Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
“Высшая школа экономикиˮ»
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета «Высшая школа экономики»
Факультет электронной техники
Программа дисциплины «дискретная математика»
для специальности 220400.62 (Управление в технических системах ).
Бакалавриат.
Автор программы:
Бусяцкая И.К., кандидат физико-математических наук, доцент, irina.busjatskaja@yandex.ru
Одобрена на заседании кафедры высшей математики ___ ____________ 2014 г.
.Зав. кафедрой Л.И. Кузьмина
Рекомендована учебно-методической комиссией ФИТиВТ___ ____________ 2014 г.
Председатель
Утверждена учёным советом ФИТиВТ ___ _____________2014 г.
Учёный секретарь ________________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры − разработчика программы.
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные
требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных
занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину,
учебных ассистентов и студентов специальности 220400.62. Управление .
в технических системах. Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом ФГОС
 Образовательной программой 220400.62. Управление в технических системах.
 рабочим учебным планом университета по специальности 220400.62
(управление в технических системах ).
2 Цели освоения дисциплины
 знакомство с понятиями дискретной математики как основы значительной части
теории информационных систем
– освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
 развитие навыков математического моделирования практических задач
связанных с конечными и счетными множествами.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать базовые понятия дисциплины
 Понимать доказательства ключевых теорем курса
 Иметь навыки использования математического аппарата дисциплины в
дальнейшей учебной и профессиональной деятельности
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
способность к работе в коллективе, кооперации с коллегами, способностью в
качестве руководителя подразделения, лидера группы сотрудников формировать цели
команды, принимать организационно-управленческие решения в ситуациях риска и
нести за них ответственность, предупреждать и конструктивно разрешать
конфликтные ситуации в процессе профессиональной деятельности (ОК-6);
способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь на русском языке, готовить и редактировать тексты
профессионального назначения, публично представлять собственные и известные
научные результаты, вести дискуссии (ОК-7);
способность к логически правильному мышлению, обобщению, анализу,
критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию,
постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании
принципов научного познания (ОК-9);
способность самостоятельно применять методы и средства познания, обучения
и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых
областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития
социальных и профессиональных компетенций, изменения вида своей
профессиональной деятельности (ОК-10);
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих
в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физикоматематический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способность применять математический аппарат, в том числе с использованием
вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
способность готовить научно-технические отчеты, обзоры, публикации по
результатам выполненных работ (ПК-17).
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла дисциплин .
5 Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Всего
часов
Название раздела
Общие правила комбинаторики .Конечные
выборки
Перестановки и сочетания. Свойства
биномиальных коэффициентов
Раскладки и разбиения
Рекуррентные соотношения и
производящие функции
Группы преобразований. Комбинаторика
орбит
Основные понятия теории графов
Эйлеровы и гамильтоновы графы
Деревья
Укладки графов. Планарные графы
Раскрашивание графов
Орграфы и потоки в сетях
Отношения на множествах
Итого:
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
14
2
4
8
19
3
6
10
16
13
2
3
4
4
10
6
20
4
6
10
18
18
12
20
18
20
10
198
4
4
2
4
4
4
2
38
4
4
4
6
4
6
3
55
10
10
6
10
10
10
5
105
1 Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма
контроля
Контрольная
работа
Домашнее
задание
Параметры
1
2
3
3
4
7
6
Письменная работа 80
минут
Письменная работа
Итоговы Экзамен
й
*
*
Устный
a. Критерии оценки знаний, навыков
На контрольной работе студент должен применять математический аппарат к
решению конкретных задач.
В домашней работе студент должен самостоятельно применять изученные методы
к решению поставленных задач и приготовить отчет по результатам выполненной работы.
На экзамене студент должен уметь выявлять сущность математических проблем,
логически верно и аргументировано излагать доказательства теорем, понимать связи
между различными понятиями курса.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной
шкале.
б. Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: ,активность
студентов при обсуждении фундаментальных понятий курса, правильность решения задач
и ответов на вопросы преподавателя на семинаре. Оценки за работу на семинарских и
практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная
оценка по 10-ти балльной шкале за работу на практических занятиях определяется перед
промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается
правильность выполнения домашних заданий , которые выдаются на практических
занятиях , знание определений изучаемых понятий. Оценки за самостоятельную работу
студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти
балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или
итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Онакопленная= 0,5* Отекущий + 0,25* Оауд + 0,25* Осам.работа
где Отекущий
рассчитывается как взвешенная сумма всех форм
текущего контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = 0,6 ·Ок/р + 0,4 Одз ;
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится в пользу
студента.
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
1.
За один модуль:
Орезульт = 0,4* Онакопл + 0,6*·Оэкз/зач
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в
форме зачета производится в пользу студента .
За несколько модулей –как среднее арифметическое результирующих
оценок за каждый модуль
2.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный
балл для компенсации оценки за текущий контроль.
На экзамене студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную
практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который
оценивается в 1 балл.
В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая
формируется по следующей формуле:
Орезульт =0,4·Онакопл + 0,6Оитоговый
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине: в пользу
студента
6 Содержание дисциплины
Изложение строится по разделам и темам. Содержание темы может
распределяться по лекционным и практическим занятиям.
1. Общие правила комбинаторики. Конечные выборки.
Правила суммы и произведения. Определение (конечной) выборки k элементов из n
элементов множества A. Четыре типа выборок. Примеры и обозначения количества элементов в выборках.
Аудиторная работа-6 часа.
Самостоятельная работа-8 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
2.Перестановки и сочетания. Биномиальные коэффициенты.
Формулы для подсчета числа перестановок из n элементов по k ( c повторениями и
без повторений ). Формулы для подсчета числа сочетаний из n элементов по k.( с
повторениями и без повторений ). Бином Ньютона и свойства биномиальных
коэффициентов .Треугольник Паскаля.
Аудиторная работа-9 часов.
Самостоятельная работа-10 часов
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
.3. Раскладки и разбиения.
Задача о размещении n одинаковых ( различных ) предметов по k различным
ящикам. Задача о разбиении чисел на слагаемые.Формула включений и исключений.
Аудиторная работа-6 часа.
Самостоятельная работа-10 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
.4. Рекуррентные соотношения.
Последовательность Фибоначчи. Рекуррентные соотношения порядка k. Решение
линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами.
Аудиторная работа-7 часа.
Самостоятельная работа-6 часа.
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
.5. Группы преобразований. Комбинаторика орбит.
Группы преобразований конечных множеств. Орбиты и неподвижные элементы.
Лемма Бернсайда. Задачи о раскраске куба и тетраэдра.
Аудиторная работа-10 часов.
Самостоятельная работа-10 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
-выполнение задания по текущему контролю: письменная контрольная работа
,выполняемая в аудитории.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
.6. Основные понятия теории графов.
.Вершины и ребра графа. Простые графы. Матрица смежности. Регулярные,
полные и двудольные графы. Изоморфизм графов. Операции над графами.
Аудиторная работа-8 часов.
Самостоятельная работа-10 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
.7 Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Цепи и циклы в графах. Связные и несвязные графы. Разрезы и мосты. Эйлеровы
графы. Критерий эйлеровости. Гамильтоновы графы и платоновы тела.
Аудиторная работа-8 часов.
Самостоятельная работа-10 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
.8. Деревья.
Деревья и их характеристические свойства .Остовное дерево и его циклический
ранг. Фундаментальная система разрезов.
Аудиторная работа-6 часа.
Самостоятельная работа-6 часа:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
-выполнение задания по текущему контролю: домашняя работа 1.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
9. Укладки графов. Планарные графы.
Понятие укладки графа в данном пространстве. Планарные графы и примеры не
планарных графов. Гомеоморфизм графов и теорема Куратовского. Теорема Эйлера.
Аудиторная работа-10часов.
Самостоятельная работа-10 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
.10 Раскрашивание графов.
Хроматическое число графа. Оценка хроматического числа планарного графа.
Теорема о четырех красках. Раскрашивание карт.
Аудиторная работа-8 часов.
Самостоятельная работа-10 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
-выполнение задания по текущему контролю: письменная контрольная работа
,выполняемая в аудитории.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
11. Орграфы и потоки в сетях.
Орграфы и их матрицы смежности. Ориентируемый граф. Критерий
ориентируемости. Сети и их свойства. Потоки в сетях. Разрезы и их пропускная
способность. Теорема Форда-Фалькерсона.
Аудиторная работа-10 часов.
Самостоятельная работа-10 часов:
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
12. Отношения на множествах. Отношение эквивалентности. Фактор множество.
Орбиты группы преобразований как фактор множество.
Аудиторная работа-5 часов.
Самостоятельная работа-5 часов.
-подготовка к лекциям и практическим занятиям
-выполнение домашних работ, задаваемых на практических занятиях.
Для освоения раздела предусмотрено обсуждение фундаментальных понятий
дисциплины, их взаимосвязей, решение теоретических и вычислительных задач.
7 Образовательные технологии
При реализации различных видов учебной работы используются активные формы
проведения занятий- разбор практических задач, обсуждение фундаментальных понятий
курса и их взаимосвязей, выявление связей с другими математическими дисциплинами,
построение математических моделей практических задач.
8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
a. Тематика заданий текущего контроля
Примерный вариант контрольной работы по комбинаторике
1. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди
этих карт окажется ровно два туза?
2. Сколькими способами можно разложить 8 книг на 4 бандероли по две книги в
каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?
3. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различные?
4. Сколько существует целых чисел от 0 до 1200, которые не делятся ни на 2, ни на
5, ни на 13?
5. Сколькими способами можно посадить на карусель 5 мужчин и 5 женщин так,
чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? Способы, переходящие друг в
друга при вращении карусели, считаются совпадающими.
Примерный вариант контрольной работы по теории графов.
1.Для графа, изображенного на рисунке, выяснить
а ) является ли он эйлеровым или полуэйлеровым( если да, то указать эйлеров
цикл или полуэйлерову цепь.)
б) является ли он гамильтоновым или полугамильтоновым ( если да, то указать
гамильтонов цикл или гамильтонову цепь )
в) планарным ( если да, то указать его укладку на плоскости.)
Найти хроматическое число этого графа.
Примерный вариант домашнего задания по теории графов.
Для сети, изображенной на рисунке, найти максимальный поток и минимальный
разрез.
Проиллюстрировать
на
этом
примере
справедливость
теоремы
Фолькерсона.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзаменам по всему курсу или к каждому
промежуточному и итоговому контролю для самопроверки
Вопросы к экзамену по курсу “ Дискретная математика” по теме “
Комбинаторика”.
Форда-
1. Сформулировать правило суммы и правило произведения для решения
комбинаторных задач. Привести примеры.
2.Дать определение выборки, объема выборки, перестановки и перестановки с
повторениями. Вывести формулы для числа перестановок и перестановок с повторениями.
3.Дать определение сочетания без повторения. Вывести формулу для числа
сочетаний без повторений.
4. Дать определение сочетания с повторениями. Вывести формулу для числа
сочетаний с повторениями. Рассмотреть задачу о числе способов представлений
натурального числа N в виде суммы к неотрицательных целых слагаемых.
5.Вывести формулу бинома Ньютона. Вывести основные свойства
сочетаний .Рассказать о треугольнике Паскаля.
6. Найти число всех подмножеств конечного множества.
7. Вывести формулу включений и исключений. Рассмотреть задачу о
нахождении числа натуральных чисел ≤N , которые не делятся ни на p1, ни на p2 ,ни на
p3.
8.Найти число способов раскладки n различных и n одинаковых
предметов по к различным ящикам.
9.Изложить задачу о нахождении числа делителей натурального числа N.
10. Изложить задачу о разбиении натурального числа N на слагаемые.
Найти число способов, которыми можно представить натуральное число N в виде суммы
к натуральных слагаемых.
11.Найти число способов, которыми можно представить натуральное число
N в виде суммы натуральных слагаемых ( с учетом порядка следования и без учета ).
12. Дать определение рекуррентного соотношения. Изложить задачу
Фибоначчи.
13.Дать определение рекуррентного соотношения порядка к ,решения
рекуррентного соотношения, линейного рекуррентного соотношения с постоянными
коэффициентами.
14. Изложить метод решения линейных рекуррентных соотношений с
постоянными коэффициентами.
15.Дать определение производящей функции последовательности,
формального степенного ряда, алгебры Коши. Найти производящую функцию для
последовательности сочетаний.
16. Найти производящую функцию для последовательности Фибоначчи.
17. Описать операции сдвига, подобия, дифференцирования и
интегрирования над производящими функциями. Привести примеры использования этих
операций для нахождения производящих функций.
18.Дать определение преобразования множества, группы
преобразований множества. Рассмотреть пример группы Sn.
19.Дать определение орбиты элемента множества относительно группы
его преобразований. Доказать, что множество расслаивается на непересекающиеся
орбиты. Привести примеры.
20.Дать определение множества неподвижных точек преобразования
группы. Сформулировать лемму Бернсайда.
21. Описать группу симметрий правильного n угольника. Найти число
различных ожерелий из шести бусин трех различных цветов.
22.Описать группу вращений тетраэдра.
23. Найти число различных тетраэдров, грани которых окрашены тремя
различными цветами.
24.Найти число различных тетраэдров, вершины которых окрашены
тремя различными цветами.
Вопросы к экзамену по курсу ”Дискретная математика “ по теме “Графы”.
1.Дать определения графа, ориентированного графа , петли, кратного ребра ,
простого графа , степени вершины , изолированной и висячей вершин , регулярного
графа.. Привести примеры.
2. Дать определения четной и нечетной вершин. Доказать лемму о рукопожатиях.
Доказать, что в любом графе число нечетных вершин четно . Рассказать решение задачи о
35 телефонах.
3. Определить полные графы, двудольные, полные двудольные графы, звездные
графы, циклические графы, колёса, граф Петерсона, платоновы графы .
4. Дать определения смежных вершин графа, инцидентных вершины и ребра
,матрицы смежности графа. Найти матрицы смежности для графов п.3
5. Дать определение изоморфизма графов . Рассказать об инвариантах изоморфных
графов. Привести примеры изоморфных и неизоморфных графов Описать все простые
графы с точностью до изоморфизма с тремя и четырьмя вершинами .
6.Дать определения маршрута, длины маршрута , замкнутого маршрута , цепи ,
простой цепи , цикла в графе. Привести примеры.
7. Дать определения связного графа , компоненты связности . Привести примеры
.Дать оценку для числа ребер простого связного графа.
8. Дать определения подграфа , дополнения простого графа . Привести примеры.
9. Дать определения разделяющего множества графа, разреза, моста (перешейка).
Привести примеры.
10. Дать определения эйлерова и полуэйлерова графов. Привести примеры, в том
числе задачу Эйлера о семи кенигсбергских мостах.
11. Доказать лемму о достаточном условии наличия цикла в графе.
12. Доказать теорему Эйлера ( критерий эйлеровости графа ).
13. Вывести критерий полуэйлеровости графа .
14.Дать определение гамильтонова графа. Привести примеры. Проверить, что все
платоновы графы являются гамельтоновыми.
15Дать определение укладки графа в пространстве или на поверхности. Доказать,
что любой граф может быть уложен в R3.
16. Дать определения планарного графа Доказать ,что граф планарен тогда и
только тогда, когда он может быть уложен на сфере.
17.Доказать, что графы К5 и К3,3 не планарны.
18. Доказать теорему Эйлера о числе вершин, ребер и граней связного плоского
графа.( n-m+f =2 )
19. Доказать неравенство о связи между числом ребер и вершин для простого
плоского связного графа. ( m≤ 3n-6 )
20. Дать определение операции подразбиения ребра. Дать определение гомеоморфных графов. Привести примеры.
21. Сформулировать теорему Понтрягина – Куратовского (критерий планарности)
22.Дать определение поверхности рода g, графа рода g. Сформулировать теорему
Кенига.
23. Показать, что К5 и К3,3 -графы рода 1.Сформулировать аналог теоремы Эйлера
для связного графа рода g. Дать определение эйлеровой характеристики поверхности.
23. Дать определения дерева и леса. Привести примеры.
24. Доказать наличие висячих вершин у дерева, обладающего хотя бы одним
ребром .
25. Доказать, что в дереве любая цепь является простой .
26. Доказать, что у дерева с n вершинами n-1 ребро.
27. Дать определение остова графа , циклического ранга графа. Найти остов и
циклический ранг графов Kn и Km,n.
28. Дать определения k-раскрашиваемости простого графа , его хроматического
числа . Найти хроматические числа для графов Kn, Km,n, Cn.
29. Дать определение хроматического числа поверхности. Сформулировать
теорему о четырех красках.
30.Дать определение орграфа, изоморфизма орграфа, связного и сильно связного
орграфа. Привести примеры.
31.Дать определение ориентируемого графа. Доказать теорему Роббинса об
ориентируемых графах.
32. Дать определение эйлерова орграфа. Вывести критерий эйлеровости орграфа.
33.Дать определение сети, потока в сети, максимального потока. Привести
примеры.
34. Дать определение разреза сети, пропускной способности разреза, минимального
разреза. Сформулировать теорему Форда-Фолькерсона.
35.Изложить на примере алгоритм нахождения максимального потока.
9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
.
А) Основная литература (базовые учебники и задачник )
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М. ФИМА, МЦНМО, 2010.
Оре О. Теория графов. М. Наука, 1980.
Оре О. Графы и их применение. М.УРСС, 2002
Гаврилов Г.П., Сапоженко Ф.Ф. Сборник задач по дискретной математике М.
Наука, 1977..
В) Дополнительная литература
Уилсон Р. Введение в теорию графов. М. Мир,1977.
Мельников О.И. Теория графов в занимательных задачах. М. УРСС,2008.