Воронин - Температура

УДК 539.3
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРЫ УДАРНОГО СЖАТИЯ ПОЛИМЕРНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
С.А. Бордзиловский, М.С. Воронин, С.М. Караханов, Л.А. Мержиевский
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Новосибирск, Россия
Аннотация: Известно достаточно много моделей, описывающих ударно-волновое сжатие
полимерных материалов. Построены уравнения состояния полимерных материалов в широком
диапазоне изменения параметров, характеризующих состояние сред. В расчетах по таким
моделям уравнений состояния достаточно хорошо воспроизводятся экспериментальные данные
по эволюции кинематических параметров в процессах ударного сжатия. При этом остается
проблема расчета температуры ударного сжатия. Это осложняется и тем обстоятельством, что
экспериментальные методы измерения температуры зачастую дают не согласующиеся
результаты. Перечисленные обстоятельства делают актуальным разработку уравнений состояния
и моделей, позволяющих адекватно описывать не только кинематические, но и
термодинамические параметры ударно-волнового сжатия полимеров.
В данной работе такая модель строится на основе максвелловских представлений о механизмах
необратимых деформаций и приводятся данные об измерении яркостной температуры ряда
ударно сжатых полимеров. Проведено сравнение результатов расчета температуры за фронтом
ударной волны в полиметилметакрилате, фторопласте и эпоксидной смоле с полученными
экспериментальными данными и с расчетами по известным уравнениям состояния. Решен ряд
задач ударно-волнового деформирования полимеров. Сравнение результатов расчетов с
соответствующими экспериментальными данными показывает применимость построенной
модели для описания ударно-волновых процессов в полимерах.
Ключевые слова: полимер, модель, уравнение состояния, ударно-волновые процессы,
температура.
Temperature Calculation of Shock Compressed Polymer Materials
S.A. Bordzilovsky, M.S. Voronin, S.M. Karakhanov, L.A. Merzhievsky
Annotation: It is known much enough models that simulate shock compression of a polymers. Also
equations of state that describe the behavior of polymeric media in a wide range of parameters were
constructed in our days. When using such equations in calculations, a good agreement with experiments
is achieved to describe evolution of kinematic parameters in a shock deformation processes. However
the problem of shock temperature calculation is remain. This is complicated by the fact that the
experiments of temperature measure are often give not consistent results. Of these circumstances,
should the importance of construction methods for state equations and models that give not only the
proper kinematic, but also thermodynamic parameters of shock compressed polymers.
The construction of such a model with using of Maxwell concepts of the mechanisms of irreversible
deformation and experiment results of the brightness temperature measure for some shock
compressed polymers are presented in the paper. Comparison of calculated shock temperature with
experiment results in polymethylmethacrylate, polytetrafluoroethylene and epoxy resin is made. Also
comparison with the state equations of other authors is made. Some tasks of shock processes in
polymers are solved. All comparisons of calculations and experiments showed good agreement and
applicability of the model for such a problems.
Keywords: polymer, model, equation of state, shock wave processes, temperature.
Известно достаточно много моделей, описывающих ударно-волновое сжатие полимерных
материалов [1-4]. Построены уравнения состояния полимерных материалов в широком диапазоне
изменения параметров, характеризующих состояние сред [5-8]. В расчетах по таким моделям
уравнений состояния достаточно хорошо воспроизводятся экспериментальные данные по
эволюции кинематических параметров в процессах ударного сжатия. При этом остается проблема
расчета температуры ударного сжатия. Это осложняется и тем обстоятельством, что
экспериментальные методы измерения температуры зачастую дают не согласующиеся результаты
[9-11]. Перечисленные обстоятельства делают актуальным разработку уравнений состояния и
моделей, позволяющих адекватно описывать не только кинематические, но и термодинамические
параметры ударно-волнового сжатия полимеров.
В данной работе такая модель строится на основе максвелловских представлений о механизмах
необратимых деформаций [12]. Развиваемый подход апробирован на построении моделей
поликристаллических и полимерных материалов [13,14]. Результаты расчетов сравниваются с
экспериментальными данными.
Система дифференциальных уравнений модели в одномерном случае имеет следующий вид:
2

  (  r )    ur 
   ur     u   1  r 


 0,

  r 1 2  0
r
t
r
 t

2

2

     E  u 2  r     u  E  u 2    1u r 

0

t
r

 h2
h    1 u
d
h   3   u
d h
u 2 
  2 , 3 u 3 
 3

r
2
r
 t
r
2
r

 t

 F 
 F 
 F  F  hi , T  ,    hi , T  ,  i   
 , E  F  TS , S   

 T  hi

 hi T


(0.1)
где , u, E, S, T – плотность, скорость, удельная внутренняя энергия, энтропия и температура; hi –
логарифмы коэффициентов растяжения элемента среды вдоль главных осей; i – главные
напряжения; t, r – время и пространственная переменная; F = F(hi, T) – уравнение свободной
энергии при нешаровом тензоре деформаций;  = (hi, T) – зависимость времени релаксации
касательных напряжений от параметров состояния среды;  – показатель симметрии: =0 –
плоская, =1 – цилиндрическая, =2 – сферическая. Уравнения записаны в системе координат,
совпадающей с главными осями тензоров напряжения и деформаций (в данном случае они
совпадают).
В системе (0.1) уравнения законов сохранения дополнены уравнениями, описывающими
эволюцию компонент тензора деформаций, и замыкаются соотношением для времени
релаксации касательных напряжений и уравнением состояния в форме зависимости какого-либо
термодинамического потенциала (например, внутренней или свободной энергии) от параметров
состояния среды при нешаровом тензоре деформации.
При построении уравнения состояния используется классический подход Ми-Грюнайзена,
основной сутью которого является представление термодинамического потенциала в виде суммы
вкладов от разных составляющих:
F  Fx  Fd  Fa  Fe ,
(0.2)
где Fx – упругая (или холодная) энергия среды вдоль нулевой изотермы, т. е. при T=0 K; Fd –
девиаторная составляющая энергии; Fa – энергия теплового возбуждения атомов (или
«решетки»); Fe – энергия теплового возбуждения электронов. Хорошие результаты в описании
экспериментальных данных и реальных процессов в поликристаллических телах, полученные на
принципах данного подхода, стали основанием для его распространения и на аморфные среды.
Свободная энергия представляется как функция первого и второго инвариантов тензора
деформаций F = F(, D, T). Приведем вид составляющих энергии, использовавшихся в данной
работе.
 a m1 b n1 
m
n
Fx    V0 

  Fx 0 , из чего следует Px    a  b  Px 0 ,
 m 1 n 1 
(0.3)
где a, b, m, n – интерполяционные константы; Fx0, Px0 – постоянные, определяемые из условий
Fx(1)=0, Px(1)=0. Значения интерполяционных констант в (0.3) находятся с привлечением данных
уравнения состояния [15].
В качестве девиаторного слагаемого использована линейная зависимость от второго инварианта
тензора деформаций. Коэффициентом пропорциональности служит аппроксимация поперечной
скорости звука (или модуля сдвига):
(0.4)
Fd  , D   2c2 0 D
где с – поперечная скорость звука; 0 – интерполяционная константа.
Выбор выражения для вклада от теплового возбуждения атомов и молекул основывается на
классических представлениях с учетом особенностей колебательного спектра полимеров [6, 16].
Для увеличения скорости расчетов не делалось точного учета по всем возможным степеням
свободы от вкладов оптической ветви колебательного спектра. Вместо этого для всех
рассматриваемых полимеров в Fa оставлено три слагаемых, одно из которых описывает вклады
акустической части спектра и сумма из двух, описывающая вклады от оптической части спектра.
При этом удалось с хорошей точностью описать изохорную теплоемкость в соответствии с
моделью, описанной в [16], и доступными экспериментальными данными.

3

Fa  , T   R T  N i ln 1  e  xi , xi 
i 1
i   

,  i   0 i 0 i ,
T
(0.5)
из чего следует
3
Ea  , T   Rm 
i 1
3
N ii
 3
t
t 

E
,
P

,
T






i
a
0    0i Ei 
xi
e  1 i 1
 i 1

(0.6)
3
3
Ni xi2
 x

S  , T   Rm  N i  xi i  ln 1  e  xi  , cV  , T   R 
.
2
x
 e 1

i 1
i 1 e i  1




(0.7)
В (0.6) и (0.7) R – универсальная газовая постоянная, делённая на молярную массу, 0i –
характеристические температуры, определяемые экспериментально, 0i – имеют смысл аналогов
коэффициента Грюнайзена для соответствующих колебательных мод, Ni – интерполяционные
константы, удовлетворяющие условию Ni=N, где N – полное число колебательных мод.
В качестве слагаемого, описывающего вклад в энергию от теплового возбуждения электронов,
использована функция по виду аналогичная слагаемому из суммы в (0.5):


Fa  , T   TN e ln 1  e  xe , xe 
e  

, e  0 e 0 e ,
T
(0.8)
где Ne, 0e, 0e – интерполяционные константы, определяемые по данным температуры за
фронтом мощных ударных волн, если таковые имеются. Такой подход, в отличие от
традиционного, когда электронная теплоемкость является линейной функцией температуры,
позволяет лучше описать изохорную теплоемкость при невысоких температурах.
При построении функциональной зависимости для времени релаксации касательных напряжений
(далее ВРКН) исходили из того, что в полимерах возможен широкий ряд релаксационных
процессов, в основе которых лежит термофлуктуационная молекулярная подвижность [17]. В
качестве ВРКН одного релаксационного процесса выбирается формула Больцмана-Аррениуса. В
зависимость энергии активации этой формулы добавлены слагаемые учитывающие изменение
напряжений и температуры среды. В итоге при наличии нескольких релаксационных процессов
формула ВРКН выглядит следующим образом:
U i  U i 0   i 0ˆ   i1    T  T0 ni


Ui
 ˆ , T    i   i 0 exp
RT
i
i

(0.9)
где Ui0 – энергия активации в начальном недеформированном состоянии, i0 – активационный
объем, i1 – коэффициент упрочнения/разупрочнения, i0 – среднее время жизни кинетической
единицы в равновесном состоянии, до перехода в новое равновесное состояние, ̂ –
интенсивность касательных напряжений,  – скорость деформации.
Для определения параметров ВРКН (0.9) в рамках сформулированной модели решается задача о
деформировании тонкого стержня, решением которой являются - диаграммы
деформирования. Часть параметров косвенно рассчитывают по определенным
экспериментальным методикам (например, Ui0 или i0) и их значения можно найти в литературе
[17, 18]. Остальные выбираются из наилучшего совпадения расчетных и экспериментальных
диаграмм.
На рис. 1 показаны результаты расчетов диаграмм деформирования ПММА [19] при комнатной
температуре и скоростях деформации: 1 – 10-3, 2 – 0.3, 3 – 800 с-1. На рис. 2 показаны результаты
расчетов диаграмм деформирования эпоксидной смолы RTM-6 [1].
На рис. 3 показан расчет по построенному уравнению ударной адиабаты ПММА в координатах D
– волновая скорость, U – массовая скорость. На рис. 4 показаны результаты расчетов по
уравнению состояния ударной адиабаты и трех изэнтроп разгрузки ПТФЭ в координатах P –
давление, U – массовая скорость. Ссылки на экспериментальные данные, приведенные на этих
рисунках можно найти на сайте [15].
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
В экспериментах измерялась яркостная температура ударно сжатых полиметилметакрилата
(ПММА), фторопласта (ПТФЭ) и эпоксидной смолы EC141 NF. Схема постановки экспериментов
показана на рис. 5.
Ударные волны (УВ) в мишенях (пластинах толщиной 5÷10 мм) из исследуемого материала
генерировались ударниками из Д16Т толщиной 3÷6 мм, разогнанными продуктами взрыва до
скорости 3.7÷6 км/с, через экран из Д16Т толщиной 3÷5 мм. Для измерения яркостной
температуры проводилось сравнение спектральных светимостей эталонного источника и ударносжатого образца при идентичной геометрии оптической схемы, одинаковой чувствительности
фотокатода и усилении фотоумножителя (ФЭУ). Тепловое излучение падало на торцы пучка
световодов, располагавшихся на расстоянии 50 мм от поверхности образца, и по световодам
длиной 10 м передавалось из взрывной камеры к фотоумножителям.
Рис. 5
Рис. 6
На рис. 6 показаны расчеты и экспериментальные измерения температуры за фронтом ударной
волны в ПММА: 1 – расчет по УрС данной работы, 2 – расчет по УрС [8], 3 – расчет по УрС [7], 4 –
[9], 5 – результаты данной работы, 6 – [10].
Рис. 7
Рис. 8
На рис. 7 показаны расчеты и экспериментальные измерения температуры за фронтом ударной
волны в эпоксидной смоле: 1 – расчет по УрС данной работы, 2 – расчет по УрС [11], 3 – оценка,
сделанная в [20], 4 – результаты данной работы.
На рис. 8 показаны расчеты и экспериментальные измерения температуры за фронтом ударной
волны в ПТФЭ: 1 – расчет по УрС данной работы, 2 – расчет по УрС [6], 3 – расчет при постоянной
теплоемкости cV = 18RT (cV при высоких температурах), 4 – расчет при постоянной теплоемкости
cV = 0.65∙18RT (cV при комнатной температуре), 5 – результат данной работы.
Рис. 9
Рис. 10
Для демонстрации возможностей модели описания также и кинематических величин на рис. 9, 10
показано сравнение результатов расчетов (линии) с экспериментами (символы) [21, 22]. В первом
случае (рис. 9) производился удар двухслойной пластины из дюралюминия (4.8 мм) и титана (2
мм) со скоростью 3.5 км/с по дюралюминиевому экрану (4 мм), за которым находилась мишень.
Во втором случае (рис. 10) ударником была пластина из дюралюминия (8 мм). Мишень
набиралась из отдельных пластин, между которыми находились 4 манганиновых датчика
давления.
Результаты данной работы говорят о применимости построенной модели для расчета параметров
ударно-волнового деформирования полимерных сред, включая температуру ударного сжатия .
Библиографический список
1. Gerlach R., Siviour C. R., Petrinic N., Wiegand J. Experimental characterisation and constitutive modelling of RTM-6 resin under impact
loading // Polymer, 2008, V. 49, p. 2728–2737.
2. Chen W., Zhou B. Constitutive Behavior of Epon 828/T-403 at Various Strain Rates // Mechanics of Time-Dependent Materials, 1998, Vol. 2,
p. 103–111.
3. Schuler K.W. Propagation of steady shock waves in polymethil methacrylate. // J. Mech. Phys. Solids, 1970, v. 18, p. 277 – 293.
4. Menikoff R. Constitutive model for polymethyl methacrylate at high pressure. // J. Appl. Phys., 2004, v.96, N 12, p. 7696 – 7704.
5. Бушман А.В., Фортов В.Е. Модели уравнения состояния вещества. // УФН, 1983, т. 140, в. 2, с. 177 – 232.
6. Morris C.E., Fritz J.N., McQueen R.G. The equation of state of polytetrafluoroethylene to 80 GPa. // J. Chem. Phys., 80(10), May 1984.
7. Гударенко Л.Ф., Жерноклетов М.В., Киршанов С.И., Ковалев А.Е. и др. Экспериментальные исследования свойств ударно-сжатого
карбогала. Уравнения состояния карбогала и оргстекла // ФГВ, 2004, Т.40, №3, с.104-116.
8. Хищенко К.В. Температура и теплоемкость полиметилметакрилата за фронтом сильных ударных волн // Теплофизика высоких
температур, 1997, Т.35, №6, с. 1002-1005.
9. Кормер С. Б. Оптические исследования свойств ударно сжатых конденсированных диэлектриков // УФН. 1968. Т. 94, вып. 4. С. 641687.
10. Rosenberg Z., Parton Y. Direct measurement of temperature in shock-loaded polymethylmethacrylate with very thin copper thermistors //
J. Appl. Phys., 56(7), October 1984, p.1921-1926.
11. Бордзиловский С.А., Караханов С.М., Хищенко К.В. Измерение яркостной температуры эпоксидной смолы при ударном сжатии //
ФГВ, № 1, т. 49, 2013, c.138-142.
12. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды, М.: Наука, 1978. 304 с.
13. Мержиевский Л.А., Реснянский А.Д. Численное моделирование ударно-волновых процессов в металлах. //ФГВ, 1984, Т.20, №5,
с.114 - 122.
14. Мержиевский Л.А., М.С. Воронин. Моделирование ударно-волнового деформирования полиметилметакрилата. // ФГВ, 2012, Т. 48,
№2, с.113-123.
15. http://www.ficp.ac.ru/rusbank/.
16. Wunderlich B. Thermal Analysis of Polymeric Materials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005.
17. Бартенев Г.М., Бартенева А.Г. Релаксационные свойства полимеров. М.: Химия, 1992, 384 с.
18. Берштейн В.А., Егоров В.М., Емельянов Ю.А. Взаимосвязь основных релаксационных переходов в полимерах //
Высокомолекулярные соединения, Т. (А) XXVII, №11, 1985, с. 2451 – 2456.
19. Mulliken A.D., Boyce M.C. Mechanics of the rate-dependent elastic–plastic deformation of glassy polymers from low to high strain rates //
International Journal of Solids and Structures. 2006. V.43. P. 1331–1356.
20. Krupnikov K.K. and Krupnikova V.P. Equations of State and Matter Transformation Parameters Under Shock Compression for Epoxy Resin.
Shock Waves @ Marseille III, SpringerVerlag. Berlin. 1995.
21. Бордзиловский С.А., Караханов С.М. Распространение импульса напряжения по ударно-сжатому фторопласту // ФГВ, 1992, №3,
с.118 - 119.
22. Караханов С.М., Бордзиловский С.А. Динамическое поведение политетрафторэтилена в волнах сжатия и разгрузки // ФГВ, 2000,
Т.36, №5, с.109 - 118.