера и Соломона.
Она указывает на количество кластеров при определенной вероятности того,
что найдено оптимальное количество кластеров и заданной доле «наилучших»,
допустимых разбиений. Например, при вероятности того, что найдено
оптимальное количество кластеров в 20% и доле допустимых разбиений в 10%
количество кластеров должно быть равно 16. 30
В данном исследовании же делается предположение о природе
волатильности и ее разбиении на 3 участка: высокая, средняя и низкая
волатильность. Поэтому в результате кластеризации получим по 3 кластера в
каждой из 3 групп.
Следует отметить, что кластеризуется сам индекс VIX (или историческая
волатильность), тогда как индекс S&P в исследовании взят в виде
логарифмического прироста в соответствии с законом Вебера-Фехнера, который
гласит, что интенсивность ощущения прямо пропорциональна логарифмической
интенсивности раздражителя.
31
В первой группе, с 1970 по 1990 гг., переход из первого кластера во
второй осуществляется при достижении волатильности значения 9,4 , из второго
в третий – 23. Графическое отображение кластеризации этой группы
представлено на рисунке 3. Третий кластер полностью включает в себя
выбросы, разброс значений волатильности здесь максимальный, тогда как в
первом – минимальный.
30
31
Fortier J., Solomon H. Clustering Procedures, Multivariate Analysis. // Academic Press New-York, 1966.
http://en.wikipedia.org/wiki/Weber%E2%80%93Fechner_law
32
Рисунок 3. Кластеризация методом k-средних группы 1970-1990гг.
Рисунок 4. Кластеризация методом k-средних группы 1990-2000гг.
Во второй группе, с 1990 по 2000гг., распределение по кластерам было
несколько другим. Переход из первого кластера во второй происходит при
33
достижении волатильностью значения 17,7 , из второго в третий – при
достижении 26,2.
По сравнению с предыдущей группой, первый и второй кластеры более
однородные и схожие, что видно на рис. 4.
Рассмотрим группу 2000-2014гг. Переход из первого кластера во второй
происходит при достижении волатильностью значения 21,05, из второго в
третий – при достижении волатильностью значения 37.
На рис. 5 видны выбросы, которые вошли в третий кластер: это и есть
обозначенная раннее проблема чувствительности метода к выбросам. Этот
кластер самый маленький, разброс значений в нем – самый большой.
Рисунок 5. Кластеризация методом k-средних группы 2000-2014гг.
34
Ниже представлена сводная таблица по граничным значениям кластеров
во всех группах.
Таблица 1. Граничные значения перехода из одного кластера в другой.
из 1 во 2
из 2 в 3
1970-1990
9.4
23
1990-2000
17.7
26.2
2000-2014
21.05
37
После того, как граничные значения кластеров во всех трех группах были
найдены, необходимо было разделить данные на подгруппы. В соответствии iтому приросту волатильности из каждого кластера ставилось
i-тое значение
прироста индекса S&P. Таким образом, в каждом кластере теперь помимо
прироста волатильности появился еще один столбец – прирост самого индекса.
В 1 кластере собраны наименее волатильные данные, во 2 – со средней
волатильностью и в 3 – с высокой.
2.3. Информационное расстояние Кульбака-Лейблера
Следующим шагом в решении данной задачи является определение
отклонений
распределений
от
нормального
распределения
посредствам
информационного расстояния Кульбака-Лейблера и сравнение результатов по
кластерам.
Информационное расстояние Кульбака-Лейблера в данной работе
используется в качестве меры нормальности. Этот показатель был взят не
случайно. Для определения нормальности распределения можно использовать
множество показателей: статистику Харке-Бера, критерий Шапиро-Уилка,
нормальность по Д’Агостино, критерий Колмогорова и Смирнова и т.д. Однако,
все они используют в определении нормальности лишь какой-то признак
распределения, например, скос и эксцесс. Расстояние Кульбака-Лейблера
учитывает все распределение, что видно из формулы, т.е. не ограничивается
лишь какими-то чертами распеделения. Кроме того, расстояние Кульбака35
Лейблера часто используется исследователями в качестве теста на нормальность
(Vasicek, Miller, Arizono). 32 33 34
Информационное расстояние Кульбака-Лейблера, или, как его еще
называют, относительная энтропия, информационная дивергенция, в теории
информации представляет собой несимметричную меру определения разницы
между двумя вероятностными распределениями p и q. В этом случае
распределение р является эталонным распределением, а распределение q
является
проверяемым
распределением,
приближением
Говоря
p.
об
информации, относительная энтропия показывает потери информации в случае
использования
распределения
q
вместо
p.3536
В
данном
же
случае,
информационная дивергенция будет использована нами в качестве меры
отдаленности каждого из распределений (q) от нормального распределения (р).
Таким образом, мы сможем понять, какое из распределений наиболее похоже на
нормальное. Рассчитывается относительная энтропия по следующей формуле
(расстояние от распределения p до распределения q):
𝑝(𝑥)
𝐷𝐾𝐿 = ∫ [𝑝(𝑥) ∗ ln (
)] 𝑑𝑥
𝑞(𝑥)
Однако, в исследовании мы воспользуемся расширенной формулой,
которая выглядит следующим образом:
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝐷𝐾𝐿 = ∫ [𝑝(𝑥) ∗ ln (
)] 𝑑𝑥 + ∫ [𝑞(𝑥) ∗ ln (
)] 𝑑𝑥
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
32
Arizono I. A Test for Normality Based on Kullback─Leibler Information. /I. Arizono, H. Ohta // The American
Statistician.─ Vol. 43.─No. 1.─ 1989.─ pp. 20-22.
33
Miller G. Probability density estimation using entropy maximization. // Neural Comput, 1998. pp. 1925–1938
34
Vasicek O. A Test for Normality Based on Sample Entropy. // Journal of the Royal Statistical Society. Series B
(Methodological), 1976. pp. 54-59.
35
http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence
36
Kullback S., Leibler R.A. On information and sufficiency // The Annals of Mathematical Statistics. 1951. V.22. № 1. P.
79-86.
36
Расширенная форма расстояния Кульбака-Лейблера обусловлена тем, что
информационная дивергенция обладает свойством несимметричности, т.е.
расстояние от распределения p до распределения q не равно расстоянию от
распределения q до распределения p.
К
свойствам
дивергенции
относится
кроме
несимметричности
неотрицательность. Расстояние Кульбака-Лейблера всегда положительно и
равно нулю только в том случае, когда распределения p(x) и q(x) совпадают
практически всюду. Следовательно, чем меньше будут полученные значения,
тем более похожим на нормальное будет полученное распределение.
Абсолютно нормальное распределение, т.е. самый эффективный рынок, будет
получено при достижении показателем нуля.
Для того, чтобы найти относительную энтропию, необходимо взять
кластеризованные группы приростов S&P и построить по два распределения:
нормальное и «проверяемое», q. В качестве такого распределения можно взять
распределение, основанное на смеси нормальных.
Пусть имеется двухпараметрическое семейство р-мерных плотностей
распределения
где одномерный (целочисленный или непрерывный) параметр ω в качестве
нижнего индекса функции f определяет специфику общего вида каждого
компонента — распределения смеси, а в качестве аргумента при многомерном,
вообще говоря, параметре θ определяет зависимость значений хотя бы части
компонентов этого параметра от того, в каком именно составляющем
распределении 𝑓𝜔 он присутствует.
И пусть
— семейство смешивающих функций распределения.
Функция плотности (полигон вероятностей) распределения
37
называется Р-смесыо (или просто смесью) распределений семейства F. Cузим
данное выше определение смеси и будем рассматривать в дальнейшем лишь
случай конечного числа k возможных значений параметра ω, что соответствует
конечному числу скачков смешивающих функций P(ω). Величины этих скачков
как раз и будут играть роль удельных весов (априорных вероятностей)
𝑝𝑗 компонентов смеси (j=1,2,..k) так что последнее уравнение в этом случае
может быть записано в виде
Если
же
дополнительно
постулировать
однотипность
компонентов-
распределений 𝑓𝑗 (𝑋; 𝜃(𝑗)), т. е. принадлежность всех 𝑓𝑗 (𝑋; 𝜃(𝑗)) к одному
общему семейству 𝑓̃(𝑋; 𝜃(𝑗)), то модель смеси может быть представлена в
виде
Интерпретация в задачах автоматической классификации j-того компонента
смеси (j-той генеральной совокупности) в качестве j-того искомого класса
(сгустка,
скопления)
ограничения
условия,
обусловливает
естественность
накладываемого
на
дополнительного
плотности
(полигоны
вероятностей) 𝑓𝑗 (𝑋; 𝜃(𝑗)) и заключающегося в их одномодальности.37
37
Айвазян С.А. Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: классификация и снижение
размерности: Справ. изд. –М.:Финансы и статистика, 1989, 607 стр.
38
В данном исследовании мы использовали смесь двух нормальных
распределений. Далее представлены полученные результаты в графическом
отображении.
Рисунок 6. Отображение функции плотности вероятности, представленной как
смесь нормальных распределений (q(x))) и ее сравнение с гистограммой и
нормальным распределением (p(x)). Наверху: низкая волатильность, средняя
волатильность. Внизу: высокая волатильность. 1970-1990гг.
На
рисунке
6
представлены
отображения
функций
плотностей
вероятностей, представленных как смесь двух нормальных распределений (на
рисунках – сплошная линия). Для того, чтобы убедиться в качестве
аппроксимации, смесь была сравнена с гистограммой (в каждом конкретном
случае число столбцов гистограммы подбиралось в зависимости от величины
выборки: для больших выборок использовалось значение большее, чем для
маленьких – в кластере большой волатильности). Кроме того, дальнейшее
39
исследование, касающееся расстояния Кульбака-Лейблера, предопределило
сравнение смеси и гистограммы с нормальным распределением.
Рисунок 7. Отображение функции плотности вероятности, представленной как
смесь нормальных распределений (q(x))) и ее сравнение с гистограммой и
нормальным распределением (p(x)). Наверху: низкая волатильность, средняя
волатильность. Внизу: высокая волатильность. 1990-2000гг.
40
Рисунок 8. Отображение функции плотности вероятности, представленной как
смесь нормальных распределений (q(x))) и ее сравнение с гистограммой и
нормальным распределением (p(x)). Наверху: низкая волатильность, средняя
волатильность. Внизу: высокая волатильность. 1990-2000гг.
Как видно из рисунков 6-8, ни одно из полученных методом смесей
распределений не совпадает с нормальным, хотя есть те, которые более похожи
на него. В каких-то распределениях наблюдаются толстые хвосты, в каких-то ненормальные скос или эксцесс. Именно с целью выявить, какое из
распределений более похоже на нормальное, было рассчитано расстояние
Кульбака-Лейблера.
Данные о полученных значениях расстояния Кульбака-Лейблера по
кластерам и по группам представлены в таблице 2. Из нее видно, что при
переходе из кластера в кластер, то есть при увеличении волатильности,
информационная дивергенция увеличивается. Из этого можно сделать вывод,
что чем ниже волатильность, тем эффективнее рынок и полная эффективность
достигается тогда, когда расстояние Кульбака-Лейблера равно 0. Следует
отметить, что наиболее приближенным к эффективному рынок был в режиме
низкой волатильности в группе 2000-2014гг.
41
Таблица 2. Значения относительной энтропии.
1 кластер
2 кластер
3 кластер
0.056
0.091
0.199
0.015
0.026
0.057
0.00241
0.017
0.168
1970-1990
1990-2000
2000-2014
2.4. Регрессионный анализ
Для
определения
зависимости
уровня
эффективности
рынка
от
существующего режима волатильности была построена модель регрессии. В
качестве независимой переменной мы взяли среднее значение индекса VIX для
каждого кластера в каждой группе; в качестве зависимой переменной
выступило расстояние Кульбака-Лейблера. В результате анализа была получена
следующая модель:
𝐾𝐿 = −0,0896 + 0,0034 ∗ 𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦
Т.е. при увеличении волатильности на 1 относительная энтропия
увеличится на 0,0034. Прямая зависимость говорит о том, что при уменьшении
волатильности распределение становится все более и более приближенным к
нормальному, что мы и наблюдали ранее при рассмотрении расстояния
Кульбака-Лейблера по кластерам (в 3, наиболее волатильном кластере,
расстояние было максимальным).
Доля объясненной дисперсии (R-квадрат) довольно велика - 0,41. Кроме
того, стоит учитывать количество наблюдений – их всего 9.
После регрессионного анализа необходимо было провести тест Уайта на
гетероскедастичность. Гетероскедастичность – эконометрический термин,
обратный гомоскедастичности. Группа случайных переменных является
гетероскедастичной тогда, когда существуют подгруппы с отличной от других
дисперсией. Вероятность
наличия гетероскедастичности является одной из
основных проблем при проведении регрессионного анализа, т.к. наличие
42
гетероскедастичности может повлиять на значимость проводимых тестов,
коэффициенты регрессии и на значимость регрессии в целом.38 Гипотеза H0 –
отсутствие гетероскедастичности. В том случае, если гипотеза будет отвергнута,
необходимо воспользоваться коррекцией, например, поправками в форме
Уайта.
Процедура теста Уайта заключается в следующем. Регрессия оценивается
с помощью метода наименьших квадратов, затем оценивается вспомогательная
регрессия – регрессия квадратов остатков на все регрессоры, их квадраты и
попарные произведения. Ввиду того, что в качестве переменной x был взят
лишь один фактор (волатильность), попарные произведения в расчет не берутся.
Рассчитывается статистика χ-квадрат. Полученное значение сравнивается со
значением в таблице распределения χ-квадрат. Нулевая гипотеза принимается в
том случае, когда наблюдаемое значение χ-квадрат меньше табличного на
выбранном уровне значимости. 3940
При проведении теста Уайта было получено значение коэффициента
детерминации 0,162, следовательно, получим значение хи-квадрат 1,459.
Табличное значение для 1 степени свободы и уровня значимости 0,1 равно 2,71,
что больше наблюдаемого значения, а значит, нулевая гипотеза принимается на
10% уровне значимости и гетероскедастичность отсутствует. Следовательно, на
значимости
регрессии
и
коэффициентов
не
сказывается
явление
гетероскедастичности, а это значит, что коэффициенты правдивы. Однако,
стоит принять во внимание тот факт, что небольшой уровень значимости может
быть результатом очень маленького количество использованных в регрессии
наблюдений.
38
http://en.wikipedia.org/wiki/Heteroscedasticity
39
http://university.prognoz.ru/biu/ru/%D0%A2%D0%B5%D1%81%D1%82_%D0%A3%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B0
40
http://en.wikipedia.org/wiki/White_test
43
Отсутствие гетероскедастичности было подтверждено и проведением
теста Уайта в EViews. Результаты представлены на рисунке 9.
Рисунок 9. Тест Уайта на гетероскедастичность в EViews.
2.5. Прогнозирование доходности на американском рынке акций
2.5.1. Прогнозирование рынка с помощью имеющихся в текущем периоде
данных о границах кластеров.
Следующим этапом исследования явилось моделирование доходности на
рынке. Основной идеей моделирования является двухступенчатое торговое
правило. На первой ступени определяются три базовые концепции: обращение
средних по знаку (mean reversion), следование тренду (trend following) и
авторегрессия (AR(1)).
Обращение средних по знаку – математический принцип, используемый в
основном в торговле акциями (но может быть использован и в торговле другими
инструментами). Суть принципа заключается в предположении, что все
экстремумы временны и ценовой процесс вернется к среднему значению. Когда
текущее значение цены меньше среднего, финансовый инструмент является
привлекательной инвестицией, т.к. инвесторы ожидают повышение цены. когда
текущее значение цены выше среднего, финансовый инструмент становится
выгодным для продажи. Другими словами, ожидается, что тренд, отклонивший
цену от среднего значения, обратится и вернется обратно к среднему.
Другой инвестиционной стратегией является следование тренду. Эта
стратегия – противоположность обращению средних по знаку. В данном случае,
44
если в текущий период времени рынок растет, мы ожидаем, что и в следующий
период он будет расти, и наоборот. Основой стратегии является предположение,
что в цены имеют тенденцию двигаться вверх или вниз в течении
определенного временного промежутка.
Третья рассматриваемая концепция – модель авторегрессии первого
порядка вида 𝑦𝑖 = 𝛼𝑦𝑖−1 . То есть мы предполагаем, что наш ценовой процесс не
зависит ни от чего, кроме как от самого себя на предыдущем шаге.
Второй
ступенью
является
собственно
торговое
правило.
Мы
предполагаем, что определенному уровню информационной эффективности
соответствуют определенные стратегии. Поэтому, наблюдая волатильность,
сможем отнести ее к определенному кластеру, поставить в соответствие
кластеру уровень информационной эффективности и «включить» нужную
модель.
Кроме того, необходимо определить временной промежуток. Первым
вариантом является менять позицию каждый день в зависимости от того, какую
волатильность мы наблюдали днем ранее. Вторым вариантом является менять
позицию каждый день, основываясь на средней волатильности за последние 5
дней. Третьим вариантом является менять позицию раз в неделю, основываясь
на средней волатильности за предыдущую неделю.
I. В данной стратегии будем менять позицию каждый день, основываясь на
уровне VIX за предыдущий период. Помимо прочего, нужно определить,
какая стратегия какому уровню эффективности подходит.
1. Используем при высокой волатильности trend following, при низкой –
mean reversion, а при среднем уровне волатильности не будем делать
ничего.
45
2.
Рисунок 10. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend
Following, при низкой – Mean Reversion.
На рисунке 10 представлено графическое отображение данной модели.
Синяя
линия (Market) – это отображение рынка, а красная (P) –
сформированный портфель. Нетрудно заметить, что данная стратегия не
является прибыльной.
3. Используем при высокой волатильности mean reversion, при низкой –
trend following. При среднем уровне волатильности ничего не делаем.
Рисунок 11. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend
Following, при низкой – Mean Reversion.
46
Графическое отображение данной модели представлено на рисунке 11.
Хотя эта модель не такая убыточная, как первая, прибыль она все равно не
приносит.
II. В данной стратегии будем менять позицию каждый день, основываясь на
данных о средней волатильности за последние 5 дней.
1. Используем при высокой волатильности trend following, при низкой –
mean reverting. При среднем уровне волатильности не будем делать ничего.
Рисунок 12. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend
Following, при низкой – Mean Reversion.
Графическое отображение данной торговой стратегии представлено на
рисунке 12. Несмотря на то, что на протяжении около 2000 точек портфель
следовал за рынком, дальше пошло зеркальное отображение, а последняя 1000
точек вновь стала следовать рынку. Тем не менее, и эта стратегия не принесла
доход, хотя она и лучше описанных в части I.
2. Используем при высокой волатильности mean reverting, при низкой – trend
following. При среднем уровне волатильности не будем делать ничего.
47
На рисунке 13 представлено графическое отображение данной стратегии.
Полученный результат похож на тот, который мы получили в I.1: эта стратегия
также не является выигрышной.
Рисунок 13. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Mean
Reversion, при низкой – Trend Following.
III. В данной стратегии будем менять позицию раз в неделю, основываясь на
волатильности за прошлую неделю.
1.
Используем при высокой волатильности Trend Following, при
низкой волатильности – Mean Reversion. При среднем уровне волатильности не
делаем ничего.
На рисунке 14 представлено графическое отображение данной стратегии.
Как видно из рисунка, эта стратегия является прибыльной.
48
Рисунок 14. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend
Following, при низкой – Mean Reversion.
2.
Используем при высокой волатильности Mean Reversion, при низкой
волатильности – Trend Following. При среднем уровне волатильности
используем авторегрессию.
Рисунок 15. Торговая стратегия. При высокой волатильности используем Trend
Following, при низкой – Mean Reversion, при средней - авторегрессию.
49
На рисунке 15 представлена модификация стратегии III.1. Помимо
прочего,
здесь
используется
авторегрессия.
Несмотря
на
кажущуюся
привлекательность, эта стратегия не является такой же выигрышной, как III.1,
хоть мы и ввели новый параметр. Напротив, значение портфеля в данной
стратегии немного превышает 0,5, в III.1 – превышает 1.
Таким образом, стратегия III.1 является самой выигрышной. Однако,
необходимо проверить, не работает ли чистый mean reversion или trend following
лучше, чем наша двухступенчатая система. На рисунке 16 представлены mean
reversion и trend following. Синяя линия – рынок, розовая и красная – mean
reversion
и trend following соответственно. Как видно из рисунка, trend
following является обратным отображением рынка. Mean Reversion хоть и
является выигрышной стратегией, не настолько успешна, как стратегия III.1. В
таблице 3 представлены результаты всех стратегий как разность между
значением портфеля и рынка на последнем шаге.
Рисунок 16. Mean Reverting & Trend Following
Таблица 3. Разница между портфельным и рыночным значением.
стратегия
значение
I.1
I.2
II.1
II.2
III.1 III.2 mr
tf
-2.112 -1.114 -0.902 -2.324 0,947 0.454 0.528 -0.774
50
2.5.2. Прогнозирование рынка с помощью имеющихся в предыдущем
периоде данных о границах кластеров.
Результат прогнозирования при использовании имеющейся в текущем
периоде информации может быть полезным лишь в том случае, если мы можем
спрогнозировать волатильность на несколько шагов вперед безошибочно. Тогда
мы сможем получить данные о границах кластеров в том же периоде, в котором
будем прогнозировать рынок.
Данная работа не предполагает прогнозирование волатильности. Поэтому
при прогнозировании рынка в году t необходимо использовать данные для
границ кластеров до года t-1. Работая на скользящем окно волатильности,
определяющем скользящие границы кластеров, представляется возможным
использовать рассмотренную раннее модель на практике, даже не зная границы
кластеров волатильности в текущем периоде.
Вычислим границы кластеров за 14 периодов, каждый из которых будет
включать в себя недельные данные о волатильности и индексе S&P500 за 10
лет. Таким образом, мы получим данные для прогнозирования рынка с 2000 по
2013 годы. Данные о границах представлены в таблице 4.
граница
перехода из 2
в 3 кластер
1990-1999
1991-2000
1992-2001
1993-2002
1994-2003
1995-2004
1996-2005
граница
перехода из 1
во 2 кластер
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
период для
определения
границ
кластеров
год
прогнозирования
Таблица 4. Плавающие границы кластеров
16.7
16.7
17.1
17.6
19.41
18.07
18.05
24.5
23.8
25.7
26.78
27.81
25.35
26.34
51
2007 1997-2006
17.13
25.91
2008 1998-2007
17.13
25.78
2009 1999-2008
20.22
42
2010 2000-2009
20.52
37
2011 2001-2010
20.94
37
2012 2002-2011
21.37
37.5
2013 2003-2012
20.3
37
Для начала рассмотрим торговое правило, которое показало наилучший
результат в прогнозировании
с фиксированными и заранее известными
границами кластеров. При высокой волатильности используем trend following,
при низкой – mean reversion, при средней – не делаем ничего.
Таким образом, скажем, что если волатильность предыдущего периода
больше 24.5, используем trend following, а если меньше 16.7 – mean reversion для
прогнозирования в 2000 году и т.д., используя данные таблицы 4.
Полученные результаты практически не отличаются от результатов,
полученных при имеющихся данных о границах кластеров. Результаты
представлены на рисунке 16.
Рисунок 17. Разница между прогнозированием с использованием
фиксированных и плавающих границ (высокая волатильность – trend following,
низкая – mean reversion).
52
На рисунке 17 P1 – прогноз с плавающими границами (красная линия), P2
– с фиксированными (зеленая линия), Market (синяя линяя) – рынок. Как видно
из рисунка, прогнозирование с фиксированными границами, пригодное для
практического использования, дает лучший результат по сравнению с
прогнозированием с фиксированными границами. В общем, прогнозирование с
плавающими границами дает преимущество в 29.7 пунктов. В конечном итоге,
на 722 шаге, разница между P1 и P2 составляет лишь 0.007 пункта.
Таким образом, использование плавающих границ, рассчитанных на
периоде до t-1 позволяет прогнозировать не хуже, чем теоретически возможный
вариант с использованием фиксированных границ, рассчитанных за период,
являющийся периодом прогнозирования.
2.5.3. Тест на принадлежность выборок одной совокупности.
Для того, чтобы показать, что смоделированная доходность не случайным
образом отличается от рыночной, проведем эконометрический тест на
равенство средних доходностей по двум выборкам. Одним из способов показать
это является тест Стьюдента. Т.к. его можно использовать только в том случае,
если мы имеем дело с нормальным распределением, проверим, как
распределены рыночная и смоделированная доходности. Для этого сравним для
каждого распределения моду, медиану и среднее. Т.к. все три показателя
незначительно отличаются друг от друга, можем сделать вывод о том, что оба
распределения нормальные.
Эмпирическое значение t-статистики составляет почти 54. Это больше
табличного значения для любого уровня значимости с 1450 степенями свободы,
а значит, нулевая гипотеза о равенстве средних и принадлежности выборок
одной
совокупности
отвергается.
Тот
факт,
что
выборки
обладают
статистически различными матожиданиями, означает, что средние приросты, а
53
значит и совокупные, разные. Т.е. смоделированная доходность отличается от
рыночной не случайно.
54
Заключение.
В научной литературе изучение связи волатильности и рыночной
эффективности сводится к прогнозированию волатильности ARCH моделями и
определению
эффективности
рынка
как
отклонения
от
нормального
распределения с использованием моментов распределения. В данной работе
представлен принципиально другой подход к изучению связи волатильности и
эффективности рынка. В первую очередь, волатильность была кластеризована
методом k-means, а затем каждому кластеру (низкой, средней и высокой
волатильности) было сопоставлено расстояние Кульбака-Лейблера. В итоге был
сделан вывод о том, что с увеличением волатильности расстояние КульбакаЛейблера увеличивается, т.е. чем больше колебания цены на рынке, тем менее
эффективным он является.
После этого было проведено моделирование портфеля на основании
сделанного исследования. Моделирование представляет собой результат
двухступенчатого торгового правила. На первой ступени определяются три
базовые концепции: обращение средних по знаку (mean reversion), следование
тренду (trend following) и авторегрессия (AR(1)). Второй ступенью является
собственно торговое правило. Мы предполагаем, что определенному уровню
информационной эффективности соответствуют определенные стратегии.
Поэтому, наблюдая волатильность, сможем отнести ее к определенному
кластеру, поставить в соответствие кластеру уровень информационной
эффективности и «включить» нужную модель.
Цена моделировалась каждый день на основании данных предыдущего
дня, каждый день на основании 5 предшествующих дней и раз в неделю на
основании данных прошлой недели. В конечном итоге, самым выигрышным
вариантом явилось использование trend following при высокой волатильности,
mean reverting при низкой волатильности; при средней волатильности
55
занималась нейтральная позиция. Однако, прогнозирование в периоде t
проводилось на основании данных по границам кластеров периода t. Мы
проверили, какой результат получится, если при прогнозировании в году t
использовать границы кластеров, полученные за предыдущие 10 лет. В
результате, полученный прогноз практически не отличается от прогноза,
полученного с использованием заранее известных границ периода t.
В результате проделанного исследования было сделано два основных
вывода:
1. С
увеличением
волатильности
цен
увеличивается
рыночная
неэффективность.
2.
Связь волатильности с эффективностью рынка можно использовать для
формирования
доходного
портфеля.
При
этом,
доходность
смоделированного портфеля гораздо выше рыночного значения даже
несмотря
на
то,
что
в
исследовании
использовались
довольно
примитивные концепции типа обращения средних по знаку.
3.
Различия между смоделированной и рыночной доходностями являются не
случайными.
4.
Продолжением
исследования
может
быть
прогнозирование
волатильности.
56
Список использованной литературы.
1. P. Duran, P.Odell. Cluster Analysis. Springer-Verlag. Berlin-Heilelberg-New
York. 1974.
2. Айвазян С.А. Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная
статистика: классификация и снижение размерности: Справ. изд. –
М.:Финансы и статистика, 1989, 607 стр.
3. Филлипович Ю. Н. Интеллектуальные Технологии и Системы. НОК
«CLAIM», M.2006, Стр. 135-136
4. Arizono I. A Test for Normality Based on Kullback─Leibler Information. /I.
Arizono, H. Ohta // The American Statistician.─ Vol. 43.─No. 1.─ 1989.─ pp.
20-22.
5. Beechey M. Gruen D. Vickery J. The Efficient Market Hypothesis: a Survey. //
Reserve Bank of Australia Research Discussion Paper №2000-2001, January
2000, p.4.
6. Campbell R. Harvey, Robert E. Whaley. Markket Volatility Prediction and the
Efficiency of
the S&P 100 index Option Market. Journal of Financial
Economics, 31, 1992, pp. 43-73.
7. E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European
Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998, pp. 91-103.
8. E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European
Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998, pp. 91-103.
9. E. Dimson, M. Mussavian. A brief History of Market Efficiency. //European
Financial Management, Vol. 4, No. 1, 1998, pp. 91-103.
10.Ekkehart Boehmer, Eric K. Kelly. Institutional Investors and the Informational
Efficiency of Prices. // http://libgen.org/scimag6/10.1093/rfs%252Fhhp028.pdf
57
11.Fama E. F. The Behavior of Stock-Market Prices. // Yje Journal of Business,
Vol. 38, No.1, 1965, pp. 34-105.
12.Fama Eugene F.. Efficient capital markets: a review of theory and empirical
work // Journal of Finance, Vol. 25, 383-417.
13.Finance.yahoo.com
14.Fortier J., Solomon H. Clustering Procedures, Multivariate Analysis. //
Academic Press New-York, 1966.
15.Graham Smith. Liquidity and the Informational Efficiency of African Stock
Markets. // South African Journal of Economics, Vol. 76:2, 2008, pp. 161-175
16.http://en.wikipedia.org/wiki/Heteroscedasticity
17.http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence
18.J.A. Hartigan, M.A.Wong. A k-means Clustering Algorithm. // The Journal of
the Royal Statistical Society, 1979, pp. 100-108
19.K.Wagstaff, C.Cardie, S.Rogers, S.Schroedl. Constrained K-means Clustering
with Background Knowledge.
20.Kullback S., Leibler R.A. On information and sufficiency // The Annals of
Mathematical Statistics. 1951. V.22. № 1. P. 79-86.
21.MacQueen J.B. Some Methods for Classification and analysisof multivariate
observations.
http://www-
m9.ma.tum.de/foswiki/pub/WS2010/CombOptSem/kMeans.pdf
22.Mauro Mecagni, Maged Shawky Sourial. The Egyptian Stock Market:
Efficiency Tests and Volatility Effects. IMF Working Paper, 1999.
23.Miller G. Probability density estimation using entropy maximization. // Neural
Comput, 1998. pp. 1925–1938
24.Poon, Clive. Forecastina Volatility in Financial Markets: a Review. // Journal
of Economic Literature, Vol. XLI, 2003, pp. 478-539.
58
25.Proceedings of the Eighteenth International Conference on Machine Learning,
2001, p. 577-584.
26.Robert
J.
Shiller.
Causes
of
Market
Volatility
of
Market
Volatility.
kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill. pdf
27.Robert
J.
Shiller.
Causes
http://www.kc.frb.org/publicat/sympos/1988/S88shill.pdf
28.ROBERT J. SHILLER. The Use of Volatility Measures in Assessing Market
Efficiency.// The Journal of Finance, 1981, pp. 291-314.
29.Ronald J. Gilson and Reinier H. Kraakman. The Mechanisms of Market
Efficiency. //Virginia Law Review, 1984, pp. 549-644
30.Tarum Chorida, Richard Roll, Avanidhar Subrahmanyam. Liquidity and
Market Efficiency. // Journal of Financial Economics, 87, 2008, pp. 249-268.
31.Theissen E. Market Structure, Informational Efficiency and Liquidity: an
Experimental Comparison of Auction and Dealer Markets. // Journal of
Financial Markets, 3, 2000, pp.333-363.
32.Torben G. Andersen, Tim Bollerslev. Intraday periodicity and volatility
persistence in financial markets. // Journal of Empirical Finance, 1997, pp. 115158.
33.Vasicek O. A Test for Normality Based on Sample Entropy. // Journal of the
Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 1976. pp. 54-59.
34.Xinzhong Xu, Stephen J. Taylor. Conditional Volatility and the Informational
Efficiency of the PHLX currency options Market. // Jounal of Banking and
Finance, 1995, pp. 803-821.
35.Азнаурова М.В. Влияние президентских выборов на фондовые рынки.
Электронный сборник по итогам конференции «Ломоносов-2012».
http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/index.htm
59
36.Н.В. Демич, О.В. Демич. Методы анализа волатильности финансовых
рынков. // Вестник Астраханского государственного технического
университета, 2010, стр. 19-21.
37.Субботин
А.В.
Моделирование
волатильности:
от
условной
гетероскедастичности к каскадам на множественных горизонтах. //
Прикладная эконометрика, 2009, стр. 91-138.
38.Волатильность.
Статья
в
интернет-энциклопедии
Википедия.
http://en.wikipedia.org/wiki/Volatility_(finance)
39.Закон Вебера-Фехнера. Статья в интернет-энциклопедии Википедия.
http://en.wikipedia.org/wiki/Weber%E2%80%93Fechner_law
40.Тест
Уайта.
Статья
в
интернет-энциклопедии
Википедия.
http://en.wikipedia.org/wiki/White_test
41.Тест Уайта. Образовательный портал прогноз. http://university.prognoz.ru
60