Объем прямоугольного параллелепипеда».

Конспект урока по геометрии по теме: «Объем прямоугольного
параллелепипеда» в 11 классе.
Учитель: Порохина Л.А.
Учебник: Атанасян Л.С. Геометрия 10 – 11 классы.
М.,"Просвещение"- 2011г
Оборудование: презентация «.Объем прямоугольного
параллелепипеда» .
Тема урока: «Объем прямоугольного параллелепипеда».
Цели урока:
1. Рассмотреть теорему об объеме прямоугольного
параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием
которой является прямоугольный треугольник
2.Сформировать навык решения задач на нахождение объема
параллелепипеда.
3.Воспитывать самостоятельность суждений.
План урока.
І. Организационный момент.
ІІ. Устная работа.
ІІІ. Изучение нового материала.
ІV. Закрепление.
V. Домашняя работа
VІ. Итог урока.
Ход урока
І. Организационный момент: сообщение темы и целей урока.
ІІ. Устная фронтальная работа.
Слайд3
1.Что называют объёмом тела?
(Каждое тело имеет объем, который можно измерить с помощью
выбранной единицы. Объем – положительное число, которое
показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы
содержится в данной части)
2.Чему равен объем куба? Его десятой части?
(Vк = а3 ;
V1 = 0.001а3 )
3.В кубе с ребром 2 см проведено диагональное сечение. Чему
равен объем каждой из полученных частей?
(а = 2 см, V = 8 см3 ,
V1 = V2 = 4 см3 )
Слайд 4
4.Площадь полной поверхности куба 24 см3 . Чему равен объем
куба?
( Sn = 24 см3
, а = 2 см,
V = 8 см3)
5.Объем куба равен 8 см3 . Чему равна площадь диагонального
сечения?
(V = 8 см3 , а = 2 см, d =2 2 см, Sсеч = 4 2 см2 )
6.Объем наклонной призмы равен 27 см3 . Чему равно ребро
равновеликого ей куба?
( Vк = 27 см3 , а = 3 см)
7.Какие свойства объемов использовали при решении задач?
Слайд 5
Свойство 1
Равные тела имеют равные объемы.
Слайд 8
Свойство 2
0
2
Если тело составлено из
нескольких тел, то его объем
равен сумме объемов этих тел.
ІІІ. Изучение нового материала.
Слайд 7
Куб – частный случай прямоугольного параллелепипеда. Чему равен
объем прямоугольного параллелепипеда?
(Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех
его измерений V = авс.)
1. Теорема
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех
его измерений.
V =abc , где a, b, c – измерения прямоугольного
параллелепипеда
Слайд 8
Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению площади основания на высоту.
V = Sосн h ,
Sосн = ab , V = abc = Sосн h
Слайд 9.
.
Следствие 2 Объем прямой призмы,
основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен
произведению площади основания на
высоту.
V = SАВСh
Дано: треугольная призма,
ΔАВС - прямоугольный
Доказать:
V  S ABC  h
Достроим прямую треугольную призму до прямоугольного
параллелепипеда
V = 2 SАВС h, где SАВС – площадь ∆ АВС, h –высота призмы
Плоскость В1ВС разбивает параллелепипед на две равные прямые
призмы , одна из которых – данная. Следовательно, объем V данной
призмы равен половине объема параллелепипеда, т.е. V = SАВС h
ІV. Закрепление (Решение задач).
Слайд 10
№ 650 Самостоятельно с последующей проверкой
Дано: а = 8 см, b = 12 см, c = 18 см, Vкуба = Vпар
Найти ребро куба
Решение
V = abc ,
V = 8 ●12 ● 18 = 43 ● 33 = 123 , Vкуба = 123 , a = 12
Ответ: 12 см
Слайд 11
№ 648 (а, б)
а) a =11, b = 12, h = 15
V = Sосн h , Sосн = ab, V = abh , V = 11 ● 12 ● 15 = 1980
б) a = 3,2, b =
5, h = 10
V = abh, V = 3,2● 5● 10 = 160
Ответ: 1980; 160.
Слайд 12
Задача
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и
составляет угол в 300 с плоскостью боковой грани и угол 45 0 с
плоскостью основания.
Дано: АВСDА1 В1С1D1 - прямоугольный параллелепипед, ВD1=18 см
D1В D = 450 ,
А D1В = 300
Найти: V
Слайд 13
Решение.
V = Sосн h,
Sосн = АВ● А D
с1
D1
А1
В1
с
D
А
В
∆ ВА D1 – прямоугольный, угол D1АВ
=90° по теореме о трех
перпендикулярах. АВ = D1В sin 30° ,
А D1 = D1В cos 45° , АВ = 9 см,
АD1 = 9 √ 3 см
ΔD1DВ - прямоугольный,
равнобедренный DD1 = DВ,
DD1 = D1В sin 45°, DD1 = 9 √2 см .
Δ А DD1 - прямоугольный.
А D² = А D1² – DD1² по теореме
Пифагора, АD = 9 см
V = АВ● АD ● DD1, V = 729√2 (см³)
Ответ: 729√2 см³
№ 656
Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед
ВD = 12 см, Угол В1DВ равен 450, двугранный угол А1В1ВD равен 600
Найдите объем параллелепипеда.
Дано: АВСDА1 В1С1D1 - прямоугольный параллелепипед, ВD=12 см
В1DВ = 450 , двугранный угол А1В1ВD равен 600
Найти: V
Рещение.
с1
В1
А1
D1
с
В
А
D
1. В прямоугольном параллелепипеде грани
– прямоугольники, АС = ВD = 12см А1В1ІІ
АВ, АВ ┴ ВВ1, ВD ┴ ВВ1 → ‫ے‬АВD = 60°линейный угол двугранного угла А1В1ВD.
2. ∆ ВВ1D – прямоугольный,
равнобедренный, ‫ ے‬В1DВ =450, ВD = ВВ1
= 12см
3. ∆ АВD – прямоугольный, ВА‫ے‬D = 60° →
‫ے‬АDВ = 30° → АВ = ½ ВD = 6см,
А D = В D · sin 60°, т.е. А D = 12 
4. V = 6  6 3 12  432 3 см³
Ответ: 6  6 3 12  432 3 см³
DВ² - АD², АВ =
3
 6 3 см
2
IV.Домашнее задание
П.64 № 648( в, г), 651, 652
V. Итоги урока.
1. Какой параллелепипед называется прямоугольным?
2. Как находится площадь параллелепипеда, основанием которого
является прямоугольный треугольник?