1 - Faik.Az

ТЕМА I. МАТРИЦЫ И ДЕТЕРМИНАНТЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами.
1. Понятие матрицы. Матрицей порядка
m n (размерности
m n ) называют
прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащую m строк и n
столбцов:
 a11


a
A  aij   a   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
.... a1n 

.... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы
обозначают заглавными латинскими буквами: А, В, С, …, а их элементы – строчными
буквами: aij , bij , cij ; a ij − элемент, стоящий на пересечении i -ой строки и j -ого столбца.
Первый индекс i - указывает номер строки, а второй j – номер столбца, на пересечении
которых стоит элемент a ij .
Пример:
 1 0 5


A    4 4  1
 12 1 10 


- матрица A размера 3 на 3, её элемент, например, a12 (1-я строка, 2-ой столбец).
Коротко матрицу обозначают так:
A  aij n i  1,2...m; j  1,2...n
m
Элементы ai1 , ai 2 , ..., ain составляют i - ую строку, а элементы a1 j , a 2 j , ..., a mj - j - ый
столбец матрицы A  aij n .
m
Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу
столбцов m  n . Это матрица вида
 a11


a
A  aij   a   21
...

a
 n1
a12
a 22
...
an2
.... a1n 

.... a 2 n 
... ... 

... a nn 
Матрица, не являющаяся квадратной, называется прямоугольной.
Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу
(т.е. составленная из элементов a11 , a 22 , ..., a nn ), называют главной диагональю.
11
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих
матриц, т.е. A  B , если aij  bij при i  1, m , j  1, n .
Матрица, состоящая из одной строки и n столбцов, называется матрицей – строкой
или строчной матрицей:
a1
a2 ....a n 
Матрица, содержащая один столбец и m строк, называется матрицей – столбцом или
столбцевой матрицей:
 a1 
 
 a2 
. 
 
. 
 
 am 
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Её обозначают
буквой O или Omn .
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие не
на главной диагонали, равны нулю. Например, матрица
 a11

 0
A
...

 0

0 

0 
... 

a nn 
0 ....
a 22 ....
...
...
...
...
Квадратная диагональная матрица будет называться единичной матрицей порядка n ,
если все элементы ее главной диагонали равны единице, т.е.
1

0
E 
...

0

0 .... 0 

1 .... 0 
... ... ...

... ... 1 
Единичная матрица обозначается буквой E или En :
1. Свойства матриц. Действия над матрицами.
Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинаковых
размеров. Суммой двух матриц A  aij n и B  bij n называется такая матрица C  aij n ,
m
m
m
что cij  aij  bij i  1,2,..., m; j  1,2,..., n Кратко пишут C  A  B .
Например, суммой двух квадратных матриц A и B третьего порядка называется
матрица, определяемая равенством
12
 a11 a12

 a 21 a 22
a
 31 a32
a13   b11 b12
 
a 23  +  b21 b22
a33   b31 b32
b13   a11  b11
 
b23  =  a 21  b21
b33   a31  b31
a12  b12
a 22  b22
a32  b32
a13  b13 

a 23  b23 
a33  b33 
Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:
1) A  B  B  A (переместительное свойство);
2)  A  B  C  A  B  C  (сочетательное свойство);
3) A  O  A (роль нулевой матрицы).
Аналогично определяется разность двух матриц.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A  aij n
m
на число 
называется такая матрица B  bij n , что bij  aij i  1,2,..., m; j  1,2,..., n Кратко пишут
m
B  A или B  A . Например произведением числа m на квадратную матрицу A
третьего порядка называется матрица, определяемая равенством
 a11

m   a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13   ma11
 
a 23  =  ma21
a33   ma31
ma12
ma22
ma32
ma13 

ma23 
ma33 
Из определения произведения матрицы на число вытекает, что:
1) (   ) A =  (  A ) (сочетательное свойство относительно числового множителя);
2)  ( A + B ) =  A +  B (распределительное свойство относительно суммы матриц);
3) (  +  ) A =  A +  A (распределительное свойство относительно суммы чисел);
4) 1  A  A (роль числового множителя 1);
5) 0  A  0 (роль нуля).
Прежде чем ввести следующую операцию над матрицами, изучим некоторые
правила обращения с символом  .
Символ  . Для записи суммы слагаемых одинакового вида, различающихся только
индексами, используется символ суммирования. Например,
n
a
k 1
n

k 1
k
k
 a1  a 2  ...  a k  ...a n ;
 k   1 1   2  2  ...   k  k  ... n  n
Индекс k называется индексом суммирования. В качестве индекса суммирования
может быть употреблена любая буква, причем справедливы следующие правила
обращения с символом  :
1) индекс суммирования может быть изменен:
13
n
n
n
 a =  a = ap
p 1
i 1
i
k 1
k
2) множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак
суммы:
n
 ax
i 1
n
3)
 a
i 1
i
n
n
i 1
i 1
n
i
= a  xi
i 1
 bi  =  ai +  bi
4) два знака суммы можно переставить:
m
n
n
m
 aij =  aij
i 1 j 1
j 1 i 1
Умножение матрицы на матрицу. Произведением матрицы A  aik n , имеющей m
m
 
строк и n столбцов, на матрицу B  bkj
 
такая матрица C  bij
m
p
n
p
, имеющей n строк и p столбцов, называется
, имеющей m строк и p столбцов, у которой элемент c ij равен
сумме произведений элементов i - ой строки матрицы A и j - го столбца матрицы B , т.е.
n
cij  ai1b1 j  a 2i b2 j  ...  aik bkj  ...ain bnj =  a ik bkj , i  1,2,..., m; j  1,2,..., n
k 1
Схематично произведение матриц A на B можно представить в виде:
Произведение A  B существует только тогда, когда число столбцов матрицы A
равно числу строк матрицы B (такие матрицы называются согласованными). При этом в
произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк 1-го
множителя, а число столбцов равно числу столбцов 2-го множителя. Схематично это
правило можно представить в виде:
Например, произведение двух квадратных матриц третьего порядка A и B
обозначается символом A  B и определяется равенством
14
 a11 a12

A  B =  a 21 a 22
a
 31 a32
a13   b11 b12
 
a 23  .  b21 b22
a33   b31 b32
 3
  a1 j b j1
b13   j31
 
b23  =   a 2 j b j1
j 1
b33   3
  a 3 j b j1
 j 1
3
 a1 j b j 2
j 1
3
a
2j
b j2
a
3j
b j2
j 1
3
j 1

b j3 

j 1
3

a2 j b j 3 

j 1

3

a3 j b j 3 

j 1

3
a
1j
В обратном порядке эти матрицы перемножить нельзя.
Пример.
 a1 
 
 a1b1

 a2 
 .  . b b . ...b  =  a 2 b1
n
 ...
  1 2

. 
a b
 
 m 1
a
 m
a1b2
a 2 b2
...
a m b2
.... a1bn 

.... a 2 bn 
...
... 

... a m bn 
Пример.
a1
 b1 
 
 b2 
a2 . ...an  .  .  = a1b1  a2 b2 .  ...  an bn 
 
. 
 
 bn 
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для суммы и произведения
матриц справедливы следующие соотношения:
 A  B  C  AC  BC - дистрибутивность
C   A  B  CA  CB - дистрибутивность
ABC    ABC - ассоциативность умножения
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную
матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объясняет её название «единичная».
a
Пример. Пусть A   11
 a 21
a12 
1 0
 и E  
 , тогда согласно правилу умножения матриц
a 22 
0 1
имеем
a12  1 0   a11 a12 
a


  
AE   11
a
a
a
a
0
1
  21
22 
22 
 21
 1 0  a11 a12   a11 a12 
  


EA  
 0 1  a21 a22   a21 a22 
Откуда AE  A и EA  A
15
СЕМИНАР 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами.
1 0 0  0 0 0

 

Пример 1. Сложить две матрицы  0 1 0  и  0 0 0  .
 0 0 0  0 0 1

 

Решение:
1 0 0  0 0 0 1  0 0  0 0  0 1 0 0

 
 
 

 0 1 0 +  0 0 0 =  0  0 1  0 0  0 =  0 1 0
 0 0 0  0 0 1  0  0 0  0 0  1  0 0 1

 
 

 
 1 0 2
 2 1  1
 и B  
 , умножить
Пример 2. Сложить и вычесть две матрицы A  
 3 4 1
4 7 0 
матрицу A на 4.
Решение:
  1 0 2   2 1  1  1 1 1
 + 
 = 

а) C  A  B = 
 3 4 1   4 7 0   7 11 1
  1 0 2   2 1  1   3  1 3 
 - 
 = 

б) D  A  B = 
 3 4 1   4 7 0    1  3 1
 1 0 2   4 0 8
 = 

в) M  4 A = A  4
3
4
1
12
16
4

 

 1 0 2


Пример 3. Умножить матрицу A =  2 0 0  на 3.
 0 1 0


 1 0 2  3 0 6

 

Решение: 3 A = 3  2 0 0  =  6 0 0 
 0 1 0  0 3 0

 

1 0 1


 0 1 0
 , B   0 1 0  . Вычислить матрицу C  A  B :
Пример 4.Даны матрицы A  
1 0 1
1 0 1


Решение:
1 0 1
  0  1  1  0  0  1 0  0  1  1  0  0 0  1  1  0  0  1  0 1 0 
 0 1 0 

  0 1 0  = 
  

1 0 1 
 1 1  0  0  1 1 1  0  0 1  1  0 11  0  0  1 1   2 0 2 

1 0 1
1 0
 0 0
 и B  
 .
Пример 5. Перемножить матрицы A  
0 0
1 0
16
 1 0  0 0   0 0 
 0 0  1 0   0 0 

  
 , B  A  

  

Решение: A  B  
 0 0  1 0   0 0 
 1 0  0 0   1 0 
Отсюда получаем, что A  B  B  A .
1 1


1 2 3 
 и B   0  2 
Пример 6. Перемножить матрицы. A  
 4 0  1
2 0 


Решение:
1   1  2   2  3  0   7  5 
 11  2  0  3  2
  

A  B  
 4  1  0  0   1  2 4   1  0   2   1  0   2  4 
 1  1   1  4 1  2   1  0 1  3   1   1    3 2 4 

 

B  A   0  1   2  4 0  2   2  0 0  3   2   1    8 0 2 
 2 1  0  4
22  00
2  3  0   1   2 4 6 

Таким образом A  B  B  A .
1 1
 1 1 
 и B  

Пример 7. Перемножить матрицы A  
1 1
 1  1
Решение:
1   1  1  1 1  1  1   1  0 0 
  
  O
A  B = A  
1   1  1  1 1  1  1   1  0 0 
1   1  1  1
B  A = 
  1  1  1  1
 1  1  1  1  0

 1  1  1  1  0
0
O
0 
Таким образом A  B  B  A  0 , хотя A  0 , B  0 .
 1 2 3


Пример 8. Доказать, что произведение матрицы A =  2 1 2  на единичную матрицу
 3 1 3


1 0 1


E =  0 1 0  , равно самой матрице A .
1 0 1


Решение:
 1 2 3 1 0 1

 

A  E =  2 1 2 .  0 1 0 =
 3 1 3 1 0 1

 

 1  1  2  0  3  0 1  0  2  1  3  0 1  0  2  0  3  1  1 2 3 

 

 2  1  1  0  2  0 2  0  1  1  2  0 2  0  1  0  2  1   2 1 2   A
 3 1  1 0  3  0 3  0  11  3  0 3  0  1  0  3 1  3 1 3 

 

17
 1 2 3


1 2 1
 и B   2 0 1  .
Пример. 9. Найти произведение матриц A  
3 1 0
 3 5 4


Решение. Имеем: матрица A размера 2 3 , матрица B размера 3 3 , тогда произведение
AB  C существует и элементы матрицы C равны
c11  11  2  2  1 3  8 ,
c21  3 1  1 2  0  3  5 ,
c12  1 2  2  0  1 5  7 ,
c22  3  2  1 0  0  5  6 ,
c13  1 3  2 1  1 4  9 ,
c 23  3  3  11  0  4  10 .
8 7 9 
 , а произведение BA не существует.
AB  
 5 6 10 
18
ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей.
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
a11 x1  a12 x2  b1 
,
a 21 x1  a 22 x2  b2 
(1)
коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка
 a11

 a 21
a12 

a 22 
(2)
Применяя к системе (1) метод уравнивания коэффициентов (первое уравнение
умножаем на a 22 , а второе – на a12 и получаем выражение для x1 , аналогично – для x 2 )
получим:
a11a22  a12 a21 x1  b1a22  a12b2
a11a22  a12 a21 x2  a11b2  b1a21
предположим, что a11a22  a12 a21  0 . Тогда
x1 
b1a22  a12b2
,
a11a22  a12 a21
x2 
a11b2  b1a21
a11a22  a12 a21
(3)
Общий знаменатель значений неизвестных (3) легко выражается через элементы
матрицы (2): он равен произведению элементов главной диагонали минус произведение
элементов второй диагонали. Это число называется определителем или детерминантом
матрицы (2), причем, как говорят, определителем второго порядка, т. к. матрица (2) есть
матрица второго порядка. Для обозначения определителя матрицы (2) употребляется
следующий символ:
A  det A 
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12 a 21
(4)
Произведения a11a22 и a12 a21 называются членами определителя второго порядка.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Итак, матрица есть таблица чисел, а определитель – число, соответствующее
матрице.
Числитель выражений (3) имеет такой же вид, как и знаменатель, т. е. это тоже
знаменатель второго порядка. Числитель выражения для x1 есть определитель матрицы,
19
получающейся из матрицы (2) заменой ее первого столбца столбцом из свободных членов
системы (1), а числитель выражения для x2 есть определитель матрицы, получающейся из
матрицы (2) такой же заменой ее второго столбца. Таким образом, формулы (3) в новых
обозначениях записываются в следующем виде:
b1 a12
a11 b1
A1
A2
b a 22
a
b
x1  2

, x 2  21 2 
a11 a12
a11 a12
A
A
a 21 a 22
a 21 a 22
(5)
Это есть правило Крамера решения системы
двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Если определитель (4) из коэффициентов системы
уравнений (1) отличен от нуля, то получаем решение
системы
(1),
беря
в
качестве
значений
для
неизвестных дроби, общим знаменателем которых
служит определитель (4) матрицы коэффициентов
системы (1), а числителем для неизвестного xi
i  1,2
Габриэ́ль Кра́мер
швейцарский математик
(1704 - 1752)
является
определитель,
получающийся
заменой в определителе (4) i -го столбца (т. е.
столбца коэффициентов при неизвестном) столбцом
из свободных членов системы (1).
Введение определителей второго порядка не вносит существенных упрощений в
решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, и без того не
представляющее никаких трудностей. Однако, уже для случая трех уравнений с тремя
неизвестными аналогичные методы становятся практически полезными.
Пусть дана система
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 
a31 x1  a32 x2  a33 x3  b3 
(6)
с квадратной матрицей из коэффициентов
 a11 a12

A   a 21 a 22
a
 31 a32
a13 

a 23 
a33 
(7)
Если мы умножим обе части первого из уравнений (6) на число a22 a33  a23 a32 , обе
части второго – на a13 a32  a12 a33 , обе части третьего – на a12 a 23  a13 a 22 , а затем сложим
20
все три уравнения, то, как легко проверить, коэффициенты при х2 и х3 окажутся равными
нулю, т. е. эти неизвестные одновременно исключаются, и мы получим равенство:
a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22 a31  a21a21a33  a11a23a32   x1 =
b1a22 a33  a12 a23b3  a13b2 a32  a13 a22b3  a12b2 a33  b1a23 a32
(8)
Коэффициенты при х1 в этом равенстве называются определителем третьего
порядка, соответствующим матрице (7). Для его записи употребляется такая же
символика, как и в случае определителя второго порядка:
a11
a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22 a31  a21a21a33  a11a23a32 (9)
a33
Хотя выражение определителя третьего порядка выглядит весьма громоздким,
закон его составления из элементов матрицы (7) оказывается довольно простым. В самом
деле, один из трех членов определителя, входящих со знаком «плюс» есть произведение
элементов главной диагонали, каждый из двух других – произведением элементов,
лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из
противоположного угла матрицы. Члены, входящие в (9) со знаком «минус» строятся
также, но относительно второй диагонали. На рисунке слева указано правило вычисления
положительных членов определителя третьего порядка, а справа – правило вычисления
отрицательных членов. Это правило называется правилом Саррюса.
Правая часть равенства (8) также будет определителем третьего порядка, а именно
определителем матрицы, получающейся из матрицы (7) заменой ее первого столбца
столбцом из свободных членов системы (6). Обозначим определитель (9) символом , а
определитель матрицы, получающейся заменой j -го столбца столбцом из свободных
членов системы (6) символом A j . Тогда равенство (8) приобретает вид x1  A1 , откуда
при   0 следует
x1 
A1

(2.10)
21
Таким же путем, умножая уравнения (6) соответственно на числа a 23 a31  a 21a33 ,
a11a33  a13 a31 , a13a21  a11a23 , получим для x3 следующее выражение (снова при 0):
x2 
A2
(11)

Наконец, умножая уравнения (6) соответственно на a 21a32  a 22 a31 , a12 a31  a11a32 ,
a11a22  a12 a21 , придем к выражению для x3 :
x3 
A3
(12)

Таким образом, если определитель из коэффициентов системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными отличен от нуля, то решение этой системы может
быть найдено по правилу Крамера, формулируемому также, как и в случае системы двух
уравнений.
Замечание. Транспонированием данной квадратной матрицы называют построение
матрицы, у которой в строках помещаются элементы столбцов соответствующих номеров
данной матрицы, то есть переход от матрицы
 a11

a
A   21
...

a
 n1
a12
a 22
...
an 2
.... a1n 
 a11


.... a 2 n 
 a12
T
A

к
матрице
 ...
... ... 


a
... a nn 
 1n
a 21 .... a n1 

a 22 .... a n 2 
... ... ... 

a 2 n ... a nn 
Аналогично говорят, что определитель
a11
a12
a 21 ... a n1
a 22 ... a n 2
...
a1n
...
a2n
... ...
... a nn
получен транспонированием определителя
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
a n1
...
an2
... ...
... a nn
В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и
наоборот.
Семь основных свойств определителя 3-го порядка.
Определители третьего порядка (как и определители 2-го порядка) обладают
следующими семью свойствами, следующими из формулы (9) (для определителей второго
порядка – из формулы (4)).
1. определитель не изменится, если строки его матрицы сделать столбцами, а столбцы
строками (определитель не меняется при транспонировании.);
2. при перестановке двух строк определителя он меняет знак;
22
3. если в определителе имеются две одинаковые строки, то определитель равен нулю;
4. общий множитель определителя строки можно вынести за знак определителя;
5. если элементы одной строки определителя пропорциональны элементам другой, то
определитель равен нулю;
6. если к одной строке определителя прибавить другую, умноженную на любое число,
то определитель не изменится.
7. если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять
столбцы.
23
СЕМИНАР 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей.
Пример 1. Вычислить определители
Решение:
3 7 1  2 3 5 cos 
,
,
,
1 4 3 5 5 3 sin 
 sin 
.
cos 
3 7
1 2
3 5
cos 
 3  4  7  1  5;
 1 5  (2)  3  11;
 16 ;
1 4
3 5
sin 
5 3
 sin 
1
cos 
 3 2
 .
Пример 2. Вычислить определитель матрицы: A  
0 1
Решение:   A  3  1  2  0  3
Пример 3. Решить систему уравнений
2 x1  x2  7 

x1  3x2  2
правилом Крамера.
Решение: Определитель из коэффициентов есть

2 1
 2  (3)  1  1  7
1 3
Он отличен от нуля, и поэтому к системе применимо правило Крамера.
Числителями для неизвестных будут определители
A1 
7
1
 7  (3)  1  (2)  19;
2 3
A2 
2 7
 2  (2)  1  7  11;
1 2
Таким образом, решением системы служит следующая пара чисел:
x1 
A1


19
,
7
x2 
A2


11
7
3 x  2 y  7
Пример 4. Решить систему уравнений 
.
 x y 4
Решение:  
3 2
7 2
3 7
 15 ,  y 
5
 5  0 ,  x 
4 1
1 4
1 1

5
 x  15

3
y y 
 1 .

5
 5
3  3  2  (1)  7
Проверка: 
Ответ: (3; -1).
 3  (1)  4
 x  2 y  3z  0

Пример 5. Решить систему уравнений 2 x  y  4 z  5 .
 3x  y  z  2

x
24
1
3
2
Решение:   2  1
3
4  10  0 ,
1
1
0
2
3
1 0 3
1
2
0
 x  5  1 4  5,  y  2 5 4  20,  z  2  1 5  15.
2 1 1
3 2 1
3 1 2
x

x 5 1
20

15 3

 ,y y 
 2, z  z 
 .
 10 2
 10
 10 2
Проверка:
3
1
2  2  2  3 2  0
 1
3
2   2  4   5
2
 2
1
3
 3  2   2

2
2
Ответ: x  0,5 ; y  2 ; z  1,5 .
2
3
1
Пример 6. Вычислить определитель: 11 21  5
4
6
9
Решение: Воспользуемся правилом треугольников. Объясним картинку подробно, т.е.
распишем каждое слагаемое отдельно:
,
,
,
,
,
2
3
1
4
6
9
Итого: 11 21  5  378  60  66   84  297  60  108
2 1 2
Пример 7. Вычислить определитель:  4 3 1
2
3 5
25
2
1 2
Решение:  4 3 1  235+112+2(4)32321(4)5213=30+2–24–12+20–6=10.
2
3 5
1
Пример 8. Вычислить определитель:  2
1
Решение:
1
2
0
3
1
2
0
3
5
2
2
0
5
2  130+021+(5)(2)(2)(5)310(2)012(3)=20 + 15
0
+4=1
 20 35 10 
 и B  50,70,130 . Умножить матрицу A на
Пример 9. Даны матрицы A  
 15 27 8 
транспонированную матрицу B T .
 50 
  20  50  35  70  10  130   4750 
 20 35 10 
 70   
  

Решение. A  B  
 15 27 8 130   15  50  27  70  8  130   3680 


T
 5 1 0 3


Пример 10. Даны матрицы A   3 2 0 2  и C  40,35,24,16 . Умножить матрицу A
 0 0 4 3


на транспониро ванную матрицу C T .
 40 
 5 1 0 3    5  40  1 35  0  24  3 16   283 

 35  
 

Решение. ACT   3 2 0 2     3  40  2  35  0  24  2 16    222 
 0 0 4 3  24   0  40  0  35  4  24  3 16   144 

 16  
 

 
1 2 3
Пример 11. Не вычисляя определителя 4 5 6 , показать, что он равен нулю.
7 8 9
1 2 3
Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель 3 3 3 , равный
7 8 9
исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель
1 2 3
3 3 3 , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.
6 6 6
26
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 1.
Матрицы и определители.
 2  1 3
 3 4  1
 и B  
 . Найти а) A  B , б) A  B .
1. Даны матрицы A  
 1 0 5
5  3 4 
 5 3 2
 1  5 4

 , б) A  B = 
Ответ: а) A  B = 
 4 3 1
6  3 9
3 4
 1
 3 1 1
  2 0 1






2. Даны матрицы A    2 5 0  , B    1 0 2  , C   4  1 0  .
 1  2 1
 1 2 1
 1
2 1 





Найти а) 3A  2B ; б) 2 A  3B ; в) A  2B  3C
 9 11 14 


Ответ: а)   8 15 4  , б)
 5 2 5 


5 
 6 3


  1 10  6  , в)
  1  10  1 


  11 1 5 


 12 2  4 
 2 0 2 


3. Вычислить A  B и BA , если
2 
1


 1 2 3

а) A    1 1  , B  
4
0
2


 3  2


1 
1 0
1 1 1 




б) A   2  1 4  , B   0 2  1
 3 2  2
2 3 4




3  4 1 
 1 3 7




в) A    5 1 7  , B   1 1  2 
 2 1 1 
  3  5 7




Ответ:
2
7
 7


 6  6

а) AB   5  2  1 , BA  
10 4 
  11 6

5

1 1
4 5 
4
 1




б) AB   6 12 19  , BA   1  4 10 
 20 5 6 
 7 1  7




14 0 0 


в) AB  BA   0 14 0 
 0 0 14 


27
8 
 1 2


4. Дана матрица A   4  5  1  . Какую матрицу нужно прибавить к матрице A ,
0
4  3 

чтобы получить единичную матрицу?
 2  2  8


Ответ:   4 6
1 
 0 4 4 


 1 1 2


5. Найти значение матричного выражения 3 A  2 A  3E при A    1 0 1  , если E  2 1 2


2
единичная матрица третьего порядка, а A 2  A  A .
13  5 17 


Ответ: 3 A  2 A  3E =  5  3  2 
17 2 20 


2
6. Для данных матриц A и B вычислить выражения:
a ) 2 A  3B
1.
2  1  3 
A  8  7  6 ,
 3 4
2
2.
3 5
A  2 4
 3 1
3.
2
A  2
1
 6
3 ,
1 
1 1 
 1 1  ,
0 1
b) A  B
c) B  A
2
B  3
1
1  2 
5
4 .
2
1
2
B   3
4
2
1
5
 5
0 .
 3
3
B  2
1
6
4
2
0
 6 .
3
28
4.
 6
A  9
0
1 11 
2 5 ,
3 7 
1
5.
3
A   1
1
6.
2
A  1
4
6
A  3
2
3
B  0
1
0
2
3
1
7.
2 
0
B  2
3
1
3
B  3
5
2
3
1
2
 1  ,
31
1
3
7
1
2
3
0  ,
1
2
B  4
4
0
5
 1  2 .
3
7
0
2
3
2
2 ,
1
1
7
2
1.
1
1 
2 .
0
.
7.
8.
9.
10.
4
 2 3
A  3  1  4  ,
 1 2
2
7
4
1
A   4 9  4  ,
0
3
2
3
B  0
1
3
6
9
1
2 .
2
6
B  1
4
5
9
5
2
2.
2 
2
A  1
0
4
B   4
3
6
3
1
1
2  ,
1
3
0
2
2
5 .
 3
29
11.
6
A   1
10
9
1
1
A  3
2
0
1
4
1 ,
7 
1
B  3
0
1
3 .
2
1
4
5
3
7 ,
8
3
B   3
5
5 1
A  1 3
8 4
 2
 1  ,
 1 
3
B  7
1
2
A  3
4
5
6 ,
4 
1
B  2
4
15.
1  2
A  3 0
4 3
5
6  ,
4 
 1 1
B  2 3
1  2
16.
5
A  1
3
2
4  ,
5 
5
B  3
1
 5
 7 1 .
2 2 
0
3 2  ,
2  7
2
B  5
1
0
3 1 .
 6 1
12.
13.
14.
17.
3
A  4
2
1
1
2
3
3
4
2
0
1
4
0 1 .
6  4
5
5
1
6
5
2 .
0
1
1
3
3 .
 2  1
1
3 .
 1
4
7
30
18.
8  1  1
A  5  5  1 ,
10 3 2 
3
B  3
1
2
0
7
19.
3
A  1
2
0
B  2
2
5  3
4 1 .
1  5
20.
3 1 0 
A  3 5 1  ,
4  7 5
21.
2
A  4
2
8
2
1
9
7
2
3  ,
3
 4
3  ,
 1
5
1 .
2 
2
 1 0
B  1  8
3
0
2
5.
2
0
B  5
7
0  4
 6 4.
 4 1 
 1
3  ,
0 
4
B  3
0
7
2
1
 6
 1.
2 
1
B  2
4
0
5
3
 4
 3 .
2 
22.
8 5
A  1 5
1 1
23.
1
A  2
4
1  1
 4 1 ,
 3 1
24.
5
A  7
4
 8  4
0  5 ,
1 0 
1
B  2
2
5
2 1 .
 1  3
5
31
25.
1
A  1
3
2 1
 2 4 ,
 5 3
26.
 3 4
A  1  5
0
1
27.
 3 4
A  4 5
 2 3
0
1  ,
3
1 7  1 
B  0 2
6.
2  1 1 
28.
 3 4
A  1
2
5 0
 3
3  ,
 1 
 2  2 0
B  5 4 1 .
1  1 2 
29.
 1 0
A  2 3
3 7
2
2  ,
1 
3 0 1 
B   3 1 7.
1
3 2 
30.
4
A  2
1
1  4
 4 6 ,
2 1
0  1 1 
B  2
5 0 .
1  1 2
2
3 ,
2 
7
B  5
1
5
3
2
1 4
B  1 3
 4 1
1
 1.
3 
4
2 .
2
32
7. Вычислите определители второго порядка
а)
1 3
2
4
, б)
cos 
sin 
sin 
cos 
Ответ: а) 10; б) cos 
8. Пользуясь определением, вычислить определители третьего порядка
6 1 1
2 2 1
а) 0  1 1 , б) 3 2 0
3 1 3
4 0 1
Ответ: а) 2; б) 18
9. Записать определитель, который получается транспонированием определителя:
3
1  5 10
4 2 3 5
1 3
а)
, б)  1 1 0 , в)
 2 0 1 7
4 8
3 4 1
6 7 1 1
1
2 3
3
4 2 6
1 2 0 7
4 , в)
 5 3 1 1
1
10 5
7
1
1 1 3
1 4
, б) 2
3 8
3
Ответ: а)
1
0
Пример решения заданий
Для матриц
2
A  1
3
3
2
1 
1 
2
0
1
B  2
4
и
a ) 2 A  3B
1
 2
2 
 1 
1
0
вычислить выражения:
b) A  B
Решение.
a ) 2 A  3B ,
2
2  1
3
3
2
0
2
1 
1 
1
2

4
1
1
0
0
1
2

3  2
1
4
1 
1
1
0
 2
2  =
 1 
4
2

6
6
4
0
4
2 2 
1  3 10 
  4  7  4
3


 6
0 5 
0
b) A  B ,
2 1   3  2  2  4 2   1   3 1  2  0 2   2   3  2  2   1
 2


2  = 1  1   2  2  1  4 1   1   2  1  1  0 1   2   2  2  1   1  =
3 1  0  2  1  4

3   1  0 1  1  0 3   2  0  2  1   1
 1 
3
6

12
2
1

3
3
2
3
 6
6  =
 3
4
= 1

7
 5  12
 3  7 
 3  7 
33
ЛЕКЦИЯ 3. Определители n-го порядка. Минор Алгебраическое дополнение. Ранг
матрицы. Правило Крамера (общий случай).
Рассмотрим матрицу n - го порядка
 a11

a
A   21
...

a
 n1
.... a1n 

.... a 2 n 
... ... 

... a nn 
a12
a 22
...
an 2
(1)
Минором любого элемента аij матрицы n-го порядка (1) называется определитель
матрицы
n  1
- го порядка, получающейся из исходной вычеркиванием столбца и
строки, пересекающихся на упомянутом элементе ( i - ой строки, j -го столбца). Минор
обозначается через  ij . Этот минор, умноженный на  1 , где p  i  j – сумма номеров
p
вычеркнутых рядов (столбца и строки) называется алгебраическим дополнением того же
элемента и обозначается через Aij . Тогда согласно определению
Aij   1  ij
i j
(2)
Распределение знаков у миноров (для получения алгебраических дополнений)
можно изобразить следующим образом:
+
-
+
-
-
+
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
Например, алгебраическое дополнение A34 элемента a34 матрицы 4-го порядка
(речь все время идет о квадратных матрицах!)
 a11

 a 21
a
 31
a
 41
a12
a 22
a13
a 23
a32
a 42
a33
a 43
a14 

a 24 
a34 

a 44 
(3)
есть величина:
A34   1
3 4 
a11
a12
a13
a 21
a 41
a 22
a 42
a 23
a 44
34
Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель
матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении
каких - либо выбранных s строк и s столбцов.
В матрице порядка m n минор порядка r называется базисным, если он не равен
нулю, а все миноры порядка r  1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r
совпадает с меньшим из чисел m или n .
Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается
Rg A .
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются
базисными.
Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно
независимых строк.
Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется
максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов)
называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через
другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется
рангом матрицы.
Понятие алгебраического дополнения используется для введения общего понятия
определителя. Для записи определителя n - го порядка употребляется символ
a 11
A 
a 12  a 1n
a 12  a 1n
a 11
a 21 a 22  a 2n
a
a 22  a 2n
или det A  21
   
   
a n1 a n2  a nn
a n1 a n2  a nn
(детерминант, или определитель, матрицы A ).
Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь
фиксированной строчки этой матрицы на их алгебраические дополнения. Т.е. для
i  1,2,..., n имеет место равенство
n
A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain   aij Aij ,
(4)
j 1
называемое разложением определителя A по элементам i - ой строки.
Аналогично для j  1,2,..., n имеет место разложение определителя
A по
элементам j - го столбца:
n
A  a1 j A1 j  a 2 j A2 j  ...  a nj Anj   aij Aij
(5)
i 1
35
Таким образом, зная, что такое определитель 3-го порядка, можно ввести
определитель 4-го порядка, 5-го, 6-го порядков и т. д.
Рассмотрим вопрос о решении систем n линейных уравнений с n неизвестными:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

 ............................................
a n1 x1  an 2 x2  ...  a nn xn  bn
Обозначим
определитель
матрицы,
(6)
составленный
из
коэффициентов
при
неизвестных через  :

a11
a12
... a1n
a 21
...
a 22
...
... a 2 n
... ...
a n1
an2
... a nn
(7)
Обозначим через  j определитель, полученный из определителя  после замены в
нем j - го столбца столбцом из свободных членов системы (6):
j -ый ст.
dj 
a11
a 21
a12
a 22
... b1
... b2
... a1n
... a 2 n
...
a n1
...
an2
... ... ... ...
... bn ... a nn
,
(8)
Правило Крамера гласит: Если определитель системы n линейных уравнений с n
неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причем
каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой служит определитель
системы, а числителем – определитель, получаемой из знаменателя заменой столбца
коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом свободных членов:
x1 
d
d1
d
, x2  2 , …, xn  n
d
d
d
(9)
36
СЕМИНАР
3.
Определители
порядка.
n-го
Минор
Алгебраическое
дополнение. Ранг матрицы. Правило Крамера (общий случай).
1 3 2
Пример 1. А  5 4 6 . Найти миноры M 12 и M 23 .
8 7 9
Решение: Минор M 12 =
M 23 =
5 6
. (вычеркнули первую строку и второй столбец) = -3. Минор
8 9
1 3
. (вычеркнули вторую строку и третий столбец) = -17.
8 7
1 2 1
Пример 2. Вычислить определитель A = 0  2 3 , разлагая его по первой строке.
3
1
1
Решение:
1
2
1
2 3
0 3
0 2
0  2 3  1
 2
 1
 (2  1  1  3)  2(0  1  3  3)  (0  1  3  2)  -5
1 1
3 1
3 1
3 1 1
+
18 + 6 = 19.
2 6
4 7
Пример 3. Вычислить определитель  
5 1
3
6
1
0
2
.
0
3 2 1 0
Решение: Этот определитель обладает следующей особенностью: все элементы четвертого
столбца, кроме одного равны нулю. Значит, разлагая определитель по элементам
четвертого столбца, получим лишь одно слагаемое, а не четыре, как в общем случае, а
значит надо вычислять лишь один определитель третьего порядка:
2 6
3
  2  5 1 1  2 2  30  18  9  30  4  126
3 2 1
4 6 7
Пример 4. Вычислить определитель   0 2 1 .
3 3 5
Решение: Вычтем из второго столбца удвоенный третий столбец. Это, как уже известно,
не отражается на значении определителя. В результате получим
37
4 8 7
 0 0 1
3 7 5
Разлагая его по элементам второй строки, получим   1 
4 8
1 2
4
4
3 7
3 7
4 3 5
Пример 5. Вычислить определитель   7 2 2 .
6 5 3
4 3
2
Решение: Вычитая второй столбец из третьего столбца, получим:   7 2
0 .
6 5 2
4
3 2
Теперь прибавим первую строку к третьей строке:   7
2 0.
10 8 0
Получился удобный определитель. Разложение по элементам третьего столбца дает:
  2
7 2
 256  20  72
10 8
4
3 2
Пример 6. Вычислить определитель   7
2 0.
10 8 0
0
4 3 2 1 0
1
11  1
 10  5  15
Решение:   7 2 0  1  1 1   1
 5  10
10 8 0 4  5  10
3 2 5
Пример 7. Вычислить определитель   6 7 1 .
4 2 0
3 2 5
Решение:   6 7 1 
4 2 0
 27 33 0
6
4
7
2
1   1
0
23
 27 33
4
2
 54  132  78 .
38
2 4 3 1
0 2 5 1
Пример 8. Вычислить определитель  
.
1 1 3 3
4
2
6 0
Решение:
2 4 3 1
2
4
3 1
2 2 2
2 2 2
0 2 5 1 2 2 2 0


   5  13  6 =   1  11 0 
1  1 3 3  5  13  6 0
4
2
6
4
2 6
4 2 6 0
4
2
6 0
2
2
2
 1  11
  1  11 0   2 
 2   8  110  204
10
8
10
8 0
1 2 3
Пример 9. Вычислить определитель   0 1 0 .
2 1 2
1 2 3
1 3
 2  6  4 .
Решение:   0 1 0 
2 2
2 1 2
1 2 0 1
1 3 0 2
Пример 10. Вычислить определитель  
0 1 2 3
1 1 1 0
Решение. Разложим определитель по первой строке:
39
3
5 7 2
1
2 3 4
Пример 11. Вычислить определитель  
.
2 3 3 2
1
3
5 4
Решение: Произведем следующие действия:

из элементов 1-й строки вычтем элементы 2-й строки, умноженные на 3;

к элементам 3-й строки прибавим удвоенные элементы 2-й строки;

из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки.
Тогда исходный определитель преобразуется к виду:
0  1  2  10
1 2
3
4

0 1
9
10
0
1
2
0
 1  2  10
9
10 .
Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца:    1
1
2
0
Прибавляем к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и, вычитая из элементов
0 0  10
2-й строки элементы 3-й строки, получим:    0 7
10 .
0
1 2
Разложим определитель по элементам 1-го столбца:   
0  10
 70 .
7 10
6 7 4 11
5 7 4 9
Пример 12. Вычислить определитель  
.
8 3 4 7
7 2 3
6
Решение:
6 7 4 11 1 0 0 2
7 4 9
5 7 4
4 0 2
5 7 4
5 7 4 9 5 7 4 9

=
=1 3 4 7  2  8 3 4  1 3 4 7  2  3  4 0 
8 3 4 7 8 3 4 7
2 3 6
7 2 3
2 3 6
7 2 3
7 2 3 6 7 2 3 6
2 0 1
5
7
4
2 0 1
5
7
4
2  3 4 7  2  3  4 0  2  3 4 7  2  3  4 0  -12
2 3 6
7 2 3
2 3 6
7 2 3
40
2 x1
Пример 13. Решить систему: 3x1
x1


x2
 2 x2
 2 x2
x3  0 

 5 x3  1  .
 2 x3  4
Решение: Определитель из коэффициентов системы отличен от нуля:
2 1
 3
1
2
3
1
 5  28 ,
2
поэтому к системе применимо правило Крамера. Числителями для неизвестных будут
определители
0 1
1  1
4
2
3
2 1 0
 5  13 ,  2  3 1  5  47 ,  3  3 2 1  21 ,
2
1 4 2
1 3 4
1
2 0
1
т. е. решением системы являются следующие значения xi : x1 
47
3
13
, x2 
, x3  .
28
28
4
2 x1  3x2  x3  1

Пример 14. Решить систему уравнений 3x1  x2  2 x3  1 методом Крамера.
 x  4x  x  2
2
3
 1
2 3 1 


Решение: Выпишем матрицу A   3  1 2  . Найдем её определитель:
 1 4  1


2
3
1
  det A  3  1 2  2  12  6  1  16  9  14  0
1 4 1
поэтому к системе применимо правило Крамера. Числителями для неизвестных будут
определители:
1
3
1
2 1
1
1  1  1 2  1  12  4  2  3  8  14 ,  2  3 1 2  2  2  6  1  3  8  0
2 4 1
1 2 1
2
3
1
 3  3  1 1  4  3  12  1  18  8  14
1 4 2
т. е. решением системы являются следующие значения xi : x1 
x3 
0
14
 1 , x2 
 0,
14
14
 14
 1 .
14
41
x  2 y  3z  14 
y  2 z  3t  20
Пример 15. Найти y из системы уравнений

z  2t  3x  14 
t  2 x  3 y  12 
x  2 y  3z  0  t  14 
0 x 
y  2 z  3t  20
Решение: Запишем систему в виде

3x  0  y
z
 2t  14 
2x  3y 0  z  t
 12 
1 2 3 0
0 1 2 3
Найдем  
.
3 0 1 2
2 3 0 1
Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из элементов
3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца. Далее, за определитель вынесем
общие множители — из второй строки (-2), и из третьей строки (-1):
1 0
0 0
1
2 3
1 2 3
0 1
2 3

  6  8 2   2   1 3 4  1
3 6 8 2
1  6 1
1 6 1
2 1  6 1
Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из элементов
3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца:
1
0
0
 2  10
  2  3  2  10  2 
 28  40  96
4 4
1 4 4
1 14 3 0
1 7 3 0
0 20 2 3
0 10 2 3
 2
Находим  y 
.
3 14 1 2
3 7 1 2
2 12 0 1
2
6
0 1
Из элементов 3-й строки вычтем утроенные элементы 1-й строки; из элементов 4-й
строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:
1 7
3 0
10
2 3
5
1 3
0 10
2 3
y  2
 2   14  8 2  2  2  2   7  4 2
0  14  8 2
8 6 1
4 3 1
0 8 6 1
Из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 3-й строки; из элементов 2-й
строки вычтем удвоенные элементы 3-й строки:
42
17
10
0
17 10
y  8 1
2 0  8
 192
1 2
4 3 1
Отсюда y   y /   192 / 96  2 .
1 2 3
Пример 16. Вычислить определитель D  3 5  1 , разложив его по элементам второго
4
1
2
столбца.
Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:
D  a12  A12  a 22  A 22  a 32  A 32   2   1
1 2
Пример 17. Вычислить определитель A 
3 1
3
3
2 2 1
3 2 1
 5   1
 1  1
 20
4 2
4 2
3 1
a11 0
a 21 a 22
0
0


0
0
a 31 a 32 a 33  0
a n1 a n2 a n3  a nn
, в котором все элементы
по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
a 22
Решение. Разложим определитель A по первой строке: A  a11A11  a11 a 32
a n2
0

0
a 33  0 .
a n2  a nn
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда
a 33
0

0
получим: A  a11  a 22 a 43 a 44 
a n3 a n4
0 .
 a nn
И так далее. После n шагов придем к равенству A  a11  a 22  a nn .
43
ЛЕКЦИЯ 4. Нахождение обратной матрицы. Метод обратной матрицы
решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
Матрица B называется обратной по отношению к матрице A , если произведения
AB и BA равны единичной матрице: AB  BA  E .
Для матрицы, обратной по отношению к матрице A , принято обозначение A 1 , т.е.
B  A1 .
Нахождение обратной матрицы
Для квадратных матриц A любого порядка можно найти так называемую
обратную матрицу A 1 , удовлетворяющую условию AA1 = A1 A = E .
Для матриц третьего порядка вид обратной матрицы следующий:
 A11
1 
A    A12
A 
 A13
1
A21
A22
A23
A31 

A32 
A33 
(1)
Матричный или метод обратной матрицы решения систем n линейных уравнений с
n неизвестными.
Так как матрица A системы (6) (лекция 3) – квадратная, то при условии
A  det A  0 существует обратная матрица A 1 и тогда (6) (лекция 3), являясь частным
случаем матричного уравнения A  X  B , где
 a11

a
A   21
...

a
 n1
a12
a 22
...
an 2
.... a1n 
 b1 
 x1 

 
 
.... a 2 n 
 x2 
 b2 
X

B

,
,
 ... 
 ... 
... ... 

 
 
b 
x 
... a nn 
 n
 n
имеет единственное решение X  A1 B . Такой метод решения системы (6) (лекция 3)
называется матричным или методом обратной матрицы.
Метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

 ............................................
a m1 x1  a m 2 x2  ...  a mn xn  bm
Метод Гаусса иначе называют методом последовательного
(2)
исключения
неизвестных.
44
Метод Гаусса состоит из двух частей: прямого
и обратного хода. В результате прямого хода система
приводится к равносильной системе ступенчатого или
треугольного
вида
преобразований
с
(если
помощью
при
этом
элементарных
процессе
не
обнаружится несовместность системы). Второй этап
решения задачи, называемый обратным ходом,
состоит в последовательном нахождении значений
Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс
немецкий математик
(1777 - 1855)
неизвестных x n , x n 1 , …, x − из полученной в
результате прямого хода системы специального вида.
Решение системы методом Гаусса обычно осуществляют, работая с расширенной
матрицей коэффициентов системы, в которой каждой строке соответствует уравнение
исходной системы.
Рассмотрим этот метод на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными:
 a11 x  a12 y  a13 z  b1

(3)
a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2
a x  a y  a z  b
32
33
3
 31
Пусть a11  0 (если a11  0 , то, изменив последовательность уравнений в системе,
можно записать первым то уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю).
Чтобы исключить x из второго уравнения системы (3), прибавим к нему первое
уравнение этой системы, умноженное на  a21 / a11 ⎟ . Аналогично исключаем x из
третьего уравнения, умножая первое уравнение на  a31 / a11 и прибавляя полученное
уравнение к третьему. Приходим к равносильной системе
 a11 x  a12 y  a13 z  b1

c 22 y  c 23 z  d 2


c32 y  c33 z  d 3

(4)
Если c22  0 , то умножаем второе уравнение системы (4) на  c32 / c 22 и
прибавляем полученное уравнение к третьему уравнению системы (4), исключая из него
y . В итоге исходная система (3) преобразуется к виду
 a11 x  a12 y  a13 z  b1

c22 y  c 23 z  d 2


p33 z  q3

(5)
Из последней системы все неизвестные легко определяются. Здесь возможны три
случая:
45
1) если p33  0 то система (5), а следовательно и равносильная ей система (3) имеют
единственное решение, которое легко определяется из системы (5) начиная с последнего
уравнения;
2) если p33  0 но q3  0 то третье уравнение системы имеет вид 0  z  q3  0 . Такое
уравнение называется противоречивым и решений оно не имеет. Поэтому и системы (5),
(3) решений не имеют;
3) если p33  0 и q3  0 то система (5) равносильна системе из двух уравнений
a11 x  a12 y  a13 z  b1
,

c22 y  c23 z  d 2

(6)
которая имеет бесконечное множество решений. В системе осталось два уравнения, а
неизвестных три, поэтому одно неизвестное будет свободным, то есть может принимать
любое числовое значение. Так как во втором уравнении c22  0 , то свободным можно
взять z ; (если и коэффициент c23  0 , то свободной неизвестной можно взять либо z ,
либо y ). Из системы (6) выражаем неизвестные x , y через z :


 
a12 d 2   a12 c 23
  
 a12   z 
 x   b1 

c 22   c 22
  1 ,


a11
c
d

y  2  23  z

c 22 c 22
(7)
Эти формулы задают общее решение системы (3). Придавая в формулах (7)
неизвестной z конкретное значение из множества действительных чисел получим три
числа x , y , z , которые составляют одно из решений системы (3). Например при z  0
решением будет тройка чисел


a12 d 2
 x   b1 
c 22


d

y 2

c33

z0



 1
 
 a11
Для простоты удобно иметь дело не с самой системой уравнений, а с матрицей,
составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:
 a11

 a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13 b1 

a 23 b2 
a33 b3 
46
которая называется расширенной матрицей системы (3). Эта матрица отличается от
матрицы системы дополнительным столбцом из свободных членов системы. Расширенная
матрица системы (3) приводится к расширенной матрице системы (5), то есть к виду
 a11




a12
c 22
a13 b1 

c 23 d 2 
p 33 q 3 
При этом используется умножение строки на произвольное число и прибавление
результата к другой строке, перестановка строк и столбцов (кроме последнего столбца).
Отметим, что если переставляем столбцы, то это надо учесть при нахождении
неизвестных x ,
y , z , а именно, следует поменять местами и соответствующие
неизвестные.
47
СЕМИНАР 4. Нахождение обратной матрицы. Метод обратной матрицы
решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
 3 0 0


Пример 1. Найти обратную матрицу к матрице A   2 2 1  .Решение: Как видно из
1 0 1


формулы (1) (лекция 4), определитель A входит в знаменатель, поэтому важно, чтобы он
не был равен нулю. Разложим A по первой строке, это нам удобно, т.к. там много нулей.
A  3  2  0  6  0
Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует.
Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу) то есть
 2

 6
1
1
A  
 6
 2

 6
0
3
6
0

0 

3

6
6 

6 
Известно, что A 1 A  E . Можем проверить результат:
48
 3x1  x2  x3  2

Пример 2. Решить систему уравнений  x1  x2  x3  2 .
x  2x  2x  7
2
3
 1
матричным методом.
 3 1  1
 2
 x1 


 
 
Решение. Выпишем матрицы A   1  1 1  , H   2  , X   x 2  . Систему уравнений
1 2 2 
7
x 


 
 3
запишем в матричной форме: AX  H . Найдем её определитель:
3
1
1
  det A  1  1
1 2
1  6  1  2  1  6  2  16  0
2
Следовательно, матрица A неособенная и для нее существует обратная матрица
A 1 . Найдем алгебраические дополнения матрицы A :
A11   1
11
A13   1
1 1
1 2 1 1
 2  2  4 , A12   1
 2  1  1
2 2
1 2
1 3
A22   1
1 1
1
2 1 1
 2  1  3 , A21   1
 2  2  4
1 2
2 2
2 2
A31   1
31
3 1
1
23 3
 6  1  7 , A23   1
 6  1  5
1 2
1 2
1 1
1
1
3 2 3
3 3 3
 0 , A32   1
 3  1  4 , A33   1
 4
1 1
1 1
1 1
Тогда обратная матрица для A :
49
0,25
0 
  3  4 0   0,25
 

1
A     1 7  4  =  0,0625  0,4375 0,25 
16 
 

 3  5  4    0,1875 0,3125 0,25 
1
Используя равенство X  A1 B , получим
0,25
0  2  
0,25  2  0,25  2  0  7
 0,25
 1

  
  
X   0,0625  0,4375 0,25  2    0,0625  2  0,4375  2  0,25  7    1 
  0,1875 0,3125 0,25  7    0,1875  2  0,3125  2  0,25  7   2 

  
  
 x1  2 x2  3x3  7

Пример 3. Решить систему уравнений 2 x1  x2  2 x3  2 матричным методом.
 3x  2 x  x  3
2
3
 1
 1 2 3
 7
 x1 


 
 
Решение. Выпишем матрицу A   2 1 2  , B    2  , X   x 2 
3 2 1
 3 
x 


 
 3
Систему уравнений запишем в матричной форме AX  B , тогда X  A 1 B или
 x1 
 7
 
 
1
 x2   A   2 
x 
 3 
 3
 
1 2 3
Найдем определитель:   det A  2 1 2  1  12  12  9  4  4  8  0 .
3 2 1
Следовательно, матрица A неособенная и для нее существует обратная матрица
A 1 . Найдем алгебраические дополнения матрицы A :
2
3 4 A31 1
3 1
A11 1
3 A
1
11 1
2 1 2
31 2
   1 
  , 21    1 
 ,
   1 

2 1
2 1 8 
1 2 8

8
8 
8
8
A12 1
1 2 2
   1 
3

8
A13 1
1 3 2
   1 
3

8
2 4
 ,
1 8
1 1
 ,
2 8
A22 1
2 2 1
   1 
3

8
A23 1
23 1
   1 
3

8
3
3 4
8 A
1
3 2 1
  , 32    1 

1
2 2 8
8 
8
2 4 A33 1
2
3
3 3 1
 ,
   1 

2 8 
2 1
8
8
1 
 3 4


1
Тогда обратная матрица для A : A 1   4  8 4  .
8
4  3 
 1
Используя равенство X  A1B , получим
1   7
 3 4
 21  8  3   2 
   1 
  
1
X   4  8 4     2      28  16  12    0 
8
8 
  
4  3   3 
 1
  7  8  9    3
50
2 x1  x2  3x3  x4  0

x2  2 x4  2

Пример 4. Решить систему уравнений 
методом Гаусса.
 x1  x2  2 x3  x4  1
 x1  2 x2  x3  3x4  1
Решение. Переставив первое и третье уравнение системы, получим расширенную матрицу
вида:
 1  1  2 1  1


0
1
0

2
2


2 1  3 1 0 


1 2

1
3
1


Так как a11  1  0 , то с помощью первого уравнения исключим x1 из всех
остальных уравнений, для чего третью строчку матрицы сложим с первой строкой,
умноженной на (−2), а затем из четвертой строки вычтем первую строку. Получим:
 1  1  2 1  1


0 2 2 
0 1

0 3
1 1 2 

0 3
3
2 2 

Так как в новой матрице a22  0 , то теперь с помощью второго уравнения
исключим x 2 из третьего и четвертого уравнения, для чего от третьей строки вычтем
вторую, умноженную на 3 и из четвертой строки вычтем вторую, умноженную так же на
3. Получим матрицу вида:
1 1  2 1 1


0 2 2 
0 1

0 0
1
5  4

0 0
3
8  4 

Так как в новой матрице a33  0 , то можно с помощью третьего уравнения
исключить x3 из четвертого уравнения, для чего от четвертой строки матрицы вычтем
третью, умноженную на 3. В результате придем к матрице:
1 1  2 1 1


0 2 2 
0 1

0 0
1
5  4

0 0
0  7 8 

Система, соответствующая матрице является системой треугольного вида.
Выпишем ее:
51
 x1





 x2
 2 x3
 2 x4
 1
x3
 2 x4
 5x4
 7 x4
2
 4
8
x2
Такая система имеет единственное решение, которое находится с помощью
обратного хода. Двигаясь от последнего уравнения к первому, получим:
8
8
12
 7 x4  8 , x 4   , x3  5 x4  4 , x3  4  5  , x3  ,
7
7
7
x2  2 x4  2 , x2  2 x4  2 , x 2  2 
Ответ: x1 
16
2
1 24 8
23
  , x1  x 2  2 x3  x 4  1   
 1 
7
7
7 7 7
7
23
2
12
8
, x 2   , x3  , x 4  
7
7
7
7
 x1  2 x2  x3  5

Пример 5. Решить систему   2 x1  3x3  1 методом Гаусса.
 x  4 x  3x  1
2
3
 1
Решение. Последовательно получаем следующие матрицы:
 1 2 1 5 
1  2 1 5 
1  2
1 5 






A    2 0 3  1   0  4 5 9    0  4
5 9 
 1
0 6 2  4
 0 0  38  38 
4 3 1 





По последней матрице записываем систему уравнений, равносильную данной:
 x1  2 x 2  x3  5

  4 x 2  5 x3  9
  38 x  38
3

Начиная снизу вверх, последовательно находим: x3  1 ,  4x2  5 1  9  x2  1 ,
x1  2 1  1  5  x1  2 . Итак, (2;–1;1) – единственное решение исходной системы.
 2 x1  x 2  3x3  5 x 4  1
 x  x  5x
2
 1
2
3
Пример 6. Решить систему уравнений 
методом Гаусса.
 3x1  2 x 2  9 x3  5 x 4  3
7 x1  5 x 2  9 x3  10 x 4  8
Решение. В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей
системы
52
2 1 3
 5 1


0 2
1 1  5
 3  2  2  5 3 ~


 7  5  9  10 8 


1 1  5
0 2


 5 1
2 1 3
 3  2  2  5 3 ~


 7  5  9  10 8 


1 1  5 0 2 


 0 1 13  5  3 

0 0
0
0 0 

0 0
0
0 0 

1 1

0 1
0 1

0 2

5
13
13
26
2 

 5  3
~
 5  3
 10  6 
0
2
 x  x 2  5 x3
Исходная система свелась к ступенчатой  1
.
 x2  13x3  5 x4  3
Поэтому общее решение системы: x2  13x3  5x4  3 , x1  x2  5 x3  2 . Если
положить, например, x3  0 , x4  0 , то найдем одно из частных решений этой системы:
x1  1, x2  3 , x3  0 , x4  0 .
2  2 1 


Пример 7. Для матрицы A   2 1  2  найти обратную.
1 2
2 

2 2
Решение. Находим сначала детерминант матрицы А:   det A  2
1
1
2
1
 2  27  0 значит,
2
 A11 A12
1
обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: A   A 21 A 22

 A 31 A 32
1
A13 

A 23  ,
A 33 
где Aij i, j  1,2,3 - алгебраические дополнения элементов a ij исходной матрицы.
A11   1
1 2
 24  6 ,
2 2
A12   1
2 2
 4  2  6 ,
1 2
A13   1
2 1
 4 1  3 ,
1 2
A 21   1
2 1
  4  2  6 ,
2 2
A 22   1
2 1
 4 1  3 ,
1 2
A 23   1
2 2
 4  2  6 ,
1 2
A 31   1
2 1
 4 1  3 ,
1 2
A 32   1
2 1
  4  2  6 ,
2 2
A 33   1
2 2
 2 4  6,
2 1
11
1 3
2 2
31
3 3
1 2
2 1
23
3 2
53
6 3
2 1
 6
 2
 1

1 
откуда A    6 3 6     2 1 2  .
27 
 9  1  2 2
 3  6 6


1
 x  y  3z  2,

Пример 8. Решить систему уравнений 2 x  y  2 z  0, методом Гаусса.
3x  2 y  z  1.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
1 1  3 2 


 3  2 1  1
2 1  2 0 


и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
1 1  3 2  1 1  3 2 

 

 3  2 1  1 ~  0  5 10  7  ;
2 1  2 0  2 1
4  4 

 
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
1 1  3 2 


 0  5 10  7  .
 0 0  10 13 


В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному
виду:
 x  y  3z  2,

 5 y  10 z  7,
 10 z  13.

Из последнего уравнения находим z  1,3 . Подставляя это значение во второе
уравнение, имеем y  1,2 . Далее из первого уравнения получим x  0,7 .
 x1  x 2  x3  x 4  5,
 x  2 x  x  4 x  2,
 1
2
3
4
Пример 9. Решить методом Крамера систему уравнений: 
.
2 x1  3x 2  x3  5 x 4  2,
3x1  x 2  2 x3  11x 4  0.
1 1
1
1
1 2 1 4
 142  0 ,
Решение. Главный определитель этой системы  
2  3 1  5
3
1
2
11
54
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители


 i i  1,4 , получающиеся из определителя  путем замены в нем столбца, состоящего из
коэффициентов при xi , столбцом из свободных членов:
5
1
1
1
 2 2 1 4
1 
 142 ,
 2  3 1  5
0
1
2
11
3
1 1
5
1
1 2 2 4
3 
 426 ,
2 3 2 5
3
Отсюда x 1 
1
0
1 5
1
1
1  2 1 4
2 
 284 ,
2  2 1  5
0
2
11
1 1
1
5
1 2 1  2
4 
 142 .
2  3 1  2
11
3
1
2
0
1



 1 , x 2  2  2 , x 3  3  3 , x 4  4  1 .




 x1  x 2  x3  6

Пример 10. Решить матричным способом систему уравнений 2 x1  x 2  x3  3 .
x  x  2x  5
2
3
 1
 1 1 1 


T
T
Решение. Обозначим A   2 1 1  ; X  x1 , x2 , x3  B  6, 3, 5 . Тогда данная система
 1 1 2


уравнений
запишется
матричным
уравнением
AX  B .
Поскольку
 1 1 1 


Δ  det  2 1 1   5  0 , то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:
 1 1 2


A 1
 A11
1
  A 21

 A 31
A13 

A 23  .
A 33 
A12
A 22
A 32
Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на
3  2
 1


1
матрицу A : X  A B . В данном случае A    3 1
1  и, следовательно,
5

 1 2 3 
1
1
3  2  6 
 x1 
 1
  1
 
1  3  .
 x2     3 1
 x  5  1  2 3  5 
 3

 
Выполняя действия над матрицами, получим:
55
x1 
1
1 6  3  3  2  5  1 6  9  10  1 ,
5
5
x2 
1
 3  6  1 3  1 5  1  18  3  5  2 ,
5
5
x3 
1
1 6  2  3  3  5  1 6  6  15  3 .
5
5
Итак, x1  1, x2  2 , x3  3 .
 1 1 1


Пример 11. Найти обратную матрицу к матрице A    1 2 1  .
  2 1 2


Решение. A11  ( 1)11
2 1
 4  1  3,
1 2
A12  (1)1 2 
1 1
1 2
 (2  2)  0 , A13  (1)13 
 1  4  3 ,
2 2
2 1
A21  (1) 21 
1 1
1 1
 (2  1)  1, A22  (1) 2 2 
 2  2  4,
1 2
2 2
A23  (1) 23 
1 1
1 1
 (1  2)  3 , A31  (1) 31 
 1  2  1,
2 1
2 1
A32  (1) 3 2 
1 1
1 1
 (1  1)  2 , A33  (1) 33 
 2  1  3,
1 1
1 2
  det A  a11  A11  a12  A12  a13  A13  1  3  1  0  1  3  6 ,
A1
3  1  1   3 / 6  1 / 6  1 / 6  1 / 2  1 / 6  1 / 6 
1 
   0 4  2    0 / 6 4 / 6  2 / 6    0 2 / 3  1 / 3 .
6  3  3 3   3 / 6  3 / 6 3 / 6  1 / 2  1 / 2 1 / 2 

 
 

 x1  x2  x3  3

Пример 12. Решить систему уравнений:   x1  2 x2  x3  2 матричным способом.
 2 x  x  2 x  3
1
2
3

 1 1 1


Решение. Здесь матрица системы: A    1 2 1  является невырожденной, и обратная к
  2 1 2


ней найдена в примере 11. Тогда находим:
 x1  1 / 2  1 / 6  1 / 6   3   3 / 2  2 / 6  1 / 6  1
  
   
  
X   x2    0
2 / 3  1 / 3    2    0  4 / 3  1 / 3   1 , т. е.
 x  1 / 2  1 / 2
1 / 2   1   3 / 2  1  1 / 2  1
 3 
x1  1,
x2  1 , x3  1 – решение системы.
56
3 x1  3 x 2  7 x 3  7

Пример 13. Решить систему линейных уравнений:  x1  x 2  3 x 3  4 .
2 x  2 x  4 x  3
 1
2
3
3 3 7
~ 
Решение. Приведем расширенную матрицу системы: A   1 1 3
2 2 4

к трапециевидной форме. Поменяем местами первую и вторую
7

4 .
3 
строки матрицы, затем
умножим элементы первой строки на –3 и прибавим к элементам второй сроки, элементы
первой строки умножим на –2 и прибавим к элементам третьей строки, получим:
 3 3 7 7   ( 3)  ( 2)
~ 

+
A  1 1 3 4
 2 2 4 3


1 1 3
4
+~ A ( 2 )   0 0  2  5 .


~
0 0  2  5


Полученная матрица не является трапециевидной, так как на главной диагонали
есть элемент, равный нулю. Поменяем местами второй и третий столбцы матрицы, затем
умножим элементы второй строки на –1 и прибавим к элементам третьей строки,
получим:
1 3 1 4
~ ( 2) 

A
~  0  2 0  5   ( 1)
0  2 0  5


+
1 3 1 4
~ ( 3) 

~ A   0  2 0  5 .
0 0 0 0 


~
Матрица A (3) имеет трапециевидную форму, причем в полученных матрицах по
~
две ненулевых, строки, т.е. rang A = rang A = 2, следовательно, по теореме Кронекера-
Капелли система совместна и имеет бесконечное множество решений. Полученной
матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной:
 y1  3 y 2  y3  4
 y  3 y 2  4  y3
или  1

2 y2
 5
2 y 2  5


где y1  x1 , y 2  x3 , y 3  x 2 (второй и третий столбцы в расширенной матрице менялись
местами). Пусть y 3  t , тогда из второго уравнения находим y2  2,5 и, подставляя y 2 в
первое уравнение, получим y1  3,5  t . Таким образом, решением данной системы
уравнений будут t  R : x1  3,5  t , x2  t , x3  2,5 .
57
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 2.
Миноры, алгебраические дополнения, системы уравнений.
 1  2 3


1. Дана матрица A   5
6 0  . Найти минор элемента а) a12 , б) a 23 , в) a 32 .
  3 1 1


Ответ: а) 5; б) -5; в) -15
 7 0 1 


2. Дана матрица A    3 1  1  . Вычислите алгебраические дополнения а) A11 , б) A23 ,
 2 4  2


в) A31 .
Ответ: а) 2; б) -28; в) -1
3. Найти матрицу, обратную к данной матрице
1  4 5 
 1 2  1




 1  2
 , б) B   2 1  3  , в) C   0  1 1 
а) A  
 3 4 
4  3 1 
 2 0  1




2
Ответ. а) A 1   3

 2
1 
1  , б) B 1
 
2
11

4
2

19
 7

2

13
5
2

7
1


2
3
 13 
2
, в) C 1  
3
2 
2
9
 

2
3

2
3
1
3
4
3
1 

3 
1
 
3
1
 
3
4. Найти обратные матрицы заданным ниже матрицам и произвести проверку:
58
5. С помощью разложения по строке (или столбцу) вычислить определитель
2  2 0 1
1 1 2
3 0 1
 4 1 1 1
а)  2 0 1 , б) 6  2 4 , в)
0
1
1 1
1 3 0
3 1 0
2
2 1 0
Ответ: а) -10; б) 0; в) 40
6. С помощью формул Крамера решить системы линейных уравнений:
3x  8 y  2
а) 
 2x  y  5
 x  2y  1
б) 
2 x  y  8
2 x  7 y  z  5
 3x  y  8 z  7


г)  x  5 y  2 z  0 д)   x  2 y  z  4
3x  y  3z  9
2 x  3 y  2 z  10


 9 x  y  12
в) 
 x  5 y  14
 5 x  3 y  z  7

е) 3x  4 y  2 z  10
 x  y  3z  5

Ответ: а) x  2 , y  1 ; б) x  3 , y  2 ; в) x  1, y  3 ; г) x  2 , y  0 , z  1 ; д) x  1,
y  2 , z  1 ; е) x  0 , y  2 , z  1
7. Методом обратной матрицы решить системы линейных уравнений:
 x  2 y  3z  2
 3x  y  z  5


а)  2 x  y  4 z  5 б) 5 x  2 y  3z  13
3x  3 y  2 z  4
 x  y  2z  4


2 x  2 y  z  1

в)  x  3 y  z  2
 3x  y  4 z  1

Ответ: а) x  1, y  1 , z  1 ; б) x  0 , y  2 , z  3 ; в) x  1 , y  0 , z  1
8. Методом Гаусса найти решение системы линейных уравнений:
 x  3y  z  2  0

а) 2 x  y  2 z  3  0
 x  2y  z  5  0

 3x  y  2 z  4

г)  x  2 y  z  3
 2 x  3 y  3z  10

 2x  y  z  4
 x yz20


б)  x  3 y  z  6 в) 2 x  y  3z  1  0
 3x  2 y  z  5
 x  2y  z  8  0


  x  y  4z  1

д)  2 x  3 y  z  2
 3x  4 y  5 z  1

 x  3y  2z  5

е)  3x  4 y  z  2
  4 x  y  z  7

 x  3 y  4 z  0
 x  2y  z  0

ж)  3x  2 y  2 z  0 з) 
2 x  y  5 z  0
 2x  y  6z  0

59
Ответ: а) x  1 , y  1 , z  2 ; б) x  2 , y  1 , z  1 ; в) x  3 , y  2 , z  1 ; г) решений
нет; д) общее решение x  5  11z , y  4  7 z , z - любое число; е) общее решение
x
14 11
13 7
 z , y    z , z - любое число; ж) x  2 z , y  2 z , z - любое число; з)
5 5
5 5
x  3z , y  z , z - любое число.
9. Решить системы линейных уравнений:
3 x  y  2 z  2t  1
 x  y  3z  t  0

а) 
  x y zt  4
  x  z  2t  6
 3 x  2 y  2 z  6
 x  z  3t  16

б) 
  2 x  y  t  6
 x  y  3z  2t  6
Ответ: а) x  3 , y  2 , z  1 , t  4 ; б) x  6 , y  8 , z  4 , t  2 .
Пример решения заданий
 8  18 
 .
Найти обратную матрицу для матрицы A  
3  7
Решение. Вычислим детерминант матрицы:

8  18
 2  0
3 7
Детерминант A не равен нулю, следовательно, существует обратная матрица A 1 .
По формуле определения обратной матрицы имеем: A 1 
1  A11

  A12
A21 
.
A22 
Здесь Aij - алгебраические дополнения элементов матрицы A :
A11   1
11
  11 , A21   1
2 1
  21 , A12   1
1 2
  12 , A22   1
2 2
  22 .
Здесь  ij - миноры элементов матрицы A : 11  7 ,  21  18 , 12  3 ,  22  8 .
Подставив в формулу определения обратной матрицы, получаем:
1  7

A 1 
 2   3
7

18 
 или A 1   2
3
8 

2

 9
.

 4

Произведем проверку:
8
A  A 1  
3
7
 18   2

 7   3

2

 9   28  27
   21 21
 

 4   2
2

 72  72 
 1

 27  28   0

0
.
1
60
2 x1  x2  3x3  5 ,

Решить систему  x1  2 x 2  3x3  6 ,
3x  2 x  x  4 .
2
3
 1
a) Методом Крамера; b) Методом Гаусса.
Решение. a) найдем главный и вспомогательные детерминанты матрицы:
2 1 3
  1 2  3  14 ,
3 2 1
 5 1 3
1  6 2  3  14 ,
4 2 1
2 5 3
 2  1 6  3  28 ,
3 4 1
2 1  5
 3  1 2 6  42.
3 2 4
Методом Крамера получаем: x1 
1
 1,

x2 
2
 2 ,

x3 
3
 3.

b) Чтобы решить систему методом Гаусса поменяем местами уравнения так, чтобы
 x1  2 x 2  3x3  6 ,

2 x1  x 2  3x3  5 ,
уравнение с коэффициентом при x1 , равным единице было первым: 
3x1  2 x 2  x3  4 .
 x1  2 x 2  3x3  6 ,

Третье уравнение умножим на 3 и сложим с первым: 2 x1  x 2  3x3  5 , . Второе
10 x  8 x  6 .
2
 1
 x1  2 x2  3x3  6 ,

уравнение сложим с первым, третье уравнение разделим на 2: 3x1  x2  1,
. Из
5 x  4 x  3.
2
 1
 x1  2 x2  3x3  6 ,

третьего уравнения вычтем вторую, умноженную на 4: 3x1  x2  1,
. Получаем:
 7 x  7 .
1

 x1  2 x2  3x3  6 , 3x1  2 x 2  x3  4 ,


 1,
.  x1  x 2
. Получили систему с треугольной матрицей. Из
3x1  x2  1,
 x  1.
x
 1,
 1
 1
третьего уравнения получаем x1  1. Из второго уравнения следует, что x2  2 , из
третьего - x3  3 .
61