файл Integrirovanie_racio

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
1. Правильные и неправильные дроби
Определение. Рациональной дробью называется выражение вида
, где P(x) и Q(x) - многочлены.
Определение. Рациональная дробь
называется правильной, если степень многочлена P(x) в ее
числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь
называется неправильной.
Утверждение. Всякая неправильная рациональная дробь
знаменатель приводится к виду
где
- многочлен (целая часть при делении), а
с помощью деления числителя на
- правильная рациональная дробь (остаток).
Поэтому
Так как интеграл
вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то
интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование
правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.
2. Разложение правильной дроби на простейшие дроби
Определение. Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или
элементарными) дробями:
I.
II.
III.
IV.
При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный трехчлен
дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т.е.
в
).
Утверждение. Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей
указанных четырех типов.
А именно: если знаменатель данной правильной дроби
квадратные множители
разложен на неповторяющиеся линейные и
где
- натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде
следующей суммы простейших:
Коэффициенты
в разложении находятся с помощью метода
неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Общее число этих коэффициентов
равно степени многочлена Q(x).
3. Интегрирование рациональных дробей
Интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших, а затем
интегрируем каждое слагаемое в этом разложении. Вычисляя интегралы от простейших дробей, надо
иметь в виду, что:
I. Простейшие дроби первых двух типов - почти табличные:
1.
Замечание.
2.
Замечание.
II. При интегрировании простейшей дроби третьего типа необходимо выделить полный квадрат из
выражения
и сделать соответствующую подстановку.
Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число положительное, его можно положить
равным
, если взять
Теперь прибегнем к подстановке
Таким образом, будем иметь:
или, возвращаясь к
и подставляя вместо
его значение:
Вывод. При интегрировании дробей третьего типа в общем виде получаем сумму натурального
логарифма и арктангенса.
Пример.
почленно разделив числитель на знаменатель, получаем
используем свойство интегралов (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих
функций)
далее возвращаясь к первоначальной переменной х получаем (в первом выражении сначала к
переменной t, а потом к х):
Примеры интегрирования правильных дробей, которые представляются в виде суммы простейших
дробей указанных четырех типов
1.
Подынтегральная дробь - правильная. Разложим ее на сумму простейших дробей первого типа:
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А и В, приведем дроби в правой части равенства
к общему знаменателю, откуда
т.е.
Из полученного равенства можно найти коэффициенты А и В двумя способами: с помощью метода
неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.
1. Метод неопределенных коэффициентов. Раскрываем скобки в правой части равенства (*) и
сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
Так как многочлены в обеих частях полученного равенство тождественно равны, то у них должны
быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной х. Сравнивая эти
коэффициенты, получаем систему двух уравнений:
Решая эту систему, найдем А = 5, В = 2.
2. Метод частных значений. Придадим неизвестной х в равенстве (*) частное значение х = 3.
Тогда получим
т.е.
откуда А = 5.
Подставляя теперь в уравнение (*) значение х = -2 (удобнее всего подставлять значения,
обращающие одну или несколько скобок в правой части равенства в ноль; эти значения
совпадают с действительными корнями знаменателя подынтегральной дроби), получим
откуда В = 2. Таким образом,
тогда,