Преобразование произведения в сумму (разность) Имеют место следующие тождества: 1 sin 𝛼 cos 𝛽 = (sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)) 2 1 sin 𝛼 sin 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)) 2 1 cos 𝛼 cos 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)) 2 Доказательство: рассмотрим формулы сложения для синуса: sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽, sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽. Сложив левые и правые части тождеств, получим sin(𝛼 − 𝛽) + 1 sin(𝛼 + 𝛽) = 2sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽, откуда следует sin 𝛼 cos 𝛽 = (sin(𝛼 − 2 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)). Аналогично из формул сложения для косинусов: cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 получим cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽) = 2cos 𝛼 cos 𝛽 1 откуда следует cos 𝛼 cos 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)) 2 и cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽) = 2sin 𝛼 sin 𝛽 1 откуда следует sin 𝛼 sin 𝛽 = (cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)) 2 Преобразование суммы (разности) в произведение Имеют место следующие тождества: sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin 𝛼+𝛽 2 𝛼−𝛽 cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos 2 cos cos 𝛼−𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin 2 2 𝛼+𝛽 cos 𝛼−𝛽 2 𝛼−𝛽 2 𝛼+𝛽 sin 2 𝛼+𝛽 2 Доказательство: Из формул сложения для синуса и косинуса, складывая или вычитая соответствующие их части, получаем тождества: sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦) = 2 sin 𝑥 cos 𝑦 sin(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 − 𝑦) = 2 cos 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦) = 2 cos 𝑥 cos 𝑦 cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦) = −2 sin 𝑥 sin 𝑦 Обозначив 𝑥 + 𝑦 = 𝛼, 𝑥 − 𝑦 = 𝛽, получим исходные тождества. Имеют место следующие тождества: tg 𝛼 + tg 𝛽 = tg 𝛼 − tg 𝛽 = sin(𝛼+𝛽) cos 𝛼 cos 𝛽 sin(𝛼−𝛽) cos 𝛼 + , 𝛼, 𝛽 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 2 sin(𝛼+𝛽) sin 𝛼 sin 𝛽 ctg 𝛼 − ctg 𝛽 = − sin 𝛼 2 𝜋 cos 𝛼 cos 𝛽 ctg 𝛼 + ctg 𝛽 = Доказательство: tg 𝛼 + tg 𝛽 = 𝜋 , 𝛼, 𝛽 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 , 𝛼, 𝛽 ≠ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 sin(𝛼−𝛽) sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛽 cos 𝛽 = , 𝛼, 𝛽 ≠ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 sin 𝛼 cos 𝛽+sin 𝛽 cos 𝛼 cos 𝛼 cos 𝛽 sin(𝛼+𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 . Остальные тождества доказываются аналогично. Примеры решения задач Пример 1. Преобразовать произведение в сумму 1+sinx. 𝜋 𝜋 +𝑥 2 2 2 Решение. 1+sinx=sin + sin 𝑥=2 sin cos 𝜋 −𝑥 2 2 𝜋 𝑥 4 2 𝜋 4 π 𝑥 4 𝑥 2 π 𝑥 2 4 2 =2 sin( + ) cos( − ) Ответ: 2 sin( + ) cos( − ) Пример 2. Найти значение выражения sin200+sin400. Решение. sin200+sin400=2 sin 200 +400 2 cos 200 −400 2 =2sin300cos( - 100)=cos100 Ответ: cos100 Пример 3. Решить уравнение 2sin7xcos3x – sin10x=0. 1 Решение. 2sin7xcos3x – sin10x=2 (sin10x+sin4x) – sin10x=sin10x+sin4x – 2 𝜋𝑘 sin10x=sin4x. Следовательно, sin4x=0. 4x=k, kZ; x= , kZ. 4 Ответ: 𝜋 2𝜋 7 7 Пример 4 . Преобразовать выражение sin + sin + sin 3𝜋 7 𝜋𝑘 4 , kZ . 𝜋 Решение. Умножим выражение на 2sin : 14 2 sin 𝜋 14 𝜋 = cos 14 𝜋 = cos 𝜋 2𝜋 7 7 (sin + sin 14 − cos 3𝜋 14 𝜋 + cos − cos = cos 2 + sin 3𝜋 14 𝜋 14 3𝜋 7 ) = 2 sin − cos 5𝜋 14 𝜋 + cos 𝜋 𝜋 7 14 sin + 2 sin 14 5𝜋 14 − cos 7𝜋 14 sin =cos 𝜋 14 2𝜋 7 + 2 sin − cos 7𝜋 14 = 𝜋 − 0 = cos . 14 Полученное выражение разделим на 2sin 𝜋 14 1 𝜋 2 14 и получим tg . 𝜋 14 sin 3𝜋 7 = 1 Пример 5. Найти значение выражения sin6x+cos6x, если cos4x= . 3 Решение. sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3 = (sin2x+cos2x)3 – 3 3 1−cos 4𝑥 3 - 3sin2xcos2x(sin2x+cos2x) = 1 – 3sin2xcos2x = 1- sin22x = 1 - = . 4 4 2 4 Ответ: 3 4 Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения sin x+cos4x. 4 Решение. sin4x+cos4x = (sin2x)2+(cos2x)2 = ( 1+cos2 2𝑥 2 1−cos 2𝑥 2 ) 2 +( 1+cos 2𝑥 2 ) 2 = . Так как наибольшим и наименьшим значениями выражения cos 2 2𝑥 являются числа 0 и 1, то соответственно наибольшим и наименьшими значениями выражения 1+cos2 2𝑥 будут числа 1 и 0,5. 2 Ответ: наибольшее 1; наименьшее 0,5 𝜋 Пример 7. Найти значение выражения cos cos 7 𝜋 Решение. Умножим выражение на 23sin 𝜋 𝜋 7 2𝜋 7 7 7 числу множителей выражения): 23 sin cos cos = 2 sin 4𝜋 7 cos 4𝜋 7 = sin 8𝜋 7 𝜋 2𝜋 7 cos 4𝜋 7 . (показатель степени равен cos 4𝜋 7 = 22 sin 2𝜋 7 cos 2𝜋 7 cos 4𝜋 7 = −sin ; 7 𝜋 1 7 8 Разделим полученное выражение на 23sin и получим − . Ответ: − Пример 8. Вычислить sin 1 8 3 sin . 10 10 Решение. Для вычисления значения исходного выражения достаточно осуществить следующую цепочку преобразований: 2 2 2 3 2 2 sin 10 cos 10 cos 10 sin 10 cos 10 sin sin = 2 sin cos = = = 10 10 10 10 cos cos 10 10 2 sin = 2 2 4 cos sin sin( ) cos 1 1 1 10 10 = 10 = 2 10 = 10 = 1 2 2 2 2 2 cos cos cos cos 10 10 10 10 Ответ: 1 2 Упражнения 1. Представьте в виде суммы выражение: 1) cos 450 cos 150 2) sin(−350 ) sin 650 3) 2cos(−100 ) cos 800 4) sin 200 sin 100 5) sin 500 cos 200 6) cos 200 cos 100 7) 2sin 150 cos 100 8) 2cos 220 cos(−230 ) 9) sin 350 sin(−250 ) 10) sin 50 cos 850 2. Представьте в виде суммы выражение: 1) sin 4𝛼 cos 2𝛼 4) sin 𝜋 24 2) cos( 5𝜋 cos 𝜋 12 + 𝛼) cos( 𝜋 𝜋 5 8 5) sin sin 24 𝜋 𝜋 4 4 7) 2sin( − 𝛼) sin( + 𝛼) 8) cos 𝜋 10 cos 𝜋 12 𝜋 𝜋 8 8 − 𝛼) 3) cos( + 𝛼) cos( − 𝛼) 6) cos( 𝜋 9) sin 5 𝜋 12 𝜋 10 − 𝛼) sin( cos 10) sin 50 cos 850 3. Представьте в виде произведения выражение: 1) sin 400 + sin 800 2) cos 500 + cos 200 3) cos 150 − cos 250 4) sin 200 + cos 800 5) sin 400 − cos 250 7) sin 780 − sin 420 8) cos 480 − cos 120 9) sin 750 + sin 150 6) sin 800 − sin 400 10) cos 1520 + cos 280 4. Представьте в виде произведения выражение: 1) sin (𝛼 − 2𝜋 ) − sin(𝛼 + 3 𝜋 11𝜋 9 18 3) cos(4𝛼 − ) − cos( 𝜋 2𝜋 3 ) − 4𝛼) 𝜋 5) sin (𝛼 − ) + sin(𝛼 + ) 6 6 7) cos(3𝛼 − 9) ctg ( 3𝜋 4 𝜋 16 ) − cos( − 𝛼) + ctg( 𝜋 16 3𝜋 4 − 3𝛼) + 𝛼) 5𝜋 2) tg ( 4 − 𝛼) + tg( 5𝜋 4 𝜋 𝜋 3 3 + 𝛼) 4) ctg ( + 𝛼) − ctg( − 𝛼) 𝜋 𝜋 6) cos (𝛼 + ) + cos(𝛼 − ) 4 4 8) sin (2𝛼 − 𝜋 ) − sin(2𝛼 + 10 𝜋 𝜋 4 4 10) tg ( + 𝛼) − tg( − 𝛼) 3𝜋 5 ) 𝜋 8 𝜋 12 + 𝛼) 5. Найдите значение выражения: 1) 5) 9) sin 350 +sin 850 2) cos 250 sin 370 −sin 530 6) 1−2 cos2 410 sin 150 −sin 750 sin 650 +sin 150 sin 650 −sin 150 cos 500 −cos 700 10) cos 150 +cos 750 3) 1−2 sin2 400 7) cos 890 +cos 10 sin 890 +sin 10 cos 240 −cos 840 sin 54 0 4) 8) sin 650 +sin 150 sin 650 −sin 150 sin 540 −sin 180 sin 54 0 +sin 180 sin 430 +sin 170 2cos 130 +3 sin 770 6. Упростите выражение: 1) cos 𝛼 + cos 2𝛼 + cos 3𝛼 + cos 4𝛼 2) sin 𝛼 + sin 3𝛼 + sin 5𝛼 + sin 7𝛼 cos 2𝛼 + cos 14𝛼 + cos 6𝛼 + 3) cos 60 + cos 120 + sin 180 + cos 240 + 4) 0 cos 10𝛼 cos 30 5) sin 100 + sin 200 + sin 300 + 6) sin 𝜋 + sin 2𝜋 + sin 3𝜋 17 17 17 sin 400 + sin 500 sin 4𝛼 + sin 10𝛼 + sin 22𝛼 + 7) sin 120 + sin 240 + sin 360 + 8) 0 0 sin 16𝛼 sin 48 + sin 60 9) cos 200 + cos 400 + sin 100 + 10) cos 2𝜋 + cos 4𝜋 + cos 6𝜋 31 31 31 cos 800 + cos 1000 7. Представьте в виде произведения или частного выражение: 1) sin 4𝛼 − 1 6) cos 𝛼 + 1 2 1 2) tg 3𝛼 + 1 3) sin 6𝛼 + 7) 1 + sin 4𝛼 8) √3 − 2 sin 𝛼 9) √3 − sin 2𝛼 4) √3 + tg 𝛼 2 5) cos 𝛼 − 10) 2cos 𝛼 − √3 2 8. Представьте в виде произведения или частного выражение: 1) − sin2 𝛼 2) 1 − 2 sin2 220 5) 3 − tg 2 𝛼 6) tg 2 𝛼 − 9) cos 2 𝛼 − 0,25 10) 1 − 2 cos 2 380 3 4 1 3 3) sin2 𝛼 − 0,25 4) 2 sin2 480 − 1 7) 0,75 − cos 2 𝛼 8) 2 cos 2 180 − 1 9. Докажите тождество: 1) ctg𝛼 + ctg𝛽 = 3) 5) sin 𝛼+sin 𝛽 cos 𝛼+cos 𝛽 cos 𝛼−sin 𝛼 cos 𝛼+sin 𝛼 = tg sin(𝛼+𝛽) sin 𝛼 sin 𝛽 𝛼+𝛽 2) cos 𝛼+sin 𝛼 cos 𝛼−sin 𝛼 𝜋 = tg( + 𝛼) 4 4) cos 2 𝛽 − cos 2 𝛼 = sin(𝛼 + 𝛽) sin(𝛼 − 𝛽) 2 𝜋 = tg( − 𝛼) 4 √2 2 6) sin2 𝛼 − cos 2 𝛽 = −cos(𝛼 + 𝛽) cos(𝛼 − 𝛽) 7) 9) sin 𝛼+sin 5𝛼 cos 𝛼+cos 5𝛼 = tg 3𝛼 tg (𝛼+𝛽)−tg𝛼−tg𝛽 tg𝛼tg(𝛼+𝛽) 8) sin 𝛼+sin 𝛽 sin 𝛼 cos 𝛽+cos 𝛼 sin 𝛽 10) ctg𝛼 − ctg𝛽 = = tg𝛽 = 𝛼−𝛽 2 𝛼+𝛽 cos 2 cos sin(𝛽−𝛼) sin 𝛼 sin 𝛽 10. Решите уравнение: 1) tg 3𝑥 + tg4𝑥 = 0 2) 2 sin 5𝑥cos 7𝑥 + sin(𝜋 − 2𝑥) = 0 3) 2 sin 8𝑥 sin 3𝑥 − cos 5𝑥 = 0 4) cos 3𝑥 + sin 5𝑥 = sin 4𝑥 5) tg 5𝑥 − tg4𝑥 = 0 6) 2 sin 4𝑥 sin 6𝑥 + cos 10𝑥 = 0 7) tgx+tg2x=tg3x 8) 2 cos 4𝑥 cos 6𝑥 − sin ( + 2𝑥) = 0 𝜋 2 9) cos 𝑥 − cos 2𝑥 = sin 3𝑥 10) cos 6𝑥 − cos 8𝑥 = 1 − cos 2𝑥 Дополнительные задания 1. Упростите выражение: 𝜋 2𝜋 5 5 1) cos cos cos 4𝜋 5 cos 8𝜋 5 2) cos 𝜋 15 cos 2𝜋 15 cos 4𝜋 15 cos 8𝜋 15 3) cos100cos200cos400cos800 4) 8cos200cos400cos600cos800 5) 8sin100sin300sin500sin700 6) 8sin850sin800sin700sin300 7) sin2700sin2500sin2100 8) 8 cos 10 cos 20 cos 40 cos 80 9) 4 sin 250 cos 150 sin 50 10) sin2180sin2540sin2720 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения: 1) 4sin2α+5cos2α 2) 2sin2α+3cos2α 3) 4sin2α+cos2α 4) sin2α+2cos2α 5) 6) 7) 8) 9) 10) 3. Докажите тождество: 4 4 2 2 1 1) cos 8 𝛼 − sin8 𝛼 = cos 2𝛼(3 + 2) cos 𝛼 −sin 𝛼 = cos 𝛼 − sin 𝛼 4 cos 4𝛼) 1 3) cos 6 𝛼 + sin6 𝛼 = (5 + 3 cos 4𝛼) 8 4) 2 sin 6 cos 6 sin 10 ctg11 2 2 sin 6 cos10 1 5) cos2 ( 7 9 4 2 ) cos 2 ( 2 ) sin 8 8 2 15 17 cos 4 2 ) cos 2 ( 2 ) 8 8 2 6) sin 2 ( sin 2 3 cos 5 1 11 7) tg 2 sin 3 cos 3 sin 5 2 8) 9) ctg 2 𝛼 − cos 2 𝛼 = ctg 2 𝛼 cos 2 𝛼 sin 5 2 cos 2 sin 2 9 tg 2 2 cos2 2 cos 5 1 2 cos2 4 cos10 1 10) ctg9 sin 10 2 cos 4 sin n 4 4. Преобразуйте выражение: 1) 1 + 2 cos 2𝑥 2) √2 sin 2𝑥 − 1 3) 1 − 2 sin 2𝑥 4) √3tg 𝑥 − 1 5) 1 + √2 cos 𝑥 6) 3 − tg 2 𝑥 7) 1 − √2 sin 3𝑥 8) 1 − 4 sin2 𝑥 9) √3 + 2 cos 6𝑥 10) 3 − 4 cos 2 𝑥 5. Найдите значение выражения: 1) 2 cos 2𝑥 (ctg 2 𝑥 − tg 2 𝑥), если sin 𝑥 + cos 𝑥 = 3) cos 4𝑥 tg 4𝑥, если sin 𝑥 + cos 𝑥 = 5) cos 2𝑥 tg 𝑥−ctg 𝑥 , если sin 𝑥 − cos 𝑥 = 1 7) cos 4 𝛼 + sin4 𝛼, если sin 2𝛼 = 9) 1−2 sin2 1+sin 𝑥 𝑥 2 . √2 2 3 𝑥 , если tg = 3 2 √2 2 1 3 4) sin 𝑥 + cos 𝑥, если 𝑡𝑔 10) 2 3+4 cos 2𝑥 3) sin 240 + sin 160 + sin 400 4) cos 𝑥 + cos 2𝑥 + cos 3𝑥 + cos 4𝑥 2 2 + cos 𝑥 2 =3 6) sin 230 + sin 570 + sin 400 𝑥+𝑦 7) cos(𝑥 + 𝑦) + cos (𝑥 − 𝑦) + cos 𝑥 8) sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin 9) sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 10) cos 2𝑥 − sin 𝑥 − sin 5𝑥 2 7. Представьте в виде произведения или отношения произведений: 1) 1 + sin 𝑥 + cos 𝑥 2) 1 − sin 𝑥 − cos 𝑥 3) sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin(𝑥 + 𝑦) 4) 1 − cos 𝑥 + sin 𝑥 𝑥 2 = , если tg 𝑥 = 0,3 2) sin 𝑥 + cos 2𝑥 − sin 3𝑥 3𝑥 𝑥 8) sin4 𝑥 − cos 4 𝑥, если tg 1) sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 + sin 4𝑥 𝑥 2 6) sin 4𝑥, если ctg 𝑥 = 2 6. Представьте в виде произведения или отношения произведений: 5) sin − sin 1 2) cos 𝑥, если sin 𝑥tg 𝑥 = 1 2 5) 1 + sin 𝑥 + cos 𝑥 + tg 𝑥 6) tg 𝑥 + tg 2𝑥 − tg 3𝑥 7) 1 − sin 𝑥 + cos 𝑥 8) 1 − sin 𝑥 + cos 𝑥 − tg 𝑥 9) sin(7𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 + 𝑦) + cos 3𝑥 10) sin 𝑥 + cos 𝑥 − 1 Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение Вариант 1 Вариант 2 1. Найдите значение выражения cos 450 cos 150 sin 200 sin 100 2. Найдите значение выражения cos 480 − cos 120 sin 800 − sin 400 3. Найдите значение выражения sin 𝜋 𝜋 cos 12 12 4. Найдите значение выражения sin69Ocos39O – cos69Osin36O 5. Найдите значение выражения cos 240 − cos 840 sin 540 sin 350 + sin 850 cos 250 6. Найдите значение выражения sin 540 − sin 180 sin 540 + sin 180 cos 890 + cos 10 sin 890 + sin 10 7. Упростите выражение 8. Решите уравнение sin 𝜋 2𝜋 3𝜋 + sin + sin 17 17 17 𝜋 𝜋 6 3 cos cos cos 𝜋 𝜋 3 6 - sin sin 2𝜋 4𝜋 6𝜋 + cos + cos 31 31 31 tg 3𝑥 + tg4𝑥 = 0 tg 5𝑥 − tg4𝑥 = 0 9. Докажите тождество cos 𝛼 − sin 𝛼 𝜋 = tg( − 𝛼) cos 𝛼 + sin 𝛼 4 cos 𝛼 + sin 𝛼 𝜋 = tg( + 𝛼) cos 𝛼 − sin 𝛼 4 10. Упростите выражение 𝜋 2𝜋 4𝜋 8𝜋 cos cos cos cos 5 5 5 5 cos 𝜋 2𝜋 4𝜋 8𝜋 cos cos cos 15 15 15 15