Document 430558

Статья в сборник трудов конференции ТГПИ "Математические модели физических процессов", 2003.
УДК 513.736
Уравнения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей
положительной кривизны.
1. Объектом исследования являются (m + 1)-связные поверхности F
трехмерного евклидова пространства E3, заданные в декартовой системе
координат Oxyz уравнением z  f  x, y ,  x, y   D, D – плоская односвязная
область
с
границей
D,
3,
2,
f  C , D  D  D, 0    1, D  C . При сделанных предположениях, будем говорить, что поверхность F удовлетворяет условиям регулярности. Далее предполагаем, что гауссова кривизна K поверхности F строго
положительна вплоть до края, т.е. K  k0  0 , k0  const , и поверхность F
расположена выпуклостью вниз.
2. Пусть поверхность F, заданная радиус-вектором r  x, y  текущей
точки М, преобразуется в поверхность Ft с радиус-вектором R x, y, t  точки
M t  , соответствующей точке М.
Рассмотрим семейство Ft  поверхностей Ft в евклидовом пространстве, зависящих непрерывно дифференцируемым образом от некоторого
параметра t   t0 ,t0 , t0 > 0. Считаем, что при t = 0 поверхность F0 совпадает с данной поверхностью F, т.е. F0  F .
Аналитически деформацию поверхности можно представить в виде:
R  x , y , t   r  x , y   tU  x , y   O t 2 ,
(1)
 
 
где O t 2 обозначают члены второго и более высокого порядка малости относительно малого параметра t.
Назовем две деформации поверхности F, задаваемые уравнениями
~
R x, y, t  и R x, y, t  , эквивалентными, если в разложении векторов R x, y, t 
~
и R x, y, t  , по формуле (1) они отличаются на величину O t 2 . Класс таких
эквивалентных деформаций определим как бесконечно малые деформации
поверхности F. Векторное поле U x, y  назовем полем смещений поверхности F.
При бесконечно малой деформации любая величина А, заданная на поверхности F, преобразуется в величину
At   A  tA  O t 2 .
(2)
Величину A называют вариацией величины А при указанной деформации.
3. Будем рассматривать бесконечно малые деформации поверхности F
3
в Е , подчиненные условиям: 1) сферический (гауссов) образ поверхности
поточечно стационарен, другими словами, вариация n единичного вектора
 
 
нормали n равна нулю; 2) вариация  d  элемента площади d в любой
точке поверхности удовлетворяет равенству:
(3)
 (d )  2H (U , n)d  dg ,
где H – средняя кривизна поверхности, U – поле смещений точек поверхности при ее бесконечно малой деформации, n – единичный вектор нормали поверхности, dg – заданная 2-форма на поверхности,  – заданное
число, называемое коэффициентом рекуррентности деформации.
Бесконечно малую деформацию, подчиненную условиям 1), 2), будем
называть ареально рекуррентными деформациями с сохранением гауссова
образа поверхности с заданным коэффициентом рекуррентности  или
ARG-деформациями.
4. Пусть при бесконечно малой ARG-деформации поверхность
F : r  r  x, y  ,  x, y  D преобразована в поверхность Ft : R  r  tU , где t –
параметр деформации.
Так как ARG-деформация характеризуется сохранением поточечного
сферического образа поверхности F и указанным выше правилом вычисления вариации площади любого ее куска, то выполняются соотношения:
1) Rx , Ry  1  2tHc  rx , ry  tg1  x , y   O t 2 ,




где g1  x, y dxdy  dg , c  U , n  .
rx , ry
R , R 
2) n  nt , где n 
, nt  x y .
Rx , Ry 
rx , ry


 


Следовательно, бесконечно малая деформация определяется условием
(4)
Rx , Ry  1  2tHc  tg 2  O t 2 rx , ry ,

где g 2 
 
 
 g1
.
rx , ry 


Учитывая соотношение (1) и пренебрегая членами O t 2 , имеем
ry ,U x  2Hc  g 2  rx , ry  rx ,U y
(5)
Выражение (5) является векторным уравнением бесконечно малой
ARG-деформации.
5. Пусть Oxyz – прямоугольная декартова система в Е3 с базисом
i, j , k . Запишем поле смещений U бесконечно малой ARG-деформации
поверхности F в виде суммы U  U  U n , где U – касательная составляющая поля U , U n – нормальная составляющая поля U . Покажем, что по
известному векторному полю U n можно найти поле смещений U .
Так как U n  cn , где n – единичный вектор нормали к поверхности F,



 



 fy
  f x  f y
 fx
1


n 
;
;
, то c  U , n  
.

2
2
2
2
2
2
2
2
1

f

f
1

f

f
1

f

f
1

f

f

x
y
x
y
x
y
x
y 

Обозначим     f x  f y и покажем, что нахождение бесконечно
малых ARG-деформаций поверхности F можно свести к решению дифференциального уравнения относительно функции . Именно, докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть U   ,,  – поле смещений точек поверхности F
при ее ARG-деформации. Тогда нахождение бесконечно малой ARGдеформации поверхности F положительной гауссовой кривизны сводится к
рассмотрению самосопряженного дифференциального уравнения эллиптического типа относительно функции  :
2
   
(6)
  aij   b  g 2 ,
i , j 1
xi 
x j 
где x1  x, x2  y, x, y  D, p  f x , q  f y , b  2H 1  p 2  q 2  2 ,

1
t
s
r
, a12  a21 
, a22 
, , r  f xx , s  f xy , t  f yy ,
2
2
rt  s
rt  s
rt  s 2

1  p 2 t  2 pqs  1  q 2 r
H
.
3
2
2 2
1  p  q 
При этом, по известной функции  класса C 2, D , нормальная со-
a11 
ставляющая U n восстанавливается в классе C
2,
 
D  , 0    1 по формуле
U n   1  p2  q2  n , а компоненты  ,, в классе C1, однозначно восстанавливаются по формулам:
 t x  s y
s x  r y
sq  tp
sp  rq
(7)

,


,  
x 
y.
2
2
2
rt  s
rt  s
rt  s
rt  s 2
Доказательство. В самом деле, уравнение ARG-деформаций (3) можно
записать в виде следующей системы трех уравнений относительно искомых функций  ,, :
 x  q x  p y  2Hpc  pg2 ,

(8)
 y  q x  p y  2Hqc  qg2 ,
    2Hc  g .
y
2
 x
Используя третье уравнение системы (8), запишем первые два уравнения в виде:
 x  p x  q x ,
(9)
 y  p y  q y .
В силу (9) и с учетом выражения для , система (8) примет вид

 x   r  s ,

(10)
 y   s  t ,

1

 x   y  2H 1  p 2  q 2  2  g 2 .
Так как rt  s 2  c0  0, c0  const , то из последних формул получаем
 t x  s y
s x  r y
,
.



rt  s 2
rt  s 2
Эти формулы подставим в третье уравнение системы (10) и получим
уравнение, которому удовлетворяет функция :
1
2
   
2
2 2


a

2

H
1

p

q
  g2
  ij x 
i , j 1 xi
j 

Полученное уравнение для поверхности с K  k0  0 представляет собой самосопряженное дифференциальное уравнение второго порядка эллиптического типа.
Решение уравнения (6)     x, y  для рассматриваемой поверхности
в области D принадлежит классу C 2, , 0    1. Поле смещений U в этом
случае однозначно восстанавливается в классе C1, по формулам (7), причем нормальная составляющая U n принадлежит классу C 2, .
Отметим, что касательная составляющая U  a1rx  a 2ry поля смещений U бесконечно малой ARG-деформации поверхности F принадлежит
классу C1, , 0    1 и имеют место формулы:
 t  x  s y
p
a1 

,
2
rt  s
1  p2  q2
(11)
s


r

q

x
y
a2 

.
2
rt  s
1  p2  q2
  p

 q

;
;
Действительно, так как U n  
, то
2
2
2
2
2
2
1

p

q
1

p

q
1

p

q


положив U  U  U n , с учетом формул (7), получим (11).
Выражаю глубокую благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку задачи и научное руководство данной работой.
Литература.
1. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.
– М.: Изд. иностранной лит., 1957. с. 9-24.
2. Фоменко В.Т. О регулярности решений уравнений бесконечно малых
ARG-преобразований поверхностей положительной гауссовой кривизны
при внешних связях в евклидовом пространстве // Сб.: Отображения по-
верхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. проблемы существования и единственности.
– Таганрог, 1999. – С. 58-63.