Информатика для группы КС-14д
advertisement
Тема : Теорема Котельникова – Найквиста. Формат MIDI Теорема Котельникова - Найквиста Теорема Котельникова - Найквиста Теорема Найквиста-Котельникова дает ответ на вопрос, какой частоты дискретизации fs достаточно для того, чтобы не произошло потери информации, т.е. чтобы по дискретизованному сигналу можно было восстановить исходный. Применительно к изображениям это грубо (поскольку еще не ясно, как происходит восстановление, которое зависит от устройства отображения) можно понимать так: "Какая разрешающая способность должна быть у растра, чтобы он сохранил все детали исходного аналогового изображения". Хотя потеря информации даже в случае соблюдения условий теоремы Котельникова произойдет из-за того, что значения дискретизованной функции (растрового изображения) в компьютере сами хранятся с ограниченной точностью. Передача цветов и оттенков лучшим образом при ограниченном диапазоне значений является задачей квантования, которая рассмотрена в "Алгоритмы квантования для полутоновых и цветных изображений" . Рис. 1. Срез изображения как сигнал и его частотный спектр. Рис. 2. Гребенчатый фильтр и его преобразование Фурье. В доказательстве теоремы и далее будет использоваться операция свертки функций I(x), J(x), определяемая так: Теорема 7.1.1 (Найквиста-Котельникова). Для того чтобы сигнал I(x) можно было восстановить по его дискретному образу, его спектр должен быть ограничен максимальной частотой fH и частота дискретизации fs должна быть более 2fH. Доказательство использует факты из математического и функционального анализа (см. например [3]). Пусть Is(x) - дискретный образ исходного сигнала I(x), как обычно, T = 1/fs - период дискретизации, тогда Образом функции Comb в частотной области является функция а Фурье-образ I(x) по-прежнему будем обозначать F(f). Умножение функций в пространственной области соответствует их свертке (будем обозначать ее ) в частотной и наоборот. Соответственно, рассмотрим свертку F и FComb, являющуюся Фурье-образомIs(x) (обозначим его Fs(f) ): ( 7.6) где переход (1) произошел благодаря сдвигающему свойству дельта-функции при свертке. Как видно из последнего выражения, Fs(f)представляет собой бесконечную сумму функций F(f), умноженных на fs и сдвинутых на fs относительно друг друга, поэтому при условии fs > 2fH носители соседних сдвинутых версий не пересекаются, и отдельно, взяв центральную копию F(f) (k = 0) и применив к ней обратное преобразование Фурье, можно получить исходный сигнал I(x). Центральная копия берется путем умножения Fs(f) на прямоугольную функцию , где Т.е. , - образ исходной функции получен. Заметим, этому умножению в частотной области соответствует свертка в пространственной области. Применив обратное преобразование Фурье к , получим функцию ( 7.7) Применив свертку с Is(x), получаем где переход (2) также произошел благодаря сдвигающему свойству дельта-функции при свертке. Последняя формула называется Интерполяционной формулой Найквиста-Шеннона. Для завершения доказательства осталось показать, что невозможно однозначно восстановить сигнал при . Приведем соответствующий пример. Зафиксируем две частоты - fs и fH, ; для упрощения рассуждений предположим, что fs > fH (в общем случае может быть более двух наложений сдвинутых образов, что усложнит построение контрпримера). Из формулы (7.6) следует, что Фурье-образ Is(x) является периодической функцией с периодом fs, поэтому вся информация для восстановления содержится в одном периоде (например ). Рассмотрим две функции, Фурье-образы которых равны (функция однозначно задается своим Фурье-образом). При дискретизации с частотой fs в соответствии с формулой (7.6) Фурье-образ в интервале для обеих функций будет равен (см. рис. 7.4). Таким образом, в этом случае однозначная реконструкция невозможна. увеличить изображение Рис. 3. Пример двух функций, дискретизированный образ которых совпадает Рис. 4. Адекватная и неадекватная частоты дискретизации Формат MIDI. MIDI расшифровывается, как Musical Instruments Digital Interface (цифровой интерфейс музыкальных инструментов). Строго говоря, MIDI это не звук. С помощью MIDI кодируется информацию о действиях, которые производятся на данном музыкальном устройстве — нажатие на клавиши, кнопки и т. д. MIDI-коммутация Для того чтобы коммутировать разные устройства через MIDI-интерфейс,обычно применяют трехжильные кабели с разъемами типа DIN. В устройствах со стандартным MIDI-интерфейсом имеется три разъема, обозначаемых как MIDI IN, MIDI OUT и MIDI THRU: Разъем MIDI IN — это входной разъем, через который поступает MIDI-информа-ция с других устройств. MIDI OUT — выходной разъем, через который устройство передает информацию о производимых на нем действиях. MIDI THRU — это тоже выходной разъем, через который устройство в неизменном виде пересылает информацию, полученную через MIDI IN. Рисунок: MIDI-разъем звуковой карты Для соединения разъема со стандартными MIDI-устройствами необходим переходной кабель.Некоторый производители звуковых карт предлагают приобрести его отдельно. Перед покупкой переходного кабеля обязательно нужно проверить, что он будет работать с вашими моделями звуковой карты и устройств, так как многие производители учитывают индивидуальные особенности данной звуковой карты. Цена кабеля бывает достаточно высока. MIDI-сообщения Через MIDI интерфейс передается информация о действиях, выполняемых на музыкальном устройстве - к примеру, — нажатие клавиши. Это содержит информацию о двух параметрах: номере нажатой клавиши и силе удара по ней. Большинство параметров MIDI могут принимать значения от 0 до 127 (1 байт). Поэтому размер полной MIDI-клавиатуры составляет 128 клавиш. Так как музыкантам привычнее оперировать нотами и номерами октав, в MIDI описано соответствие между номером клавиши и его интуитивным значением. Однако номера октав здесь отличаются от принятых на традиционных акустических инструментах. MIDI-каналы Пусть MIDI-карта управляет несколькими устройствами.В этом случае управляемые устройства подключаются цепочкой через соединение MIDI THRU — MIDI IN. Поскольку на выход MIDI THRU передается вся информация, пришедшая на MIDI IN, все подключенные устройства получают одну и ту же MIDI-информацию. Однако, управление несколькими устройствами имеет смысл в том случае, если каждое из них будет исполнять свою партию. Таким образом, существует необходимость разделить поток MIDIсообщений, чтобы каждое устройство могло принимать только свои сообщения. Эта проблема в MIDI решена с помощью каналов. Предполагается, что существует 16 MIDI-каналов, и каждое сообщение может идти только по одному из них. При этом каждое устройство настраивается на прием сообщений, приходящих только по одному из каналов. MIDI-сообщения Поток MIDI-информации передается побайтно. Для контроля за состоянием линии в начале каждого байта передается стартовый бит (1), а в конце — столовый (0). Каждый байт состоит из 8 значащих битов. Любой байт, передаваемый по MIDI, является байтом либо статуса, либо значения. Статусный байт всегда первый в MIDI-сообщении, он определяет его тип и номер MIDI-канала. В каждом MIDI-сообщении содержится только один статусный байт. Байты значения содержат параметры, необходимые для данного типа MIDI-сообщения. MIDI-секвенции и стандартные MIDI-файлы MIDI-секвенцией называют записанную последовательность MIDI-сообщений и временных промежутков между ними. Такая последовательность при воспроизведении повторяет оригинал, как обычная аудиозапись. MIDI-секвенция, записанная в файл, занимает очень немного места по сравнению с аудиозаписью. Для работы с MIDI-секвенциями сегодня существуют специальные программы-секвенсеры, благодаря которым редактирование стало удобным. Теперь рассмотрим, как MIDI-сообщения записываются в секвенцию. MIDI-сообщения записываются в виде двоичных последовательностей. В различных аппаратных секвенсерах реализованы разные способы записи временных промежутков. Один из них — запись в стандартные MIDI-файлы. Имена стандартных MIDI-файлов обычно имеют расширения .mid или .midi. Стандартные MIDI-файлы могут быть трех различных типов, которые называют тип О, тип 1 и тип 2. В файлах типа 0 весь поток MIDI-информации записывается последовательно. В файлах типа 1 MIDI-сообщения записываются в отдельные дорожки. Набор инструментов General MIDI (GM) Недостатком хранения музыкальной информации в виде MIDI-секвенций считается необходимость привязки к конкретному устройству. Поэтому производители решили договориться о стандартном наборе инструментов, номера которых в наборе совпадали бы. Иными словами, при замене MIDI-устройства секвенция в этом случае будет звучать приблизительно так же, так как номера MIDI-программ в этих устройствах соответствуют одинаковым тембрам. Стандартный набор состоит из 128 инструментов и называется General MIDI (GM). Например, вы работали с MIDI-секвенцией, используя встроенный синтезатор одной звуковой карты и решили заменить звуковую карту на другую, поддерживающую стандарт General MIDI. Вы уверены, что номера в сообщениях менять не придется. Для ориентации в номерах тембров General MIDI их разделили на группы по 8 штук. № 7 8 9 10 11 Стандартное английское обозначение Acoustic Piano Bright Piano Electric Grand Piano Honky Tonk Piano Electric Piano I Electric Piano II Harpsichord Clavinet Celesta Glockenspiel Music Box 12 13 14 Vibraphone Marimba Xylophone 1 2 3 4 5 6 Значение Фортепиано Концертный рояль Электрический рояль Расстроенное фортепиано Электропиано 1 Электропиано 2 Клавесин Клавинет Челеста Колокольчики Музыкальная шкатулка Вибрафон Маримба Ксилофон 15 16 17 25 Tubular Bells Dulcimer Drawbar Organ Percussive Organ Rock Organ Church Organ Reed Organ Accordion Harmonica Tango Accordion Nylon Guitar 26 Steel String 27 28 Jazz Guitar Clean Guitar 29 30 Muted Guitar Overdriven Guitar Distortion Guitar Guitar Harmonics Acoustic Bass Fingered Bass (Electric Bass) Picked Bass 18 19 20 21 22 23 24 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 Fretless Bass Slap Bass I Slap Bass II Synth Bass I Synth Bass II Violin Viola Cello Contrabass Tremolo Strings Pizzicato Strings Harp Timpani String Ensemble I String Ensemble II Synth Strings I Synth Strings II Choir Aahs Колокола (трубчатые) Цимбалы Орган Орган с ударной атакой Рок-орган Церковный орган Язычковый орган Аккордеон Губная гармошка Танго-аккордеон Гитара (нейлоновые струны) Гитара (стальные струны) Джазовая гитара Акустическая сологитара Приглушенная гитара Гитара с перемодуляцией Гитара с искажениями (эффект дисторшн) Гитарные гармоник Бас-гитара Бас-гитара (пальцевым щипком) Бас-гитара (медиатором) Безладовая бас-гитара Слэп 1 Слэп 2 Синтезаторный бас 1 Синтезаторный бас 2 Скрипка Альт Виолончель Контрабас Тремолирующие струнные Струнные пиццикато Арфа Литавры Струнные 1 Струнные 2 Синтезированные струнные 1 Синтезированные струнные 2 Хоровое а 54 55 Voice Oohs Synth Voice 56 57 58 59 60 61 62 Orchestra Hit Trumpet Trombone Tuba Muted Trumpet French Horn Brass Section 63 Synth Brass I 64 Synth Brass II Soprano Saxophone Alto Saxophone Tenor Saxophone Baritone Saxophone Oboe English Horn Bassoon Clarinet Piccolo Flute Recorder Pan Flute Blown Bottle Shakuhachi Whistle Ocarina Square Lead 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 86 Sawtooth Lead Calliope Lead Chiff Lead Charang Lead Voice Lead 87 Fifth Lead 88 89 Bass&Lead New Age Pad 90 Warm Pad 91 Polysynth Pad Choir Pad 83 84 85 92 Голосовое о Синтезированный голос Оркестровый акцент Труба Тромбон Туба Засурдиненная труба Валторна Медная духовая группа Синтезированные медные 1 Синтезированные медные 2 Сопрановый саксофон Альтовый саксофон Теноровый саксофон Баритоновый саксофон Гобой Английский рожок Фагот Кларнет Флейта пикколо Флейта Блокфлейта Флейта Пана Дуновение в бутылку Шакухачи Свист Окарина Соло-гитара (прямоугольнаяволна) Соло-гитара (пилообразная волна) Calliope-гитара Chiff-гитара Charang-гитара Соло-гитара (голосовой тембр) Соло-гитара (с квинтовым обертоном) Бас и соло-гитара Синтезаторный звук нью-эйдж Теплый синтезаторный звук Полисинтезатор Хоровой синтезаторный звук 93 Bowed Pad 94 Metallic Pad 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 Halo Pad Sweep Pad Rain Soundtrack Crystal Atmosphere Brightness Goblins Echo Sweep Sci Fi Sitar Banjo Shamisen Koto Kalimba Bagpipe Fiddle Shanai Tinkle Bell 114 115 116 117 118 119 Agogo Steel Drums Woodblock Taiko Drum Melodic Tom Synth Drum 120 Reverse Cymbal 121 Смычковый синтезаторный звук Металлический синтезаторный звук Ореол Качающийся звук Дождь Звуковая дорожка Хрусталь Атмосфера Яркость Гоблины Качающееся эхо SciFi Ситар Банджо Шамисен Кото Калимба Волынка Уличная скрипка Санаи Звенящий колокольчик Агого Стальные барабаны Коробочка (гольцтон) Таико Мелодический томтом Синтезированный барабан Реверсивная тарелка (запись в обратную сторону) Шум гитарных ладов Guitar Fret Noise 122 Breath Noise Дыхание 123 Seashore Морской берег 124 Bird Tweet Чириканье 125 Telephone Телефонный звонок Ring 126 Helicopter Вертолет 127 Applause Аплодисменты 128 Gunshot Выстрел Для наборов ударных определено значение каждой клавиши. В следующей таблице приведены стандартные для General MIDI значения клавиш в наборе ударных. № Высота 27 28 29 30 31 32 33 34 35 D#0 ЕО FO F#0 GO G#0 АО А#0 ВО Стандартное обозначение HighQ Slap Scratch Push Scratch Pull Sticks Square Click Metronome Click Metronome bell Acoustic Bass Drum Значение Высокое Q Слэп Царапанье (от себя) Царапанье (к себе) Барабанные палочки Электронный метроном Метроном Звенящий метроном Акустический большой барабан 36 37 38 С1 С#1 Dl Bass Drum 1 Side Stick Acoustic Snare 39 40 D#l El Hand Clap Electric Snare 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 Fl F#l Gl G#l Al A#l Bl C2 C#2 D2 D#2 E2 F2 54 55 56 F#2 G2 G#2 Low Floor Tom Closed High Hat High Floor Tom Pedal High Hat Low Tom Open High Hat Low-Mid Tom High-Mid Tom Crash Cymbal 1 High Tom Ride Cymbal 1 Chinese Cymbal Ride Cymbal Bell Tambourine Splash Cymbal Cowbell 57 58 59 60 61 62 A2 A#2 B2 C3 C#3 D3 63 D#3 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 E3 F3 F#3 G3 G#3 A3 A#3 B3 C4 C#4 D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4 A4 А#4 В4 С5 С#5 D5 D#5 Crash Cymbal 2 Vibraslap Ride Cymbal 2 High Bongo Low Bongo Mute High Bongo Open High Bongo Low Conga High Timbale Low Timbale High Agogo Low Agogo Cabasa Maracas Short Whistle Long Whistle Short Guiro Long Guiro Claves High Woodblock Low Woodblock Mute Cuica Open Cuica Mute Triangle Open Triangle Shaker Jingle Bells Belltree Castanets Mute Surdo Open Surdo Большой барабан Удар по ободу Акустический малый барабан Хлопок в ладоши Электрический малый барабан Низкий напольный томтом Закрытый хэт Высокий напольный томтом Хэт (педалью) Низкий томтом Открытый хэт Низкий средний томтом Высокий средний томтом Крэш-тарелка Высокий томтом Райд-тарелка Китайская тарелка Райд-тарелка (по центральной части) Бубен Сплэш-тарелка Коровий (альпийский) колокольчик Крэш-тарелка 2 Вибрирующий слэп Райд-тарелка 2 Высокий бонго Низкий бонго Закрытый высокий бонго Открытый высокий бонго Низкая конга Высокий тимбал Низкий тимбал Высокий агого Низкий агого Кабаса Маракас Короткий свисток Длинный свисток Короткое гуиро Длинное гуиро Клавес Высокая коробочка Низкая коробочка Закрытая куика Открытая куика Закрытый треугольник Открытый треугольник Шейкер Бубенцы Бунчук Кастаньеты Закрытый сурдо Открытый сурдо
