Автономное учреждение среднего профессионального образования Ханты-Мансийского автономного округа –Югры Сургутский профессиональный колледж Сборник практических работ по математике Профиль: социально-экономический Сургут, 2013 1 Сборник практических работ по математике. Профиль: социально-экономический Сургутский профессиональный колледж, 2013 Составитель: Т.Н. Масанина, преподаватель математики Сборник составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика», содержит девять практических работ. Предназначен для учащихся социально-экономического профиля по профессии 260807.01 «Повар, кондитер». Рассмотрено на заседании методического объединения «Математика, физика, информатика». Протокол № 2 от 30.10. 2013 Рекомендовано к печати Методическим профессионального колледжа. Протокол № 2 от 8 ноября 2013г. 2 советом Сургутского Оглавление Пояснительная записка ........................................................................................ 4 Перечень практических работ ............................................................................. 5 Практическая работа №1 ..................................................................................... 6 Тема: Вычисление площадей и объёмов геометрических тел ........................... 6 Практическая работа №2 ................................................................................... 10 Тема: Решение алгебраических уравнений и неравенств ................................ 10 Практическая работа №3 ................................................................................... 12 Тема: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства ..... 12 Практическая работа №4 ................................................................................... 15 Тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства ............................................................................................................................. 15 Практическая работа №5 ................................................................................... 17 Тема: Преобразование тригонометрических выражений ................................ 17 Практическая работа №6 ................................................................................... 19 Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств ........................ 19 Практическая работа №7 ................................................................................... 22 Тема: Нахождение производной ....................................................................... 22 Практическая работа №8 .................................................................................. 24 Тема: Исследование функций с помощью производной и построение графиков ............................................................................................................. 24 Практическая работа №9 ................................................................................... 26 Тема: Вычисление интеграла. Вычисление площадей фигур с помощью интеграла ............................................................................................................ 26 3 Пояснительная записка Сборник практических заданий по дисциплине «Математика» составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине, разработанной на основе примерной программы учебной дисциплины «Математика» для профессий начального профессионального образования и специальностей среднего профессионального образования 2008 года. Сборник состоит из девяти практических работ, каждая из которых проводится после изучения соответствующей темы курса. Сборник содержит теоретический материал, образцы решения примеров и описание хода выполнения практических работ, что помогает учащимся при самостоятельном выполнении работ. Все работы содержат задания разного уровня сложности. Сборник рекомендован для учащихся профессии 260807.01 «Повар, кондитер». 4 Перечень практических работ № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Наименование тем Количество часов Вычисление площадей и объёмов геометрических тел 2 Решение алгебраических уравнений и неравенств 2 Показательная функция. Показательные уравнения и 2 неравенства Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения 2 и неравенства Преобразование тригонометрических выражений 2 Решение тригонометрических уравнений и неравенств 2 Нахождение производной 2 Применение производной к построению графиков 2 функций Вычисление интеграла. Вычисление площадей фигур с 2 помощью интеграла Итого 18 5 Практическая работа №1 Тема: Вычисление площадей и объёмов геометрических тел Цель: Научиться применить формулы объемов и площадей многогранников и фигур вращения для решения задач практического содержания. Теоретический материал Основные формулы № Наименование п/ фигуры п 1 Куб 𝑺б 𝑺п 𝑽 𝑺б = 𝟒𝒂𝟐 𝑺п = 𝟔𝒂𝟐 𝑽 = 𝒂𝟑 2 Прямоугольный параллелепипед 𝑺б = 𝒑 ∙ Н 𝑺п = 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒂𝒄 𝑽=𝒂∙𝒃∙𝒄 3 Призма 𝑺б = 𝒑 ∙ Н 𝑺п = 𝑺б + 𝟐𝑺𝒐 𝑽=𝑺∙𝑯 4 Пирамида 𝑺п = 𝑺б + 𝑺𝒐 𝑽= 5 Цилиндр 𝑺б = 𝟐𝝅𝑹𝑯 6 Конус 𝑺б = 𝝅𝑹𝒍 𝑺п = 𝝅𝑹𝒍 + 𝝅𝑹𝟐 𝑽= 𝟏 𝝅𝑹𝟐 ∙ 𝑯 𝟑 7 Сфера, шар ------------- 𝑺п = 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝑽= 𝟒 𝝅𝑹𝟑 𝟑 𝑺б = 𝟏 𝒑∙𝒉 𝟐 𝑺п = 𝟐𝝅𝑹𝑯 + 𝟐𝝅𝑹𝟐 𝟏 ∙𝑺∙𝑯 𝟑 𝑽 = 𝝅𝑹𝟐 ∙ 𝑯 Ход работы 1. Записать вид геометрического тела и сделать его чертеж. 2. Выяснить, по какой формуле будете находить данные значения. 3. Выяснить. Что в этой формуле вам неизвестно. 4. Найти неизвестные величины. 5. Записать решение. Данные внести в таблицы. Вид Формулы, геометрического используемые для тела вычисления 6 Ответ Образец решения Определить сумму денег, которую нужно уплатить за побелку одной классной комнаты, ширина, длина и высота которой соответственно равны 8,6м, 4,3 м, 3,2м. Побелка одного квадратного метра стоит 360 рублей. Окна и двери составляют 7,2% общей площади. Решение: 1. Записать вид геометрического тела. Комната – это прямоугольный параллелепипед. Находим площадь стен, т.е. площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда (призмы) по формуле: 𝑺б = 𝒑 ∙ Н. Найдем периметр: 𝒑 = (𝟖, 𝟔 + 𝟒, 𝟑) ∙ 𝟐 = 𝟐𝟓, 𝟖 м; 𝑺б = 𝟐𝟓, 𝟖 ∙ 𝟑, 𝟐 = 𝟖𝟐, 𝟓𝟔 м𝟐 . 2. Площадь побелки составляет 100%-7,2%=92,8%. 3. Запишем 92,8% в виде числа 92,8%=0,928 4. Находим площадь побелки стен: 𝟖𝟐, 𝟓𝟔 м𝟐 ∙0,928=76,61568 м𝟐 . 5. Округлим данное число 76,61568 м𝟐 ≈77 м𝟐 . 6. Вычислим площадь потолка по формуле: 𝑺потолка = 𝒂 ∙ 𝒃. 7. 𝑺потолка = 𝟖, 𝟔 ∙ 𝟒, 𝟑 = 𝟑𝟔, 𝟗𝟖 м𝟐 . 8. Округлим число 𝟑𝟔, 𝟗𝟖 м𝟐 ≈ 𝟑𝟕 м𝟐 . 9. Найдем общую площадь для побелки: стен и потолка 10.𝑺побелки = 𝟕𝟕 м𝟐 + 𝟑𝟕 м𝟐 = 𝟏𝟏𝟒 м𝟐. 11.Найдем сумму денег, которую надо уплатить за побелку комнаты. Так как побелка одного квадратного метра стоит 360 рублей, то стоимость побелки всей комнаты будет равна 360 руб. ∙114=41 040руб. 12..Заполним таблицу: Вид Формула площади геометрическог о тела Прямоугольный параллелепипед 𝑺побелки = 𝑺б + 𝑺потолка ; 𝑺б = 𝒑 ∙ Н; 𝑺потолка = 𝒂 ∙ 𝒃; 7 Стоимость Общая одного стоимость квадратног о метра 360 руб. 41 040руб. Решить самостоятельно 1-й вариант 1. Определить сумму денег, которую нужно уплатить за побелку одной классной комнаты, ширина, длина и высота которой соответственно равны 9,4 м, 6,5 м, 4,2 м. Побелка одного квадратного метра стоит 80 рублей. Окна и двери составляют 9,1% общей площади. 2. Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 50 м, ширина 25 м и глубина 4 м. Сколько плит прямоугольной формы размером 80 см и 60 см нужно для облицовки дна и стен бассейна? 3. Ведро цилиндрической формы имеет высоту 4,9 дм, а диаметр дна 32 см. Сколько квадратных дециметров листового железа необходимо для изготовления ведра, если на швы нужно добавить 5% всей поверхности ведра? 4. Автоцистерна для перевозки молока имеет форму цилиндра. Внутренний диаметр, которого равен 1,4 м, а длина - 3,5 м. Сколько тонн молока можно налить в такую цистерну, если заполнить ее доверху? плотность молока 1032 кг/м3. 5. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см3. Найти его массу. 2-й вариант 1. Комната имеет длину 6,8 м, ширину 4,7 м и высоту 3,5 м. Площадь дверей и окон составляет 1/5 части всей площади стен. Сколько рулонов обоев необходимо для оклеивания комнаты, если длина рулона 12 м, а ширина – 0,5 м ? 2. Для прокладывания водопроводных труб вырыли котлован длиной 257,5 м, шириной 1,2 м и глубиной 1,4 м. Сколько кубических метров земли было вынуто из котлована? 3. Сколько необходимо краски для покраски колонны цилиндрической формы, диаметр основания которой равен 63 см, а высота – 38 дм, если на один квадратный метр поверхности колонны расходуется 200 г краски? 4. Вычислите количество нефти в тоннах, находящейся в цистерне цилиндрической формы, диаметр которой равен 22 м, а высота 8м, плотность нефти 800 кг/м3. 5. Сколько молибдена потребуется на изготовление 120 шариковых г подшипников, диаметр которых 0,4 см. а плотность молибдена 10,22 3 . см 8 3-й вариант 1. Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина основания которого равна 2,25 м, ширина 12 дм. Емкость бака равна 6,75 м3 . Вычислите высоту бака. 2. Комната имеет длину 8,23 м, ширину 5,5 м и высоту 4,2 м. Определить объем комнаты и площадь, которую необходимо белить. Окна и двери составляют 9,1% общей площади. 3. Необходимо окрасить круглую трубу диаметром 1,4 м и высотой 2,9 м. Сколько потребуется для этого краски, если на один м2 поверхности ее идет 250 г? 4. Сколько тонн бензина помещается в подземном бензохранилище, имеющем цилиндрическую форму, если диаметр цилиндра равен 1,8 м, а длина его – 6,5 м? Плотность бензина 720 кг/м3. 5. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? На швы добавить 8% от площади поверхности мяча. 9 Практическая работа №2 Тема: Решение алгебраических уравнений и неравенств Цель: научиться решать квадратные уравнения и неравенства, используя формулы дискриминанта и корней уравнения. Теоретический материал. Приведенное квадратное уравнение: 𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 + 𝒒 = 𝟎. Теорема Виета: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒑, 𝒙𝟐 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒒. Полное квадратное уравнение: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Его дискриминант: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Решение полного квадратного уравнения: 𝐷 > 0 ⇒ 𝑥1,2 = −𝑏±√𝐷 ; 2𝑎 𝑏 𝐷 = 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 = − ; 2𝑎 𝐷 < 0 нет действительных корней. Ход работы. 1. Решить уравнения, неравенства, найти область определения и данные внести в таблицу. Пример коэффициенты Значение Формулы Ответ дискриминанта для a b c вычисления корней 2. Образец решения. Решить уравнение: 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0 Найдём дискриминант𝐷 = 25 + 24 = 49 > 0. Применим формулу корней квадратного уравнения: 𝑥1,2 = Находим по формуле: −5 − 7 𝑥1 = = −6, 2 Пример 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0 −5±√49 коэффиц иенты a b c 1 5 -6 2 . 𝑥2 = −5 + 7 = 1. 2 Значение Формулы для дискрими вычисления нанта корней 49 −𝑏 ± √𝐷 𝑥1,2 = 2𝑎 10 Ответ 𝑥1 = −6 𝑥2 = 1 Решить самостоятельно № п/п 1 1.1 1.2 1.3 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Решить уравнения 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0; 2𝑥 2 − 9𝑥 + 10 = 0; 9𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = 0; 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 5𝑥 2 + 14𝑥 − 3 = 0 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0 1.4 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0; 3𝑥 4 − 7𝑥 2 + 2 = 0 𝑥 2 − 4𝑥 = 5 4𝑥 + 𝑥 2 = −15 𝑥 2 − 6𝑥 5 = 𝑥−5 5−𝑥 8 = 3𝑥 + 2 𝑥 2 2.2 2.3 Решить неравенство 𝑥 2 − 22𝑥 − 23 ≤ 0; 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 > 0; 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 < 0; 3𝑥 2 − 8𝑥 + 5 ≥ 0; х2 + 3х − 40 > 0 х2 + 5х − 36 ≤ 0 2.3 (6𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 4) < 0; (𝑥 + 2) ∙ (4𝑥 − 8) > 0 (2,5𝑥 + 5) ∙ (𝑥 − 3) < 0 3 3.1 Найти область определения у = √𝑥 2 − 7𝑥 + 12 у = √𝑥 2 − 4 11 у = √𝑥 2 − 𝑥 − 12 Практическая работа №3 Тема: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства Цель: научиться строить график показательной функции. Используя свойства показательной функции и свойства степеней, научиться решать показательные уравнения и неравенства. Теоретический материал Степени чисел от 0 до 10 n 𝟐𝒏 𝟑𝒏 𝟒𝒏 𝟓𝒏 𝟔𝒏 𝟕𝒏 𝟖𝒏 𝟗𝒏 𝟏𝟎𝒏 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 4 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 5 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 6 64 729 4096 15625 46656 117649 7 128 2187 16384 78125 279936 8 256 6561 65536 390625 9 10 512 1024 19683 59049 262144 Свойства степеней 1. 𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 ; 4. 𝒂𝒎 𝒂𝒏 2. 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 = (𝒂 ∙ 𝒃)𝒏 𝒎 = 𝒂𝒎−𝒏 𝒂 𝒏 𝒏 5. 𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎 7. (𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎∙𝒏 8. 𝒂−𝒏 = 3. 𝒂𝟎 = 𝟏 𝒃 −𝒏 6. ( ) = ( ) 𝒃 𝒂 𝟏 𝒏 𝒎 9. √𝒂𝒎 = 𝒂 𝒏 𝒂𝒏 Образец решения Пример 1 Решить уравнение: 22х−4 = 64; Решение: Представим 64 как 26 и перепишем заданное уравнение в виде: 22х−4 = 26 . Это уравнение равносильно уравнению: 2х − 4 = 6, откуда находим: х = 5 . Ответ: х=5 Пример 2 1 2х−3,5 Решить уравнение: ( ) 3 Решение: Преобразуем уравнение в виде: 1 2х−3,5 (3) 1 √3 = 1 √3 как ; 1 1 1 = 32 1 2 (3) и перепишем заданное 1 = 1 2 (3) . Это уравнение равносильно уравнению: 12 2х − 3,5 = 0,5 , откуда находим х = 2. Ответ: х = 2 Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены) Пример 1 Решить уравнение: 4х + 2х+1 − 24 = 0. Решение: Заметив, что 4х = (22 )х = 22х = (2х )2 , а 2х+1 = 2 ∙ 2х Перепишем заданное уравнение в виде: (2х )2 + 2 ∙ 2х − 24 = 0 Вводим новую переменную: t = 2x , тогда уравнение примет вид: t 2 + 2t − 24 = 0 Решив квадратное уравнение, получим: t1 =4, t 2 = −6. Но так как t = x 2 , то надо решить два уравнения: 2х = 4 и 2х ≠ −6 Решим первое уравнение: 2х = 22 отсюда следует, что х = 2. Рассмотрим второе уравнение. Второе уравнение не имеет решения, так как 2х > 0 для любых значений х. Ответ: 2 Метод выноса за скобки Пример 1 Решить уравнение: 3х+1 − 2 ∙ 3х−2 = 25 В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть 3х−2 . В результате получим: 3х+1 3х−2 ( − х−2 3 2∙3х−2 3х−2 ) = 25; 3х−2 (3х+1−(х−2) − 2) = 25; 3х−2 (3х+1−х+2 − 2) = 25; 3х−2 (33 − 2) = 25; 3х−2 ∙ 25 = 25; 3х−2 = 1 , 3х−2 = 30 , отсюда следует, что х = 2. Ответ: х = 2. Системы показательных уравнений Пример 1 Решить систему. 2х + у = 1 { х+у 3 =9 Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим у = 1 − 2х . Тогда 3х+(1−2х) = 9 или 31−х = 32 , откуда 13 1 − х = 2, х = −1. Следовательно, у = 1 − 2 ∙ (−1), у = 3. Ответ: (−1; 3). № Вариант 1 Вариант 2 п/п 1 Построить график функции 1.2 𝑦 = 2𝑥 2 2.1 Вычислить 1 5 5.1 1 Вариант 4 1 𝑥 𝑦=( ) 2 1 𝑥 𝑦=( ) 3 2 1 4 −2 64 ∙ ( ) 9 Решить уравнения 2𝑥 = 128 7𝑥 = 49 5𝑥+1 − 5𝑥 = 20 25 −2 2 −1 ( ) ∙( ) 49 7 (0.008)−3 ∙ 25−1 83 ∙ 2−1 3𝑥 = 81 49𝑥 = 7 7𝑥+2 + 7𝑥 = 350 5𝑥 = 25 3 = 81𝑥 7𝑥+1 + 3 ∙ 7𝑥 = 70 5𝑥 = 625 49𝑥 = 73𝑥 2𝑥+3 − 2𝑥 = 28 22𝑥 − 6 ∙ 2𝑥 + 8 = 0 72𝑥 − 8 ∙ 7𝑥 + 7 = 0 9𝑥 − 7 ∙ 3𝑥 − 18 = 0 4𝑥 + 2𝑥 − 20 = 0 𝑥+𝑦 =5 22𝑥−𝑦 = 16 { − 3 3.1 3.2 3.3 3.4 4 4.1 𝑦 = 3𝑥 Вариант 3 2 3 Решить систему 𝑥−𝑦 =4 𝑥 + 𝑦 = −2 { 𝑥+𝑦 { 𝑥+5𝑦 5 = 25 6 = 36 Решить неравенство 0.2𝑥 > 1 0.52𝑥−1 < 1 { 23𝑥 < 16 14 𝑥−𝑦 =5 3𝑥+2𝑦 = 9 52𝑥 > 125 Практическая работа №4 Тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства Цель: научиться решать логарифмические уравнения и неравенства, используя свойства логарифмической функции и свойства логарифмов. Теоретический материал: Основное логарифмическое тождество: 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒃. Свойство логарифмов: 1. log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 = log 𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐) ; 𝑏 2. log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐 = log 𝑎 ; 𝑐 𝑟 3. log 𝑎 𝑏 = 𝑟 ∙ log 𝑎 𝑏; 1 4. log 𝑎𝑟 𝑏 = log 𝑎 𝑏; 5. log 𝑎 𝑏 = 𝑟 log𝑐 𝑏 log𝑐 𝑎 . Образец решения: Пример 1. Решите уравнение: переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению: Проверка: 𝑥1 = 7 lg(72 − 6) = lg(8 + 5 ∙ 7) lg43 = lg43, 𝑥1 = 7- является корнем уравнения. 𝑥2 = −2 lg((−2)2 − 6) = lg(8 + 5(−2)) 𝑙g (-2) – не существует, 𝑥2 = −2 - не является корнем уравнения. Ответ: 𝑥 = 7 Пример 2. Решите уравнение: Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0. Используем подстановку: Уравнение принимает вид: 15 Обратная подстановка: Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами. Решить самостоятельно: № Вариант 1 п/п Вариант 2 Вариант 3 1 1.1 Вычислить log 3 1 1.2 log 7 49 log 1 49 2 2.1 2.2 Решить уравнения log 3 x = 4 log 2 (x + 7) = 3 log 5 x = 2 log 3 (x − 9) = 1 log 3 x = −2 log 4 (2x + 1) = 0 2.3 log 5 (3x − 1) = log 5 6 log 8 (2x + 5) = log 8 7 log 0.4(3 − x) = log 0.4 (2x + 1) 2.4 lg 2 x − 5lgx + 6 = 0 lg 2 x + lgx − 6 = 0 2lg 2 x − 7lgx + 3 = 0 2.5 log 3 (x 2 − 6x + 7) = 2 log 5 (x 2 − 11x + 43) = 2 log 3 (x 2 − 6x + 17) = 2 3 3.1 Решить неравенства log 1 x ≥ −2 log 3 x < log 3 5 log 2 x ≤ 0 log 0.5(2x + 1) < 0.5(2 − 3x) log 2 (x − 1) < log 2 (2x −) 3 3.2 log 8 (5x − 8) < log 8 (2x + 7) log 3 9 7 16 1 3 1 log 2 8 log 3 Практическая работа №5 Тема: Преобразование тригонометрических выражений Цель: научиться преобразовывать тригонометрические выражения, используя основные формулы тригонометрии. Теоретический материал Основные формулы тригонометрии Синус и косинус суммы и разности аргументов: sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛽 + cos 𝛼; sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛽 + cos 𝛼; cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽; cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽; 𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) = ; 1 − 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛽 Формулы двойного аргумента: sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼; cos 2𝛼 = (cos 𝛼)2 − (cos 𝛼)2 ; 2 ∙ 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔2𝛼 = ; 1 − 𝑡𝑔2 𝛼 Формулы понижения степени: 1 − cos 2𝛼 (sin 𝛼)2 = ; 2 1 + cos 2𝛼 (cos 𝛼)2 = ; 2 Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение: 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin cos ; 2 2 𝛼−𝛽 𝛼+𝛽 sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin cos ; 2 2 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos cos ; 2 2 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin sin . 2 2 17 Решить самостоятельно Вариант 1 1 1.1 2 2.1 2.2 Вариант 2 Вариант 3 Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов: sin 1050 sin 1050 sin 750 Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов: cos 1070 cos 1070 + sin 1070 sin 170 sin 630 cos 270 + cos 630 sin 270 cos 360 cos 240 − sin 360 sin 240 sin 510 cos 210 − cos 510 sin 210 cos 1060 cos 740 − sin 1060 sin 740 sin 780 cos 330 − cos 780 sin 330 cos 1050 cos 50 + sin 1050 cos 850 sin 950 cos 50 − cos 950 sin 1850 3 3.1 Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента: sin 2𝛼 (cos 𝛼)2 − cos 2𝛼 (cos 750 − sin 750 )2 = sin 𝛼 cos 𝛼 (cos 150 )2 − (sin 150 )2 (cos 150 + sin 150 )2 2 sin 150 cos 150 3.2 3.3 4 4.1 4.2 4.3 sin 750 cos 50 − cos 750 cos 850 cos 3750 cos 50 − sin 150 sin 3650 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 cos − sin sin 12 4 12 4 2.3 Известно, что 𝑠𝑖𝑛 α = 0,8, π 0< 𝛼 < 2 Известно, что cos α = 0,8, π 0< 𝛼 < 2 Найдите: sin 2𝛼, cos 2𝛼 Найдите: sin 2𝛼, cos 2𝛼 cos Известно, что 5 sin 𝛼 = 13, 𝜋 2 <𝛼<𝜋 Найдите: sin 2𝛼, cos 2𝛼 Представить в виде произведения: sin 400 + sin 160 sin 520 − sin 360 cos 460 − cos 740 cos 200 + cos 400 sin 1120 − sin 380 cos 140 + cos 460 Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение: Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение: Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение: sin 200 + sin 400 − cos 100 = 0 cos 760 + cos 240 − cos 260 = 0 cos 850 + cos 350 − cos 250 = 0 18 Практическая работа №6 Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств Цель: научиться решать тригонометрические уравнения, используя свойства обратных тригонометрических функций и формул решения тригонометрических уравнений. Теоретический материал: Формулы для повторения arcsin(− a) = − arcsin a arccos (−a) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 arctg (−a) = − arctg a arcctg (−a) = 𝜋 − arcctg a Общие формулы решения тригонометрических уравнений 𝑠𝑖𝑛 х = а, |а| ≤ 1; 𝐼𝐼. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = а, |а| ≤ 1 х х = (−1)𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧 𝑥 = ± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧 tg x = a, a – любое число x = arctg x + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 ctg x = a, a – любое число х= arcctgx + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 Частные решения тригонометрических уравнений sin x=0 х=𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 sin x=1 𝜋 x= + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 sin x=-1 𝜋 x= − + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 cos x=0 𝜋 x= + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 cos x=1 x= 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 cos x=-1 x=𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 2 2 2 Значение тригонометрических функций град радиан 00 0 sin𝛼 0 cos 𝛼 1 tg 𝛼 0 ctg 𝛼 Не существ 300 𝝅 𝟔 1 2 √3 2 √3 3 √3 450 𝝅 𝟒 √2 2 √2 2 1 600 𝝅 𝟑 √3 2 1 2 900 𝝅 𝟐 1 √3 1 √3 3 не существ 0 19 0 Образец решения №1 Решить уравнение: 2sin2 x − 5sinx + 2 = 0 Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z2 – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 = 1 2 . 1 Значит, либо sin x = 2, либо sin x = . Первое уравнение не имеет корней, а 2 из второго находим 1 х = (−1)n arcsin + πn, nϵz 2 π x = (−1)n + πn, nϵz 6 Образец №2 Решить уравнение: cos 2 x − sin2 x − cosx = 0 Решение: Воспользуемся тем, что sin2 x = 1 − cos 2 x Тогда заданное уравнение можно записать в виде: cos 2 x − (1 − cos 2 x) − cosx = 0 После преобразования получим: 2cos 2 x − cosx − 1 = 0 Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид: 2z2 –z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =− Значит, либо cos x = 1, либо cos x = − 1 2 1 2 Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение 𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 . Решая второе уравнение, находим решение: 1 x= ±arccos (− ) + 2πn, nϵz 2 1 x = ± (π − arccos ) + 2πn, nϵz 2 π x = ±(π − ) + 2πn, nϵz 3 x=± 2π 3 + 2πn, nϵz Образец №3 Решить уравнение: 3sin2 x − 2√3 sinxcosx + 5cosx = 2 Решение: 20 С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что sin2 x + cos 2 x = 1 - это тождество верно для любого значения х. Тогда 2(sin2 x + cos 2 x) = 2sin2 x + 2cos2 x = 2. Заменив в первом уравнении 2 на 2sin2 x + 2cos 2 x , получим: 3sin2 x − 2√3 sinx∙cosx + 5cos 2 x = 2sin2 x + 2cos 2 x 3sin2 x − 2√3 sinx∙cosx + 5cos 2 x − 2sin2 x − 2cos 2 x = 0 sin2 x − 2√3 sinxcosx + 3 cos 2 x = 0 Обе части уравнения разделим на cos2 x почленно sin2 x 2√3 sinxcosx 3 cos 2 x − + =0 cos 2 x cos 2 x cos 2 x sinх Так как = tgх, то полученное уравнение запишем в виде: cosх 2 tg x - 2√3 tgx + 3 = 0 Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение: 𝑡 2 − 2√3 t +3=0, решая уравнение, получим: t = √3 Итак, tg x=√3 x= arctg √3 + πn, π x= + πn, 𝑛𝜖𝑍 3 Вариант 1 Решить уравнения: 1. sin2x – 5sinx +4 = 0 2. 3cos22x + 10cos2x + 3 = 0 3. 3cos2x + 10cosx + 3 = 0 4. 2sin2x + 3cosx = 0 5. tg2x - 2tgx – 3 = 0 6. 2sin2 x − 5sinxcosx + 2cos 2 x = 0 7. 2cos 2 x − sinxcosx + 5sin2 x = 3 Вариант 3 1. 3sin2x – 5sinx – 2 = 0 2. sin2 x − 5sinxcosx + 6cos2 x = 0 3. 5sin2 x − sinxcosx + 2cos2 x = 3 Вариант 2 Решить уравнения: 1. 6cos2x + cosx – 1 = 0 2. 2sin22x – 3sin2x + 1 = 0 3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 3. 5cos2x + 6sinx – 6 = 0 4. 2tg2x + 3tgx – 2 = 0 5. 3cos 2 x + 10sinxcosx + 3sin2 x = 0 6. 2sin2 x − 3sinxcosx + 4cos 2 x = 4 4. cos 𝑥 + cos 3𝑥 = 0 5. 3tg2x + 2tgx – 1 = 0 6. 8𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + cos 2𝑥 + 1 = 0 21 Практическая работа №7 Тема: Нахождение производной Цель: научиться вычислять производную, используя правила нахождения производной. Теоретический материал №п/п Функция №п/п Функция Производная Производная 1 𝐶’ 0 9 𝑠𝑖𝑛′ 𝑥 𝒄𝒐𝒔 𝒙 2 𝑥’ 1 10 𝑐𝑜𝑠′𝑥 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 3 (n𝑥)’ n 11 𝑡𝑔′𝑥 4 (𝑥 𝑛 )’ 𝒏𝒙𝒏−𝟏 12 𝑐𝑡𝑔′𝑥 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 5 (𝑥 2 )’ 𝟐𝒙 13 (𝑒 𝑥 )′ 𝒆𝒙 6 (𝑥 3 )’ 𝟑𝒙𝟐 14 (𝑎 𝑥 )′ 𝒂𝒙 ∗ 𝐥𝐧 𝒂 7 (√𝑥)’ 𝟏 15 𝑙𝑛′𝑥 8 1 𝟐√ 𝒙 𝟏 − 𝟐 𝒙 16 (log 𝑎 𝑥)′ 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂 (𝑥)’ Правила вычисления производных (𝑐𝑢)′ = 𝑐 ∙ 𝑢′ (𝑢 ∓ 𝑣)′ = 𝑢′ ∓ 𝑣′ (𝑢 ∙ 𝑣)′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ 𝑢 ′ 𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′ ( ) = 𝑣 𝑣2 Производная сложных функций 𝑓 ′ (𝜑(𝑥)) = 𝑓 ′ (𝜑(𝑥)) ∙ 𝜑 ′ (𝑥) 22 № Вариант 1 Вариант 2 п/п Вычислить производную 1 1.1 y = x 2 + 4x + 3 y = x 7 + 5x − 1 Вариант 4 y = 4x 3 − 8x 2 − 14 y = 3x 4 − 6x 2 + 5 1.5 6 + 4 √x x x 6 − 4x + 1 y= x 3x − 4 y= 3 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 4 ∙ cos 𝑥 1.6 𝑦 = 4 ∙ tg 𝑥 y = −5sinx 𝑦 = −7 cos 𝑥 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 4 ∙ cos 𝑥 1.7 𝑦 = (4𝑥 + 3)9 𝑦 = (7𝑥 − 2)4 𝑦 = (4 + 3𝑥)5 𝑦 = (9𝑥 − 1)10 2 2.1 Решить уравнение: 𝑓 ′ (х) = 0, если 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 27𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 2 3 3.1 Решить неравество 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 𝑓(𝑥) = 6𝑥 2 + 6𝑥 − 1 𝑓 ′ (𝑥) > 0 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 6𝑥 2 + 7 4 Найти значение производной в точке: 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 𝑥0 = −1; 1.2 1.3 1.4 y= 𝑓 ′ (𝑥) < 0 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 2𝑥 + 5 2 − 6 √x x 4x + 72 y= 4 3x 2 − x + 1 y= x 𝑦 = ℓх ∙ cos х Вариант 3 y= y= 4 − 9x 2 10 4x + 2x 2 − 2 y= x 𝑦 = ℓх ∙ sin х 1 10 −1 √x + 4 x 3x 3 − 9x 2 + 5 y= x 6x 2 − 7x y= 3 𝑦 = ℓх ∙ tg х y = 4√x + 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 1 8 +3 x y= Найти значение производной в точке: 𝑦 = 𝑥 3 − 9𝑥 + 7 𝑥0 = 2 23 Практическая работа №8 Тема: Исследование функций с помощью производной и построение графиков Цель: Научиться исследовать функцию и строить график с помощью производной. Теоретический материал Схеме исследования функции: 1. Найти область определения функции D(f). 2. Вычислить производную 𝑓 ′ (𝑥). 3. Найти стационарные точки 𝑓 ′ (𝑥) = 0. 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции (монотонность) Условия возрастания функции: 𝑓 ′ (𝑥) > 0. Условия убывания функции: 𝑓 ′ (𝑥) < 0. 5. Найти точки максимума и минимума функции. Точка max: 𝑓 ′ (𝑥) меняет знак с ”+” на “-” . Точка min: 𝑓 ′ (𝑥) меняет знак с “-” на “+” . Точки экстремума – это точки максимума и минимума. Экстремум функции – это значение функции в точках экстремума. Данные исследования занести в таблицу и построить график. 𝑥 𝑓 (𝑥) 𝑓(𝑥) , Образец решения Исследовать функцию и построить график: 𝑓(𝑥) = 2 + 5 ∙ 𝑥 3 − 3 ∙ 𝑥 5 . Решение. 1. Найти область определения функции 𝐷(𝑓) = (−∞; ∞ ). 2. Вычислить производную 𝑓 ′ (𝑥) = (2 + 5 ∙ 𝑥 3 − 3 ∙ 𝑥 5 )′ = 15 ∙ 𝑥 2 − 15 ∙ 𝑥 4 . 3. Найти стационарные точки 𝑓 ′ (𝑥) = 0 15 ∙ 𝑥 2 − 15 ∙ 𝑥 4 = 0 ⟹ 𝑥 2 ∙ (1 − 𝑥 2 ). 𝑥 2 = 0 ⟹ 𝑥1,2 = 0, 1 − 𝑥 2 = 0 ⟹ 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1 0, 1, -1-стационарные точки. Данные вносим в таблицу. (−∞; −1) -1 𝑥 0 𝑓 (𝑥) 0 𝑓(𝑥) ↘ min , (−1; 0) + ↗ 0 0 2 перегиб (0; 1) + ↗ 𝑓(−1) = 2 + 5 ∙ (−1)3 − 3 ∙ (−1)5 = 2 − 5 + 3 = 𝟎. 24 1 0 4 max (1; ∞) ↘ 𝑓(0) = 2 + 5 ∙ 03 − 3 ∙ 05 = 𝟐 𝑓(1) = 2 + 5 ∙ 13 − 3 ∙ 15 = 2 + 5 − 3 = 𝟒 . № 1 1.1 2 2.1 2.2 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Исследовать функцию на возрастание и убывание, экстремум: 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 3 𝑦 = −3𝑥 4 + 4𝑥 3 − 15 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 4 Исследовать функцию и построить график: 𝑦 = 7 + 12𝑥 − 𝑥 2 𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 7 𝑦 = 4 − 6𝑥 − 𝑥 2 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2 25 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 4 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 − 1 Практическая работа №9 Тема: Вычисление интеграла. Вычисление площадей фигур с помощью интеграла Цель: научиться вычислять интегралы и площади криволинейных трапеций, используя таблицу первообразных и формулу Ньютона-Лейбница. Теоретический материал Таблица первообразных №п/п Функция f(x) 1 𝒏 2 𝒙𝒏 3 №п/п Первообразная F(x)+C 𝒏𝒙 + 𝑪 Функция f(x) Первообразная F(x)+C − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪 10 𝐬𝐢𝐧 𝒙 11 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪 𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝒏+𝟏 +𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 − 𝒙 12 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒕𝒈𝒙 + 𝑪 4 𝟏 𝟐√𝒙 + 𝑪 13 −𝒄𝒕𝒈𝒙 + 𝑪 5 √𝒙 𝓵𝒙 𝓵𝒙 + 𝑪 14 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝒂𝒙 𝒂𝒙 +𝑪 𝒍𝒏𝒂 6 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪 15 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪 𝒂 7 𝓵𝒂𝒙+𝒃 𝟏 𝒂𝒙+𝒃 𝓵 +𝑪 𝒂 16 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏 𝟏 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏+𝟏 ∙ +𝑪 𝒂 𝒏+𝟏 8 𝟏 𝒂𝒙 + 𝒃 𝟏 𝐥𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪 𝒂 17 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝟏 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪 𝒂 𝟏 𝟏 𝒕𝒈(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪 𝒂 18 𝟏 𝟏 − 𝒄𝒕𝒈(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪 𝒂 9 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒂𝒙 + 𝒃) Правила вычисления первообразных 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒂𝒙 + 𝒃) Площадь криволинейной трапеции 1. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⟹ 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝐶; 𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒙 = 𝒂, 𝒙 = 𝒃, 𝒚 = 𝟎 2. 𝑘𝑓(𝑥) ⟹ 𝑘𝐹(𝑥) + 𝐶; 𝑺 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) 3. 𝑓(𝑚𝑥 + 𝑏) ⟹ 1 𝐹(𝑚𝑥 + 𝑏) + 𝐶; 𝑚 𝐥𝐨𝐠 𝒆 𝒂 = 𝐥𝐧 𝒂 − натуральный логарифм 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒂 = 𝒍𝒈𝒂 − десятичный логарифм 26 𝑏 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)] 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) − формула Ньютона –Лейбница. Решить самостоятельно № Вариант 1 п/п 1 Вычислить: 2 1.1 ∫ x 3 dx 1.2 1.3 1 2 ∫0 (х2 π 4 Вариант 2 3 ∫1 х2 dx 3 ∫0 (6 − 2x − x 2 )dx + 3х − 1)dx π 2 ∫ dx ∫ cos 2 1.4 π 4 −π 4 π 12 dx sin2 x π 16 ∫ 3cos4xdx ∫ 4 sin 3xdx 0 0 2 2.1 2.2 1. 1.1 1.2 1.3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2 + 1, х = -1, х = 2, y=0 у = х2 + 2, х= -2, х=1 𝜋 𝜋 3 2 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑥 = , 𝑥 = , 𝑦 = 0 Вариант 3 Вычислить: Вариант 4 2 2 3 ∫1 х4 dx 4 ∫ x dx 1 2 ∫0 (х2 π 4 1 ∫0 (4 − 6x − x 2 )dx − 5х + 1)dx π 2 ∫ dx ∫ cos 2 π 4 0 1.4 𝜋 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑥 = 0, 𝑥 = , y=0 π 12 dx sin2 x π 15 ∫ 6cos5xdx ∫ 5 sin 4xdx 0 π 2 2. 2.1 2.2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2 + 1, х = -3, х = 1 у = х2 + 3, х= -1, х=1 𝜋 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 , y=0 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 27 𝜋 𝑥= , 6 𝑦=0 𝑥= 𝜋 , 2