Прогрессии

Конспект урока по теме:"Прогрессии"
ЦЕЛЬ УРОКА:ОБОБЩИТЬ И СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ЗНАНИЯ ПО
ТЕМЕ"ПРОГРЕСИИ";ОЗНАКОМИТЬ УЧАЩИХСЯ СО СВОЙСТВАМИ ПРОГРЕССИЙ,РАЗВИВАТЬ УМЕНИЕ
ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ФОРМУЛАМИ,НАХОДИТЬ НЕИЗВЕСТНЫЕ ЧЛЕНЫ ПРОГРЕССИИ.
Ход урока
Над доской плакат с лозунгом "ПРОГРЕССИЯ-ВПЕРЕД".
I.Устная работа. На интерактивной доске задачи.
1)Дано: : (ап)-арифметическая прогрессия;
а1=5; d=3
Найти: а6; а10.
Решение:
ап=а1+d(п+1)
а6=а1+5d=5+5•3=20;
а10=а1+9d=5+9•3=32.
Ответ:20; 32.
2) Дано: (вп)-геометрическая прогрессия
в1=5; g=3
Найти:в3; в5.
Решение:
в3=в1•g2=5х32=5•9=45;
в5=в1•g4=5•34=5•81=405.
Ответ:45; 405.
3) Дано: (ап)-арифметическая прогрессия;
а4=11, d=2?
Найти:а1.
Решение:
ап=а1+(п-1)d;
а1=а4-d(п-1)=11-3•2=5;
Ответ:5.
4) Дано: (вп)-геометрическая прогрессия;
в4=40, g=2;
Найти: в1.
Решение:
вп=в1•gп-1;
в1=в4:g3=40:23=40:8=5
Ответ:5.
II.Новый материал.
1.Для арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии
(кроме первого и последнего ) равен среднему арифметическому
предшествующего и последующего членов.
Верно и обратное: если последовательность (ап) такова ,что для любого п >1
выполняется равенство
ап= (ап-1+ап+1)/2,
то (ап)-арифметическая прогрессия.
Задача. Дано: (ап)-арифметическая прогрессия,
а4=12,5; а6=17,5,
Найти: а5.
Решение:
а5=(а4+а6)/2=(12,5+17,5):2=15
Ответ:15.
2. Для геометрической прогрессии : квадрат каждого члена геометрической
прогрессии (кроме первого и последнего) равен произведению
предшествующего и последующего.
Верно и обратное: если последовательность (в п) такова, что для любого
п>1выполняется равенство
вп=вп-1вп+1,
то (вп)- геометрическая прогрессия.
Задача. Дано:(вп)-геометрическая прогрессия,
в4=6, в6=24,вп>0
Найти:в5.
Решение:
в52=в4в6; в52=6•24=144, в5=12.
Ответ:12.
III. Самостоятельная работа.
Вариант 1.
1.Дана (ап)-арифметическая прогрессия. Найти d, если S3=210, a1=2.
2.№ 521б
3. №518б.
Вариант 2.
1. Дана(ап)-арифметическая прогрессия.
Найти d, если S3=270, a1=-5.
2.№521г,
3.№518г.
IV. Решение задач. Решите на доске и в тетрадях №522а.
1
Решение:х4;х3;х2;х;1 -геометрическая прогрессия со знаменателем g = .
𝑥
1
S5=
𝑥 4 ( 5 −1)
𝑥
1
−1
𝑥
=
1− 𝑥 5
𝑥
÷
1−𝑥
𝑥
=
1−𝑥 5
1−𝑥
=
𝑥 5 −1
𝑥−1
,
(x-1)(𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1) = (𝑥 − 1) •
𝑥 5 −1
𝑥−1
= 𝑥 5 − 1,
𝑥 5 − 1= 𝑥 5 − 1. Тождественно доказано.
5. Решить задачу № 524 на доске, учащийся один выходит к доске, по
указанию учителя, остальные работают в тетрадях.
№524.
1,2,4,8 - геометрическая прогрессия
q= 2, n = 72,
S72=
1∙(272 −1)
2−1
= 272 − 1.
 № 493(а)
Дано : (bn) - геометрическая прогрессия
1
b1= 128; q = - .
2
Найти: b4.
Решение:
1
b4= b1•q3; b4= 128•(- )3= b4=-16
2
Ответ: b4=-16.
 № 447(б)
а14+а16 = -20,
а1+13d+a1+15d = -20,
a29+a31= 40,
a1+28d+a1+30d = 40,
2𝑎 + 28𝑑 = −20,
{ 1
2𝑎1 + 58𝑑 = 40;
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
30d= 60;
d= 2, => 2a1 = - 76, a1 = -38.
a15+a30 = a1+ 14d +a1+ 29d=2a1+43d,
Подставляя a1= - 31 и d = 2, получаем:
a15+a30 = 2• (-38) + 43•2 = - 76 + 86 =10.
Ответ: 10.
 № 470
Дано: 30; 35; 40;...
a1 = 30; d = 5;
Sn=525 см.
Найти: t
Решение:
Sn=
2𝑎1 +𝑑(𝑛−1)
2
∙ 𝑛,
1050 = 60n+5(n-1);
5n2+55n-1050 = 0,
n2+11n - 210 = 0,
n1 = 10; n2 = - 21 -21∈N,
Ответ: через 10 секунд.
V. Итог урока:
1) Заполнить таблицу
(на доске таблица)
N n/n
Прогрессии
Арифметическая
прогрессия
÷ (аn)
Геометрическая
Прогрессия
(вп)
1
2
3
4
Учащиеся по очереди выходят к доске и заполняют таблицу.
2. Какая из последовательностей является прогрессией, укажите -какой,
найдите разность или знаменатель прогрессий.
(На интерактивной доске)
1) 2;5; 8; 11; 14; 17;...
2) 3; 9; 27; 81; 243;...
3) 1; 6; 11; 20; 25;...
4)-4; -8; -16; -32;...
5) 5; 25; 35; 45; 55;...
6) -2; -4; -6; -8; -10;...
Объявить оценки ребятам за работу на уроке .
VI .Домашнее задание : Выполнить тест (каждому учащемуся раздается
задание).