ЗАВЕРШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

ЗАВЕРШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
© Бледнов В. А., 2004
Санкт-Петербургский Филиал Института земного магнетизма,
ионосферы и распространения радиоволн РАН (СПбФ ИЗМИРАН);
Мучной пер., дом 2, а/я 188, г. Санкт-Петербург, 191023, Россия.
Данная работа подводит черту под проблемой доказательства Великой (последней) Теоремы Ферма (ВТФ).
Излагается простейший вариант доказательства ВТФ, и окончательная формулировка теоремы, утверждающая,
что ВТФ справедлива на натуральном и рациональном множествах.
Введение
Анализируется доказательство теоремы П. Ферма для степени n  4 и предлагается другой вариант,
основанный на теореме, которая могла быть доказана 2500 лет назад, но ее не знали ни П. Ферма, ни Л.
Эйлер и никто другой – она была неизвестна. В основе простейшего доказательства ВТФ лежит указанная
теорема, выражения для вычисления пифагоровых троек (Евклид) и простейшая аксиома [7]. Дается
окончательная формулировка условия ВТФ.
1. О доказательстве ВТФ для степени n  4 (док. П. Ферма)
Представим ВТФ в виде [1 – 5] x 2 p  y 2 p  z 2 p , и проанализируем доказательство П. Ферма для
показателя степени n  4 [6, 7]. Запишем начальное уравнение в виде:
x 
p 2
  yp   zp  ,
2
2
(1.1)
где числа x, y, z, 2 p заданы на натуральном множестве. Смысл представления показателя степени в виде
2 p может быть объяснен только с помощью векторной интерпретации членов уравнения [1 – 5]. Так как
данное
доказательство
принципиально
отличается
от
доказательства
П. Ферма, то напомним теорему о векторной сумме, сформулированную при выполнении данных
исследований.
Теорема о векторной сумме (ТВС) (Теорема Бледнова).
Если на множестве положительных вещественных чисел задано разложение A + B = C, то числовые
отрезки (вектора) A, B, C , полученные при геометрической (векторной) интерпретации в единой метрике
r чисел
A, B, C , составляют прямоугольный треугольник, где отрезок
Следовательно, числа
x  ,  y , z 
p
p
p
C , является гипотенузой.
уравнения (1.1) после векторной интерпретации составляют
прямоугольный треугольник. До 7 января 1996 г. это условие было неизвестно никому, но ничто не
препятствовало тому, чтобы это условие было сформулировано в 5 в. до н. э.
Определим, при каких значениях показателя степени p числа x p , y p , z p в уравнении (1.1)
принадлежат натуральному множеству. Сформулируем теорему, которую необходимо доказать.
Теорема 1 (Т-1). На натуральном множестве разложение x2 p  y 2 p  z 2 p справедливо только в том
случае, если p  1 (аналог ВТФ).
П. Ферма было установлено, что на натуральном множестве разложение в виде x4  y 4  z 4 невозможно.
Из ТВС следует, что в случае существования разложения x4  y 4  z 4 числа x 2 , y 2 , z 2 , представленные в
виде векторов в метрике r , составляют прямоугольный треугольник. Условие П. Ферма и Т-1 должны быть
согласованы.
Если прочесть доказательство П. Ферма «между строк», то можно убедиться, что доказывается
невозможность существования на натуральном множестве прямоугольного треугольника, со сторонами
x 2 , y 2 , z 2 . Со времен Евклида известно [8], что пифагоровы тройки могут быть представлены следующими
соотношениями:
x  2 mn , y  m2  n2 , z  m 2  n 2 ,
(1.2)
где x, y, z – стороны прямоугольного треугольника. Числа m и n , где m  n  0 , являются взаимно
простыми и разной четности, число m – нечетно, а число n – четно [8]. Тождество, приведенное в работах
 2 m n
[6, 7] и имеющее вид
2
  m2  n2    m2  n2  , является одной из форм записи теоремы Пифагора.
2
2
Если бы равенство x4  y 4  z 4 было возможно, то должны выполняться соотношения x 2  2 m n ,
y 2  m2  n2 , z 2  m2  n2 . Следовательно, при исследовании разложения x n  y n  z n для показателя
степени n  4 П. Ферма фактически доказал следующую теорему.
Теорема 2 (Т-2) о числовых отрезках, составляющих прямоугольный треугольник. На натуральном
множестве единая тройка чисел, x, y, z , полученная из разложения x 2 p  y 2 p  z 2 p , ( p  1 ) не существует.
Т-2 может быть сформулирована и следующим образом: нельзя составить прямоугольный треугольник
из числовых отрезков, отражающих натуральные числа, возведенные в любую степень.
В соответствии с ТВС и правилом представления сторон прямоугольного треугольника, справедливы
следующие равенства: x 2  2 m n , y 2  m2  n2 , z 2  m2  n2 . Это же условие имеет вид:
x
2m n , y n
m n
2
1 , z  n
m n
2
1 .
(1.2)
Из (1.2) следует, что для сохранения натурального значения числа x необходимо чтобы m  m 2 , а
m
2
2
. Числа, находящиеся под
n  2n 2 ( x  2 m 2 n ). Тогда y  2n 2 q 4  1 , z  2n 2 q 4  1 , где q 
2n
корнем иррациональны. Тем самым доказывается Т-3 и утверждение: x4  y 4  z 4 .
2. Доказательство Великой Теоремы Ферма
Проверим достоверность утверждений, сформулированных в теореме Т-1. На основании ТВС отрезки,
полученные после геометрической (векторной) интерпретации чисел x p , y p , z p , составляющих уравнение
x 
p
2
  y p    z p  , образуют прямоугольный треугольник. Следовательно, значения чисел x p , y p , z p ,
2
2
определенные в соответствии с (1.2) будут: x p  2 mn , y p  m2  n2 , z p  m 2  n 2 . Соответственно,
p
значения натуральных чисел определяются следующим образом: x  2mn , y  p m2  n2 , z  p m2  n2 .
Для доказательства Т-1 необходимо показать, что на натуральном множестве при любых значениях
чисел m и n (простые и разной четности) нельзя найти такую их комбинацию, при которой числа x , y , z ,
вычисленные из выражений:
x  2mn , y 
p
p
m2  n2 , z 
p
m2  n 2 ,
(1.3)
где p  1 , были бы натуральными.
Доказательство этого утверждения основано на использовании уже указанной леммы [6]. В
соответствии с ней из (1.3) следует, что число x будет натуральным только в том случае, если m  m p ,
n  2 p  1 nˆ p .
Тогда,
соответствующие
для
получения
преобразования
значения
выражений
y
и
(1.3).
z
Из
необходимо
них
последовательно
получим:
провести
p
y  4 nˆ 2 q 2 p  0.25 ,
p
z  4 nˆ 2 q 2 p  0.25 , где q  mˆ ˆ . Видно, что числа y и z являются иррациональными при любых
2n
значениях p ( p  1 ). Следовательно, если вычислить корень любой степени из трех чисел, определяющих
величины числовых отрезков, составляющих прямоугольный треугольник, то два числа окажутся
иррациональными. Из этого следует утверждение, сформулированное в Т-2, и доказательство ВТФ.
Все перечисленные условия, кроме первого, были известны в XVII веке. Разработанное доказательство
ВТФ является настолько очевидным, что невольно возникает мысль о том, что из всех возможных
вариантов, данный является наиболее простым.
Отметим, что ВТФ, сформулированная как теорема, справедливая только на натуральном множестве, не
является полной. Это только частный случай «более общей теоремы». Для ее формулировки необходимо
представить множество действительных чисел D как объединение множеств натуральных N рациональных
R и иррациональных I чисел: N R I . Формулировка теоремы, справедливой на натуральном и
рациональном множествах:
Окончательная теорема, завершающая проблему ВТФ (Теорема Ферма-Бледнова): На множестве
натуральных и рациональных чисел N R , уравнение x n  y n  z n для целочисленных значений показателя
степени n 2 решений не имеет.
Из формулировки этой теоремы следует. N R I
Следствие из теоремы 2. По крайней мере, два числа, полученные после вычисления корня любой, но
одной и той же, степени из чисел x, y, z , которые в результате геометрической (векторной) интерпретации
в единой метрике r образуют числовые отрезки (вектора), составляющие прямоугольный треугольник,
являются иррациональными.
Это следствие позволяет в определенной степени решить проблему разделения иррациональных и
рациональных чисел.
Выполненные исследования в области разложения натуральных чисел позволили сформулировать
следующую теорему.
Теорема разложения натуральных чисел (ТРНЧ). На натуральном множестве разложение вида:
 a1 
n
  a2  
n
  aq    b  , где n  q , n – простое число, а слагаемые a1 , a2 ,
n
n
, aq 1, a1 и суммарное
значение b – взаимно простые числа, имеет следующие свойства:
При n 1 существует n  4 бесконечное количество равенств  a1    b1    c1  ;
1
1
 a1    a2 2  b 2
2
При n 2 существует бесконечное количество разложений вида
n > 2 выполнение равенства невозможно (Великая Теорема Ферма);
При
n 2 и выполнении условия:
 b  22   b  12  b2 ,
1
; при значениях
возможен только единственный вид
разложения 32  42  52 ;
При n 3 и условии  d  3 n   d  2  n   d  1 n  d
n
возможен только единственный вид разложения:
33  43  53  63 .
При n  4 разложение вида:
d  n n  d   n  1 n  d   n  2 n  ...  d  2 n  d 1 n  d
n
невозможно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бледнов В. А. О доказательстве великой теоремы Ферма. Мир непознанного. Вестник РИА «Новости», М., (1998), №
09 (105) с. 19 – 22; № 11 – 12 (107 – 108) с. 25 – 28; № 15 – 16 (111 – 112) с. 21 – 23; № 17 – 18 (112 – 114) с. 26 – 27.
2. Бледнов В. А. Изучение методов измерений компонент геомагнитного поля на движущихся ферромагнитных
объектах. г. Троицк, Московской обл. ИЗМИРАН, Архив, 1999, ВНТИЦ, 02.20.00 02156.
3. Бледнов В. А. Векторная интерпретация вещественных чисел и теорема их разложения. Великая теорема Ферма.
Мерность пространства. Следствие из теоремы Пифагора. Международный конгресс – 2000, «Фундаментальные
проблемы естествознания и техники», Санкт-Петербург, СПбГУ, 2001, т. 3, с. 12 – 30.
4. Бледнов В. А. Теорема разложения положительных вещественных и натуральных чисел (сравнение с Великой
Теоремой Ферма). Методы оценки корректности использования математических операторов и достоверности
физических гипотез. НИИФ им В. А. Фока, СПбГУ, Материалы научных семинаров «Экология космоса», 2002, с. 82
– 100.
5. Бледнов В. А. Формальный метод оценки корректности математических преобразований и моделей физических
процессов. Сборник трудов третьей международной конференции «Естественные и антропогенные аэрозоли»,
НИИФ им. В. А. Фока, 2001, с. 515 – 519.
6. Постников М. М. Теорема Ферма / Изд. «Наука», М., 1978.
7. Эдварс Г. Последняя теорема Ферма / Изд. «Мир», М., 1980.
8. Башмакова И. Г., Маркушевич А. И. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. М., т. 1, 1970.