Обратн. Отнош. Для ∀ бинар. Отношений P,Q,R выполн:1)(P

Обратн. Отнош. Для ∀ бинар. Отношений
-1 -1
P,Q,R выполн:1)(P ) =P ∆ ] (x,y) ϵP,
тогда по опред-ию⇔ (y,x) ϵP-1 ⇒ (x,y)
ϵ(P-1) -1 ⇒P=(P-1) -1∆
P-1
2) (P○Q) -1=Q-1○
∆ ](x,y) ϵ(P○Q) -1⇒ (y,x) ϵ(P○Q)
⇒∃ z: (y,z)ϵP,(z,x) ϵQ⇒(x,z) ϵQ-1, (z,y) ϵ P1
⇒ (x,y) ϵ Q-1○ P-1 ⇒(P○Q) -1⊆ Q-1○ P-1
обратное-анал-но ⇒ (P○Q) -1=Q-1○ P-1 ∆
3)(P○Q) ○R=P○(Q ○R) ∆ ](x,y) ϵ(P○Q) ○R⇒
∃v:(x,v) ϵ(P○Q) ,(v,y) ϵR ⇒ ∃u: (x,u)ϵP,(u,v)ϵQ
(v,y)ϵR ⇒ (x,u)ϵP, (u,y)ϵ(Q○R)⇒(x,y)ϵ(P○Q)○R
⇒(P○Q) ○RϵP○(Q ○R). включение в обр
сторону – анал-но. (P○Q) ○R=P○(Q ○R) ∆
Св-ва функ-ий 1) if f:A↦B, g:B↦C ⇒f○g:A↦C
∆ if f:A↦B g:B↦C, f⊆AxB, g⊆BxC⇒ f○g⊆AxC
(x,y)ϵf○g , причем xϵA yϵC ∃z ϵB: (x,z)ϵf ⇒
z=f(x) . (z,y)ϵg⇒ y=g(z). подставим:
f○g(x)=y=g(x)=g(f(x)). ∆ 2)if f:A↦B idA○f=f,
f○idA=f ∆очевидно∆ 3) if f:A(на)↦B,
g:B(на)↦C ⇒f○g:A(на)↦C ∆ f○g- ∀ сϵС ∃ aϵA:
c=f○g(a) т.к по условию g-сюръект.,то для
∀сϵС ∃bϵB,такой, что c=g(b). Т.к. отобр f –
сюръект., то для ∀bϵB ∃aϵA,такой, что b=f(a).
Итак, для ∀сϵС нашелся aϵA, что c=f○g(a) ∆
4)if f,g-инъект. ⇒f○g – инъект. ∆ ] ∃ x1,x2ϵA,
yϵC,что x1
≠ x2,а (x1,y) ϵf○g (x2,y) ϵf○g ⇒
y=f○g(x1) y=f○g(x2) x1
≠ x2 f-инъект. ⇒
f(x1)≠f(x2). f(x1), f(x2) ϵB и f(x1)≠f(x2), по усл.
Теорема. A/E-разбиение мн-ва А. Если Rнеко-ое разбиение мн-ва А, то можно
задать соотв-щее ему отношение экви-ти Е
по след. Правилу: xEy x,yϵAi ∆первая часть
] E-отношение экв-тина мн-ве А, А/Е-фактор.
Т.к. Е- это отнош экв-ти, это отнош
рефлексивно ⇒ ∀xϵA xϵE(x) ⇒∀ эл-т мн-ва
A/E – не пустой и A=UE(x) xϵA. Показать, что
если E(x) ⋂E(y)= ∅,то E(x)=E(y).
] zϵE(x) ⋂E(y) ↓,
uϵE(x) ↓
zϵ E(x) и zϵ E(y)↓
(x,u) ϵE↓
(x,z) ϵE и (y,z) ϵE⇒⇒⇒ (y,u) ϵE⇒uϵE(u) ⇒
E(x) ⊆E(y) включение в обр. сторону –
аналогично E(x)=E(y). Вторая часть. ] Eотношение на мн-ве A, которое соотв-ет
разбиению R. xEy ⇔ x,yϵAi (надо показать
рефл-ть и симм-ть). Рефл-ть и симм-ть
очевидны. Транз-ть: берем xEy и yEz, тогда:
Ai= Aj. x,zϵAi ⇒xEz. Доказали транз-ть. Итого,
это отнош-ие эквивал-ти. ∆
Теорема4. Если матрица смежности гр.G, то
(i,j) элемент матр. AKG=AG*…*AG есть
число (ai,aj)-маршрутов длины k. ∆
Индукцией по k. ] k=1,для k=1, маршрут
длины 1 – дуга графа G. Теор док-на.
Обозначим A
k-i
ij= αij Aij=aij и пусть
теор. Верна для k=i. Докажем, когда k=k. Эл.
k
k-1
∑n
αisasj ⇒
A ij=(A Aij)=
⇒ предположение неверно, такого y не ∃ ⇒
f○g-инъективное ∆ 5)if f:A↔B и g:B↔C, то
f○g: A↔C ∆ следует из 3) и 4) ∆ 6) if f:A↔B ⇒
αisasj-кол-во маршрутов vi к vj длины k,
что f -1 ∃,когда f– биекция следуют из опр-ия
композиции. ∆
вершины одной доли в один цвет; а другой
доли – в другой цвет. Итак, никакие
смежные вершины не окрашены одним
цветом ⇒ X(G)=2. 2часть X(G)=2 обозн.через
M1 все вершины, окраш в один цвет. M2вершины в другой цвет. Т.к. между
вершинами, имеющ одина цвет, нет ребер,
то G – двудольный с долями M1 иM2. ∆
Теорема. В связном планарном графе
имеет место соотношение p-q+r=2:
∆Методом мат. индукции по числу ребер.
q=0 p=1 r=1 p-q+r=2 верно. ] соотношение
верно для всех графов с q ребрами. Добавим
еще ребро.1) Если добавл. ребро соедин.
существ-ие вершины, то: q`=q+1 p`=p r`=r+1
p`-q`+r`=p+q+r=2 верно. 2) если Если добавл.
ребро соедин. с новой вершиной: p`-q`+r =
p-q+r=2 верно! ∆
x,yϵAi и y,zϵAj , где Ai,AjϵR ⇒ yϵAi и yϵAj ⇒
g-инъект. ⇒ g( f(x1))≠g(f(x2))⇒ f○g(x1)≠f○g(x2)
f -1:B↔A(f○f-1=idA,f -1○f=idB) ∆Утверждение,
Теорема. Граф G- двудольный ⇔, когда
X(G)=2. ∆ ] G – двудольный граф. окрасим
s=1
где vs – предпосл. вершина маршрута. ∑–
число маршрутов длины k от vi к vj.
Теорема. Код С с min расстоянием dc
может исправлять t ошибок, если
dc≥2t+1. ∆ обозначим Bt(x) – шар, радиусом
t с центром в xϵFqn. Bt(x)={ yϵFqn|d(x,y) ≤t}
Правило декодирования в ближ. кодовое
слово гарантирует, что каждое полученное в
рез-те передачи слова, содерж. не более t
ошибок должно лежать в шаре, радуса t с
центром в переданном кодовом слове. Для
того, чтобы можно было исправить t ошибок,
шары r=t с центром в кодовых словах не
должны пересекаться. z ϵ Bt(x) z ϵ Bt(y) x,yϵC
x ≠y. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) ≤2t. По условию,
dc≥2t+1. противоречие. чтд.
Алгортм Форда Беллмана.
1шаг) задаем строку D(1)=(d(1)1 ,.., d(1)n)
M={ a1 ,.., an}. Пусть в бесконтурном G
d(1)i=0 d(1)j=ωij i≠ j. В этой строке
d(1)j,если i≠ j, есть вес дуги (ai,aj), если ∃ и
d(1)j=∞ если (ai,aj) ∉R 2шаг) строку
D(2)=(d(2)1 ,..,d(2)n)
выполняется условие: (ai,aj) i<j. Найдем ρ
от a1 до ост. вершин графа. Заполним:
D(1)=(d(1)1 ,.., d(1)n) d(1)i=0 d(1)j=ωij, j≥2
d(2)j=min{d(1)j,d(1)k+ωkj } k=1,n d(2)jминимальный из весов (ai,aj) – маршрута,
сост. из не более двух дуг. 3шаг) стоится
D(s)=(d(s) ,.., d(s) ) эл-т:
1
Алгоритм нахождения кратчайшего
пути в бесконтурном графе. ] G=<M,R>,
n
d(s)j=min{d(s-1)j, d(s-1)k+ωkj } k=1,n
D(s)=(d(s)1 ,.., d(s)n)
(s+1)
1 ,.., d
n)
пусть на шаге s:
D(s+1)=(d(s+1)
d(s+1)k=min{d(s)k,d(s)j+ωkj } k<j (ak,aj)ϵR
этот – аналог алг.Форда Беллмана.
Заканчивается на: s=n-1 d(s-1)k= ρω(a1,aj).
искомая строка взвешеного расс-ия
Теорема про вершины. ∑ степеней(degs)
получается при s=n-1, и эл-т d(n-1)j=ρω(ai,aj)
всех вершин графа равно 2*q, где q- число
ребер, n- число вершин.∑ n i=1deg(ai)=2*q
т.к. на этом шаге из весов всех (ai,aj)
маршрутов содержащих не более n-1 дуг
выбирается наименьший. А каждый маршрут
с более чем -1 дугой содержит контур,
добавление которого к маршруту не
уменьшает взвеш-ое раст-ие, т.к
предположили отсутствие контуров отр-ого
веса. Работу алгоритма можно break, if
D(k)=D(k+1).
Алгоритм Дейкстры. Этот алгоритм
используется только для взвешенного
графа, в котором веса всех дуг>0.
]G=<M,R> W=(ωkj) ωkj ≥0
ai-выделенная вершина/источ-к.
задаем строку D(1)=(d(1)1 ,.., d(1)n), где
d(1)i=0 d(1)j=ωij i≠ j T1=M\{ai} пусть на
s–шаге уже опр-на строка
D(s)=(d(s)1 ,.., d(s)n) и мн-во вершин Ts
cлед шаг: s+1. aj ϵTs такое:
d(s)j=min{d(s)k/akϵTs} и строим мн-воTs+1:
Ts+1= Ts\{ai}. D(s+1)=(d(s+1)1 ,.., d(s+1)n)
заполняется: d(s+1)k=min{d(s)k,d(s)j+ωkj }
ai ϵTs+1. d
(s+1)
(s)
(n-1)
k= d k. l=n-1 D
-строка
взвеш.расстояния между ai и ост. вершин
графа. d(n-1)j=
ρω(ai,aj).
∆ степень вершины-кол-во ребер,кот. явл.
верш. При суммировании всех степеней
получаем, что каждое ребро считается
дважды,т.к. оно инцидентно. Петли, по
определению считаются дважды. ⇒ общая
сумма=удоенному числу ребер.
∆
Теорема. Если связный граф, соедин.
k-вершин нечетной степени, то min
число, покрыв. его реберно-непересек
степеней – k/2.
∆ ] G-связ. граф, кот. соедин. k вершин
нечетн. степени.
k-четное: ∑ n i=1deg(ai) – четное
∑ k i=1deg(ai) – четное. Рассмотрим G'
получим добавлением к G нечетной
вершины a и ребер, соед. вершину a со
всеми верш. нечетной степени графа G, т.к.
степени всех верш. G’ дают все ребра,
инцидентн. a, то получится не больше k/2
цепей, содерж. все ребра графа G, т.е.
покрыв графа G. С другой стороны, граф явлся объединением r-реберно-непересек.
цепей,имеет не более 2*r вершин нечетной
степени. Поэтому G нельзя покрыть цепями,
число кот <k/3. ∆